加春燕 王 昕

(1.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 100042;2.華北科技學(xué)院，北京東燕郊 101601)

基于Radon變換和Gabor變換鑒別運動模糊方向角①

加春燕1②王 昕2

(1.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 100042;2.華北科技學(xué)院，北京東燕郊 101601)

對于勻速直線運動的模糊圖像，準(zhǔn)確鑒別運動方向角是圖像復(fù)原的關(guān)鍵。分析了運動模糊圖像的頻譜特征，介紹了Radon變換的數(shù)學(xué)原理及用其估計運動模糊方向角的思路、步驟和數(shù)值實驗結(jié)果。由于實際拍攝的模糊圖像在很多時候頻譜特征不夠明顯，導(dǎo)致用Radon變換鑒別角度出現(xiàn)大的誤差，為此，提出了基于Gabor變換的一種改進(jìn)算法。算法運用“窗口”聚焦頻譜圖像中心，較好地消除了噪聲干擾并克服了Radon變換的弊端，數(shù)值實驗結(jié)果驗證了該算法的有效性。

運動模糊方向角鑒別;運動模糊頻譜特征;Radon變換;Gabor變換

0 引言

實際成像過程中，因相機與被攝物體之間存在相對運動而造成的運動模糊是一種常見的圖像降質(zhì)現(xiàn)象。在所有運動模糊中，由勻速直線運動造成的模糊圖像更具有一般性，這是因為變速、非直線運動在一定條件下可被視為或分解為分段勻速直線運動。勻速直線運動模糊效應(yīng)主要由兩個參數(shù)決定:一是運動方向角，二是運動尺度。文獻(xiàn)［1-4］中已指出，只要估計出運動方向，則可將二維圖像沿該方向降解為一維數(shù)據(jù)，從中能夠較容易地估計出運動尺度。因此，準(zhǔn)確鑒別運動模糊方向尤為重要。

現(xiàn)有的運動模糊方向的鑒別方法主要包括:陳前榮等［1］采用3×3方向微分乘子結(jié)合雙線性插值來鑒別運動方向，鑒別精度較高，但計算量太大不夠?qū)嵱?謝偉等［2］采用求模糊圖像倒頻譜及分析譜上特征點的方法估計運動方向，該方法簡單易行，但對于實際生活中千差萬別的圖像，大多圖像倒頻譜上的特征點不夠明顯，此時該方法失效;Lokhande等［3］根據(jù)模糊頻譜特性，利用Hough變換來鑒別運動方向，但如果模糊特征不是很明顯，利用該方法鑒別運動方向會很困難;M.Ebrahimi Moghaddam 和 M.Jamzad［4］采用 Radon變換估計θ，取得了不錯的效果，是目前運用最為廣泛的方法，但在圖像會受噪聲干擾的情況下估計有誤差。本文基于運動模糊圖像的頻譜特征，提出一種基于Gabor變換的改進(jìn)方法，力圖更加準(zhǔn)確有效地鑒別運動模糊方向角。

1 勻速直線運動模糊模型簡介

對于勻速直線運動模糊，圖像的退化過程可近似抽象為以下模型［5］:

其中，g為運動模糊圖像，hL，θ代表運動模糊的點擴(kuò)散函數(shù)(PSF)，f是未降質(zhì)的清晰圖像，n為加性噪聲函數(shù)，*表示卷積運算。

運動模糊的點擴(kuò)散函數(shù) kL，θ的一般表達(dá)式為［6］:

可見，確定hL，θ的關(guān)鍵在于兩個重要參數(shù):一是運動方向角θ，二是運動尺度L，準(zhǔn)確鑒別θ和L是運動模糊圖像復(fù)原的前提和關(guān)鍵。由于L的估計又要依賴于運動方向θ，因此，運動方向θ的準(zhǔn)確鑒別具有重要意義。

由卷積原理，對模型方程(1)做 Fourier變換，得到頻域上的方程:

其中H(u，v)是一個sinc函數(shù)，因此，如果運動模糊圖像受噪聲污染較小，則相應(yīng)的Fourier頻譜圖像中會出現(xiàn)平行的暗條紋，且暗條紋方向與運動方向垂直［3-7］。圖1展示了運動模糊圖像(L=10，θ=45°)及其頻譜圖像，從頻譜圖像中可以清楚看到與運動方向垂直的暗條紋特征，H(u，v)中的平行暗線與sinc函數(shù)特征是基于圖像頻譜信息來估計運動方向θ的最重要依據(jù)。

