，

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074)

板材成形涉及到幾何非線性、材料非線性和邊界非線性等問(wèn)題，是一個(gè)復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題。在多數(shù)金屬板成形工序中，高度非線性導(dǎo)致板材中產(chǎn)生大量的彈性應(yīng)變能，當(dāng)作用在金屬板上的外載荷卸掉之后，存儲(chǔ)的彈性應(yīng)變能隨之釋放，板材的形狀、尺寸都發(fā)生與加載時(shí)變形方向相反的變化，這種現(xiàn)象稱之為回彈?；貜検前宀某尚沃写嬖诘钠毡楝F(xiàn)象，是決定零件最終形狀的重要因素。如果回彈量不能有效地控制，將嚴(yán)重影響零件的尺寸精度。因此，如何準(zhǔn)確預(yù)測(cè)成形過(guò)程中的回彈量，以提高成形效率和精度，是板材成形數(shù)值模擬的一個(gè)重要課題。

1 回彈數(shù)值仿真方法

1.1 算法選擇

為了確保計(jì)算的順利進(jìn)行，并得到正確的結(jié)果，算法的收斂性和穩(wěn)定性是必須保證的。非線性有限元計(jì)算從根本上來(lái)說(shuō)有兩大類算法[1]：隱式(ABAQUS/Standard)和顯式(ABAQUS/Explicit)。板材的成形過(guò)程屬于高度非線性問(wèn)題，板材與模具之間不斷接觸、產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)和脫離，利用顯式算法求解可以避開(kāi)收斂問(wèn)題。利用顯式算法模擬金屬板成形過(guò)程時(shí)，需要對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析，以判斷結(jié)果是否合理?；貜椷^(guò)程的非線性并不是太強(qiáng)，計(jì)算的收斂性是有保證的，利用隱式算法求解回彈時(shí)，可以將其看成是一個(gè)具有預(yù)應(yīng)力和預(yù)應(yīng)變的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)幾次迭代就可求解。

1.2 材料模型

采用顯式算法模擬板材成形過(guò)程時(shí)，特別是對(duì)船體外板的成形過(guò)程時(shí)，為了保證顯式分析是準(zhǔn)靜態(tài)分析和計(jì)算結(jié)果的精度，需要嚴(yán)格控制模具的加載速度，因此，應(yīng)變率對(duì)材料變形的影響可以忽略不計(jì)，材料可看作各向同性，選用Mises屈服準(zhǔn)則。

板材成形過(guò)程中，需要考慮包辛格效應(yīng)，但不需要考慮材料反向加載的應(yīng)力-應(yīng)變行為，選用線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型。

1.3 單元大小

單元尺寸對(duì)應(yīng)力應(yīng)變有很大的影響，而回彈計(jì)算是基于成型過(guò)程中的應(yīng)力應(yīng)變分布，因此單元尺寸對(duì)回彈模擬精度影響更大。理論上，隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分(單元尺寸越來(lái)越小)，有限元計(jì)算得到的解越收斂于問(wèn)題的精確解。另外，板材劃分較小的單元時(shí)，板材能夠與模具型面較理想地貼合。隨著網(wǎng)格的細(xì)化，單元的數(shù)量隨之增加，計(jì)算時(shí)間大幅增加。

動(dòng)態(tài)顯式算法雖然不存在收斂問(wèn)題，但時(shí)間增量不能超出穩(wěn)定性界限，否則，計(jì)算結(jié)果可能不準(zhǔn)確，也就是說(shuō)中心差分法是條件穩(wěn)定的。穩(wěn)定極限定義為

Δtstable=Le/cd

(1)

式中：Le——單元的特征長(zhǎng)度，可以近似取單元的最小邊長(zhǎng)；

cd——聲音在系統(tǒng)介質(zhì)中的傳播速度，對(duì)泊松比為零的線彈性材料，

(2)

其中：E——材料的彈性模量；

ρ——材料密度。

由此可得，動(dòng)態(tài)顯式算法中，單元長(zhǎng)度越短，穩(wěn)定極限越小，允許的最大時(shí)間增量越小，計(jì)算時(shí)間將大幅增加，因此單元尺寸的選擇必須合理。

1.4 顯式-隱式算法模擬回彈的一般步驟

利用顯式-隱式算法相結(jié)合的方法模擬成形和回彈過(guò)程，成形過(guò)程結(jié)束之后，將板材的變形網(wǎng)格和材料狀態(tài)導(dǎo)入到ABAQUS/Standard，進(jìn)行回彈分析。由于動(dòng)態(tài)力、接觸力和邊界條件在ABAQUS/Explicit中存在，但在ABAQUS/Standard中不存在，因此變形的板材及其當(dāng)前狀態(tài)導(dǎo)入到ABAQUS/Standard之后，模型處于靜力不平衡狀態(tài)。在分析開(kāi)始時(shí)，ABAQUS/Standard自動(dòng)施加一組偽應(yīng)力，用于平衡導(dǎo)入的應(yīng)力。偽應(yīng)力在回彈計(jì)算的過(guò)程中逐漸消失，作為內(nèi)力重新分布的結(jié)果，板材進(jìn)一步變形。偽應(yīng)力完全刪除之后，回彈結(jié)束，板材達(dá)到了回彈之后的最終成形狀態(tài)，最終成形狀態(tài)中分布的應(yīng)力稱為殘余應(yīng)力。

采用顯式算法模擬成形過(guò)程，隱式算法模擬回彈過(guò)程，具體步驟如下。

1)利用ABAQUS/Explicit模擬板材的成形過(guò)程，采用位移加載，加載的幅值選smooth step(平滑變化)，以防止產(chǎn)生震顫。

2)利用ABAQUS/Standard模擬板材的回彈變形，具體做法如下。

①?gòu)?fù)制模型。②在新復(fù)制的模型中僅留下成形件，刪除其它一切無(wú)關(guān)的邊界條件以及上下模具，包括在Explicit中定義的接觸屬性、接觸對(duì)及定義的surface和set。③刪除原來(lái)所有的后續(xù)分析步，并新建一個(gè)靜態(tài)通用分析步，設(shè)置為幾何非線性。④施加必要的約束條件，防止出現(xiàn)剛體運(yùn)動(dòng)，在后續(xù)分析中為需要傳遞數(shù)據(jù)的部件定義初始狀態(tài)場(chǎng)。 ⑤創(chuàng)建一個(gè)新的作業(yè)提交分析，計(jì)算回彈變形。

1.5 回彈模擬中的關(guān)鍵技術(shù)處理

1.5.1 加載的處理

顯式算法模擬成形過(guò)程中，在不影響計(jì)算精度的前提下，為提高計(jì)算效率往往人為地提高模具的運(yùn)動(dòng)速度，當(dāng)模具的運(yùn)動(dòng)比實(shí)際成形速度高時(shí)將產(chǎn)生慣性效應(yīng)。因此，在查看變形和應(yīng)力等結(jié)果之前，需要判斷計(jì)算結(jié)果是否是準(zhǔn)靜態(tài)的，以確保應(yīng)力不會(huì)受到慣性效應(yīng)的影響，進(jìn)而得到較準(zhǔn)確的回彈分析。常用的判定方法是查看計(jì)算結(jié)果中動(dòng)能與內(nèi)能的比值，如果動(dòng)能與內(nèi)能的比值不大于5%～10%，則計(jì)算結(jié)果就可以接受，反之則需要重新進(jìn)行計(jì)算。定性分析，動(dòng)能標(biāo)定動(dòng)態(tài)特征，準(zhǔn)靜態(tài)將動(dòng)態(tài)問(wèn)題用靜態(tài)方法來(lái)求解，為了確定是否已經(jīng)獲得了一個(gè)可以接受的準(zhǔn)靜態(tài)解答，動(dòng)能與內(nèi)能相比必須是個(gè)小量。如果動(dòng)能和內(nèi)能的比值太大，一般需要增加加載時(shí)間，以使模型更接近靜態(tài)。

衡量顯式分析是否良好，除了比較動(dòng)能和內(nèi)能的大小外，還需要對(duì)動(dòng)能和內(nèi)能單獨(dú)評(píng)估，內(nèi)能和動(dòng)能的歷史曲線必須是光滑的?；貜椓康念A(yù)測(cè)高度依賴于成形過(guò)程中的塑性結(jié)果，如果成形過(guò)程中能量包含高度的震蕩，則模型也會(huì)經(jīng)歷顯著的塑性，可能產(chǎn)生不合理的結(jié)果。為了使能量結(jié)果光滑，需要光滑加載，因此加載過(guò)程中的幅值曲線選擇Smooth Step。