圖1 運動模糊圖像及其Fourier頻譜圖像

2 基于Radon變換的運動模糊方向估計

2.1 Radon變換原理

對于函數(shù) G(u，v)，其 Radon 變換為［4］:

圖2展示了Radon變換的定義，對于直線l上任意一點 (u，v)，由圖 2可知，u= ρcosθtsinθ，v= ρsinθ+tcosθ，t∈(-∞，+∞)，因此，G(u，v)的 Radon變換是沿著距原點(圖像中心)ρ且與豎軸夾角為θ的直線的積分。

圖2 Radon變換定義示意圖

事實上，Radon變換可以理解為圖像在ρθ平面上的投影，ρθ平面上的每一點都對應(yīng)著uv平面上的一條線。由于Radon變換是圖像像素點在每一條直線上的積分，因此，圖像中一條高灰度值的線就會在ρθ平面上形成一個亮點，低灰度值的線則會形成一個暗點，所以圖像平面中直線的檢測就轉(zhuǎn)化為在參數(shù)平面中對亮、暗點的檢測［7］。

2.2 Radon變換鑒別運動模糊方向角

針對一幅圖像，當(dāng)θ一定，ρ取遍圖像范圍內(nèi)所有值時，累計得到θ方向所有直線的積分值，令θ從0°～180°變動，則得到所有方向的Radon變換值，由運動模糊頻譜圖像的平行黑線特征可知，Radon變換的最大值對應(yīng)的角度即為鑒別出的運動方向角。需要注意的是，Radon變換要計算函數(shù)沿各個方向直線的積分，而對于有限的圖像(一般是矩形)來說，對角線上的線段最長，積分結(jié)果會比較大，因此用Radon變換常常錯誤的估計出45°或者135°，為了克服這種現(xiàn)象，可以對圖像預(yù)先歸一化，即逐點除以和圖像大小相同的全1矩陣，再進(jìn)行Radon變換。

綜上，用Radon變換鑒別運動方向角的一般步驟為:

1)通過二維傅里葉變換，求運動模糊圖像g(x，y)的頻譜2)歸一化

3)對|G(u，v)|取對數(shù)，以壓縮譜動態(tài)范圍，使頻譜特征更明顯;

4)做0°～180°的Radon變換;

5)找出變換后的最大值，此最大值所對應(yīng)的角度即為鑒別出的運動方向。

圖3展示了對圖1中的頻譜圖像做Radon變換的結(jié)果，真實的角度是45°，Radon變換的結(jié)果對應(yīng)圖3中最亮的地方，角度為45.012°，可見鑒別結(jié)果很準(zhǔn)確。

圖3 Randon變換估計運動方向

2.3 Radon變換存在的問題

實際運動模糊圖像千差萬別，且易受到噪聲干擾，從而導(dǎo)致頻譜特征并非都像圖1那樣明顯，當(dāng)頻譜中的暗條紋不夠平行和整齊時，用Radon變換來檢測角度會出現(xiàn)很大的誤差。圖4展示了2個頻譜圖像a和b，真實方向分別是5°和85°，但用Radon變換檢測出的角度分別是0°和45°，誤差非常大。注意到頻譜圖像中心存在很亮的白色條帶，一個很自然的想法是，能否利用這一特征來估計角度?這需要聚焦圖像的局部區(qū)域，Gabor變換便可以很好地解決這一問題。

圖4 兩個運動模糊頻譜圖像，真實角度分別為5°和85°

3 基于Gabor變換和Radon變換鑒別運動模糊方向角

3.1 理論分析

經(jīng)典的Fourier變換只能反映信號的整體特性(時域，頻域)，不能給出在各個局部時間范圍內(nèi)的譜信息描述，然而在實際應(yīng)用中很多時候更關(guān)心的信號局部范圍內(nèi)的特性，為此，D.Gabor于1946年提出了一種新的變換方法—Gabor變換。設(shè)f∈ L2(R)，則 Gabor變換定義為［9］)

事實上，Gabor變換是一種加窗的Fourier變換方法，就是用一個窗函數(shù)g(t-b)與信號f(t)相乘實現(xiàn)在b附近開窗和平移，然后進(jìn)行Fourier變換。針對二維圖像，算法中選取Gaussaion函數(shù)作為窗函數(shù)，定義如下:

3.2 算法實施步驟

由于頻譜圖像在中心部位的平行條帶結(jié)構(gòu)受角度和噪聲的影響較小，因此把窗口開在圖像中心附近。在數(shù)值實驗中，取a=625，則窗口寬度為50像素。綜上，基于 Gabor變換和Radon變換鑒別運動模糊方向的具體步驟如下:

1)令 b=(mcosα，msinα)，α∈［0，2π］，m∈［-20，20］，則可得到圖像中心各個方向小窗口的Gabor頻譜圖像;

2)對每個Gabor頻譜圖像做Radon變換檢測角度;

3)取所有檢測結(jié)果的均值作為運動方向角的估計值。

3.3 仿真結(jié)果與誤差分析

圖5是用Gabor變換和Radon變換對圖4檢測角度的結(jié)果，Gabor變換將窗口聚焦在圖像中心區(qū)域，通過Radon變換檢測出的直線標(biāo)記在圖5中，檢測結(jié)果分別為4.967°和86.026°，與真實角度5°和85°非常接近。高斯函數(shù)的Fourier變換仍為高斯函數(shù)，這使得Fourier逆變換也是用窗函數(shù)局部化，體現(xiàn)了頻域的局部化;二是“測不準(zhǔn)原理”表明，時間和頻率函數(shù)的窗口寬高乘積有一個最小值，而這個最小值對應(yīng)的Gabor變換的最優(yōu)窗函數(shù)恰好為Gaussian函數(shù)，且窗口寬為

圖5 基于Radon變換和Gabor變換鑒別運動模糊方向角

為了進(jìn)一步驗證算法的準(zhǔn)確度，選擇matlab自帶圖像Lena 512×512進(jìn)行數(shù)值實驗，實驗中先用“fspecial”命令人為設(shè)置運動模糊，運動方向從水平正向開始每隔30°取一個值，運動尺度分別為10像素、20像素和40像素，實驗結(jié)果如表1所示。

表1 Lena 512×512實驗結(jié)果

從實驗結(jié)果來看，只用Radon變換估計角度時，部分方向(如60°)的誤差絕對值高達(dá)15°，而用本文的Gabor變換+Radon變換鑒別角度，對測試的所有方向，小尺度(10像素)時誤差絕對值不超過3°，大尺度(40像素)時誤差絕對值均為0°，可見用本文的改進(jìn)算法鑒別運動模糊方向更加有效。此外，小尺度運動模糊時，鑒別誤差相對較大，這是因為小尺度對應(yīng)的頻譜圖像中暗條紋數(shù)目較少，中心主瓣變得很寬，導(dǎo)致鑒別誤差較大。

4 結(jié)語

運動模糊參數(shù)估計是運動模糊圖像復(fù)原的重要步驟，文中主要研究了運動方向角的估計方法。通過分析運動模糊圖像的頻譜特征，即平行暗條紋和sinc函數(shù)結(jié)構(gòu)，為鑒別運動角度找到突破口。介紹了Radon變換的數(shù)學(xué)原理及用其鑒別運動方向角的思路和步驟，在數(shù)值實驗中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而提出了基于Gabor變換的改進(jìn)方法。通過數(shù)學(xué)原理分析和大量數(shù)值實驗，驗證了該方法的有效性，為后續(xù)進(jìn)行運動模糊圖像復(fù)原奠定了基礎(chǔ)。

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Identification of Motion Direction from Motion Blurred Images Based on Radon Transform and Gabor Transform

JIA Chunyan1，WANG Xin2

(1.BeijingPolytechnic College，Beijing 100042;2.North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing-East 101601)

In order to recover the uniform linear motion blurred image，it’s necessary to identify the motion direction.Based on the spectrum characteristics of motion blurred image，the mathematic principle of Radon transform and procedures of using it to identify the motion direction were introduced.Aiming at the spectrum characteristics of the real blurred images taken by digital camera is not obvious，an improved algorithm based on Gabor transform is proposed.The algorithm uses a"window"focusing on the spectrum center of the image to eliminate noise interference and overcome the drawbacks of Radon transform.Numerical experimental results show effectiveness of the presented method.

identification of motion angle;motion blur spectrum characteristics;Radon transform;Gabor transform

TP391.4

A

1672-7169(2012)03-0019-04

2012-04-27

加春燕(1983-)，女，山西臨汾人，碩士，北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用研究。