1.5.2 約束的處理

約束條件對(duì)計(jì)算結(jié)果有很大的影響，因此回彈分析中必須處理好約束條件問(wèn)題。同所有的靜力分析一樣，回彈分析時(shí)，必須施加適當(dāng)?shù)奈灰萍s束以消除板材的剛體運(yùn)動(dòng)。對(duì)于約束的要求是不能產(chǎn)生任何的作用力阻止板材的自由回彈。剛體運(yùn)動(dòng)包括3個(gè)平動(dòng)運(yùn)動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。理論上，約束1個(gè)點(diǎn)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度即可消除板材的剛體運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上，當(dāng)采用轉(zhuǎn)動(dòng)自由度來(lái)進(jìn)行約束時(shí)，計(jì)算中常常會(huì)出現(xiàn)數(shù)值奇異問(wèn)題。因此，一般地，采用約束3個(gè)節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)自由度來(lái)限制板材的剛體運(yùn)動(dòng)。選擇約束點(diǎn)時(shí)，約束點(diǎn)應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離邊界和應(yīng)力大的區(qū)域，并且3個(gè)節(jié)點(diǎn)不共線，最好成 90°。對(duì)于1/2對(duì)稱模型選擇對(duì)稱面上的2個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行約束，對(duì)于1/4模型約束中心1點(diǎn)的平動(dòng)自由度。

2 板材輥彎成形及回彈數(shù)值模擬

目前，船廠一般采用輥彎和線加熱聯(lián)合成型船體外板，且輥彎成形是單向曲率曲面成型的一種重要方式。目前輥彎成形仍未實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化，主要的工藝參數(shù)由技工根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，因此，有必要研究輥彎工藝參數(shù)與板材變形的關(guān)系。對(duì)板材的輥彎過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，了解給定輥彎工藝下，板材最終的曲率半徑，以指導(dǎo)實(shí)際板材輥彎成形中生產(chǎn)工藝和自動(dòng)控制。

2.1 模型的幾何尺寸

板材的長(zhǎng)度為2 500 mm，板寬為1 500 mm，板厚為30 mm。上輥的半徑為450 mm，下輥的半徑為240 mm，上輥和下輥的長(zhǎng)度均為3 000 mm。由于對(duì)稱性，選取1/2模型進(jìn)行分析，有限元模型見(jiàn)圖1。

圖1 有限元模型

2.2 模型的材料力學(xué)性能

在板材輥彎成形過(guò)程中，3個(gè)卷輥的變形相對(duì)于板材的變形為小變形，因此，模擬過(guò)程中將3個(gè)輥?zhàn)釉O(shè)置為剛性，密度為7 800 kg/m3。板材的材料為雙線性材料模型，彈性階段的彈性模量為210 GPa，塑流階段的彈性模型為5.212 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3，材料在不同屈服應(yīng)力下的塑性應(yīng)變見(jiàn)圖2。

圖2 應(yīng)力-應(yīng)變曲線

2.3 單元類型和網(wǎng)格大小

由于板材的厚度遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的幾何尺寸，模擬時(shí)采用殼單元，由于減縮單元可能出現(xiàn)沙漏現(xiàn)象，需要?jiǎng)澐州^細(xì)的網(wǎng)格，網(wǎng)格增多計(jì)算時(shí)間隨之增長(zhǎng)，本文采用完全積分的通用殼單元S4。網(wǎng)格劃分如圖1所示，長(zhǎng)度方向25個(gè)單元，寬度方向30個(gè)單元。

2.4 接觸模型

成形過(guò)程中，模具的剛性遠(yuǎn)大于板材，相對(duì)于板材變形很小，可以忽略。建立接觸時(shí)，模具作為主面，板材作為從面，而且只需要考慮模具與板材之間的接觸，不需要考慮模具間的接觸。本分析實(shí)例中，板材上表面與上輥接觸，下表面與兩個(gè)下輥接觸，需要定義3個(gè)接觸對(duì)，即板材上表面和上輥，板材下表面與2個(gè)下輥。

在ABAQUS/Explicit中摩擦模型有無(wú)摩擦Frictionless、粗糙Rough、罰函數(shù)Penalty和動(dòng)力學(xué)摩擦公式static-kinetic exponential decay。模擬成形時(shí)，選擇前三種摩擦模型，對(duì)比成形結(jié)束后的變形形狀，設(shè)置罰函數(shù)的摩擦模型時(shí)，摩擦系數(shù)為0.144。見(jiàn)圖3。

圖3 不同摩擦模型的變形形狀

由圖3可見(jiàn)，摩擦模型的選擇對(duì)變形狀態(tài)有一定的影響，罰函數(shù)摩擦模型的計(jì)算結(jié)果介于其他二者之間，因此，模擬成形過(guò)程，需要選擇與實(shí)際成形情況較符合的摩擦模型，以提高模擬精度[2]。本文采用罰函數(shù)的摩擦模型。

當(dāng)兩下輥和板材間的摩擦力足夠大時(shí)，2下輥帶動(dòng)板材運(yùn)動(dòng)。同理，當(dāng)板材和上輥間的摩擦力足夠大時(shí)，板材帶動(dòng)上輥轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，下輥輪是主動(dòng)輪，上輥輪是從動(dòng)輪。

2.5 邊界條件和載荷

由于上下輥為剛體，邊界條件和載荷均作用于參考點(diǎn)上。利用ABAQUS/Explicit顯式模擬成形過(guò)程，分3個(gè)載荷步進(jìn)行：在 STEP1中，限制上輥和兩下輥沿x和y兩個(gè)方向的平移及繞x、y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，將上輥向下移0.1 mm，兩下輥上移 0.1 mm，以平穩(wěn)的建立接觸，防止震顫的發(fā)生。在 STEP2中，其它邊界條件不變，將上輥向下移25 mm，進(jìn)行非線性增量計(jì)算。在 STEP3中，解除上下輥繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)約束，上輥向下的位移設(shè)置為零，其它邊界條件不變，兩下輥逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6.5 rad，進(jìn)行非線性增量計(jì)算。

2.6 模擬結(jié)果和分析

在輥彎過(guò)程中，板材的一部分發(fā)生彎曲，同時(shí)另一部分發(fā)生回彈，也就是說(shuō)，回彈也是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程。板材成形結(jié)束和回彈結(jié)束后的應(yīng)力分布見(jiàn)圖4和圖5。

圖4 成形結(jié)束后板上的應(yīng)力分布

圖5 回彈結(jié)束后板上的應(yīng)力分布

根據(jù)3點(diǎn)定圓的方法，獲得圓弧的曲率。成形結(jié)束時(shí)，曲率半徑為1 278 mm，回彈后曲率半徑為1 316 mm?；貜椓繉?duì)整體曲率半徑的影響很小，這是因?yàn)榘搴窈艽骩3]，板厚大時(shí)，板材對(duì)變形的抵抗力強(qiáng)，成型中彈性變形在總變形中的比重小，卸載后回彈小。

采用顯式-隱式算法模擬板材成形及回彈過(guò)程，可以獲得整個(gè)過(guò)程中應(yīng)力分布，以及板材的回彈量和最終的變形狀態(tài)。

通過(guò)調(diào)整上輥的向下移動(dòng)的位移，反復(fù)模擬，直到滿足目標(biāo)形狀要求。這樣，根據(jù)目標(biāo)曲面形狀和板材尺寸，可以計(jì)算出上輥的位移量，以及每次成形的回彈量。

3 結(jié)論

1)結(jié)合板材成形和回彈過(guò)程的特點(diǎn)，采用顯式算法模擬成形過(guò)程，隱式算法模擬回彈過(guò)程，可以提高模擬的精度和效率。顯式算法模擬成形過(guò)程時(shí)，需要對(duì)板材的材料模型、單元大小和接觸模型等進(jìn)行詳細(xì)考慮。

2)采用顯式算法模擬板材成形過(guò)程，判斷計(jì)算結(jié)果是否良好有兩個(gè)條件：①動(dòng)能和內(nèi)能的比值不大于5%～10%，以保證分析是靜態(tài)的，這就需要控制加載速度；②動(dòng)能和內(nèi)能的歷史曲線必須是光滑的，因此需要光滑加載。

3)采用隱式算法模擬板材回彈過(guò)程，必須處理好約束問(wèn)題，消除剛體位移的同時(shí)不能限制板材自由回彈。

4)采用數(shù)值仿真方法對(duì)板材輥彎成形和回彈過(guò)程進(jìn)行模擬，可以得到板材成形過(guò)程中任一時(shí)刻的應(yīng)力分布，并獲得不同下壓量下板材的輥彎半徑，這能夠?qū)亸澒に嚄l件的設(shè)計(jì)提供依據(jù)，從而指導(dǎo)板材的輥彎成形。

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[2] 余國(guó)慶，魯世紅.板料彎曲回彈的有限元模擬影響因素研究[J].模具工業(yè),2004(12):2-11.

[3] CHEN X D ,CAI Z Y,LI M Z.Numerical simulation of springback of multipoint forming for sheet metal without blankholders[J].Journal of Plastic Engineer,2003,10(5):9-13.