丁璐 周榮樸 滕保華 吳明和 李業(yè)鳳

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 610054)

1 引言

在日常生活中，磁懸浮是一個(gè)重要現(xiàn)象，而磁懸浮陀螺玩具是其中一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用.它通過(guò)探究磁懸浮陀螺懸浮現(xiàn)象，加深對(duì)磁懸浮機(jī)理的理解.

市面上銷售的磁懸浮陀螺由一塊內(nèi)置環(huán)狀磁鐵的陀螺和一塊方形的磁性底座組成，附帶一個(gè)長(zhǎng)方形塑料托盤，若干配重(塑料環(huán)和鐵環(huán))和楔形托片.轉(zhuǎn)動(dòng)陀螺前，需通過(guò)加減環(huán)形配重來(lái)仔細(xì)調(diào)節(jié)陀螺重量，并利用楔形托片調(diào)節(jié)底座，使其水平放置.只有當(dāng)達(dá)到一定轉(zhuǎn)速，并且在很小的高度范圍內(nèi)，陀螺才能穩(wěn)定懸浮.對(duì)于在平衡位置附近小范圍的擺動(dòng)，陀螺能自動(dòng)調(diào)節(jié)至穩(wěn)定狀態(tài).

國(guó)外學(xué)者T.B.Jones 等人[1]已經(jīng)詳細(xì)分析了陀螺在磁性底盤上方懸浮的原理和懸浮條件，并用實(shí)驗(yàn)測(cè)得懸浮高度范圍.但文中為了得到陀螺穩(wěn)定懸浮的高度區(qū)間，需要測(cè)量方形磁體軸線上多個(gè)高度處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，使得具體操作具有一定局限性.

本文利用PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量傳感器，測(cè)量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式，提出一種確定陀螺懸浮高度的簡(jiǎn)化方法.利用該方法只需測(cè)量方形磁體外部任一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，就能得到陀螺穩(wěn)定懸浮的高度范圍，大大簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)過(guò)程.

2 底座磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量

2.1 PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是一個(gè)將計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)采集與分析應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)，運(yùn)用現(xiàn)代電子技術(shù)，采用傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，電腦進(jìn)行過(guò)程控制和數(shù)據(jù)處理，尤其是對(duì)一些瞬態(tài)變化的物理量能做到實(shí)時(shí)測(cè)量，對(duì)一些不易觀察的物理現(xiàn)象能實(shí)現(xiàn)感官展示.根據(jù)PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)附件可組裝性強(qiáng)的特征進(jìn)行新的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與設(shè)備研究，實(shí)現(xiàn)PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)性應(yīng)用與擴(kuò)展研究.本實(shí)驗(yàn)利用的PASCO平臺(tái)由三個(gè)部分組成：

(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度測(cè)量傳感器Magnetic Field Sensor CI-6520A.

(2)數(shù)據(jù)采集接口，能將傳感器的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，最高采樣頻率為250 kHz.

(3)數(shù)據(jù)采集軟件，可以連續(xù)測(cè)試記錄掃描路線的磁場(chǎng)強(qiáng)度值，并可將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，方便后續(xù)數(shù)據(jù)處理.

2.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)所使用的磁懸浮陀螺的底座是邊長(zhǎng)為10.00 cm，厚度為1.00 cm的方形永磁體.利用PASCO實(shí)驗(yàn)儀Magnetic Field Sensor CI-6520A，測(cè)量了該永磁體中軸線上磁場(chǎng)分布.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，將傳感器探頭放置在該磁體中軸線位置，每間隔0.5 cm測(cè)量一次，測(cè)量高度范圍為2.00～20.00 cm.實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.從測(cè)量結(jié)果(圖2)可以看出，隨著測(cè)量高度的增加，磁場(chǎng)強(qiáng)度逐漸減小，在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

測(cè)量高度z′/cm

3 簡(jiǎn)化方法

3.1 磁懸浮陀螺穩(wěn)定條件

將磁性底座的磁場(chǎng)近似為以中軸線為軸對(duì)稱分布的磁場(chǎng)，軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度Hz為[1]

(1)

其中，z′為陀螺在平衡位置附近的縱坐標(biāo)，ρ為平衡位置附近徑向微小位移，H0代表在z=0,ρ=0處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.系數(shù)α1,α2,…只與軸向分量Hz有關(guān)

(2)

不失一般性，設(shè)H0>0,忽略高次項(xiàng)，并假設(shè)陀螺是磁矩為m的磁偶極子，則磁場(chǎng)H施加給陀螺的力為

fm=μ0m·H

(3)

其中,μ0=4π×10-7H/m，陀螺平衡的條件是

μ0mα1H0=Mg

(4)

假設(shè)陀螺自身的磁矩與底座產(chǎn)生的磁場(chǎng)H平行 ，即

(5)

將式(5)代入式(3)，得到陀螺受到的力為

(6)

利用磁感應(yīng)強(qiáng)度的展開(kāi)式和公式(4)，減去平衡條件，得陀螺受到的力為

(7)

(8)

α1<0,α2>0,α12>4α2

(9)

圖3 陀螺受力分析示意圖

3.2 方形永磁體磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式

通過(guò)上述分析可知，利用底座磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式，即可得出陀螺懸浮的高度范圍.將底座簡(jiǎn)化為沿一個(gè)方向均勻充分磁化且達(dá)到飽和狀態(tài)的方形永磁體[2～5]，認(rèn)為磁體內(nèi)部磁化矢量M為常量、永磁體在宏觀上表現(xiàn)為只有表面電流而無(wú)體電流存在，外部空間中任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)僅由永磁體表面閉合電流環(huán)路所激發(fā)，則規(guī)則的方形底座在軸線處產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為[2]

(10)

3.3 確定陀螺懸浮高度的簡(jiǎn)化方法

根據(jù)陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式，本文提出一種確定陀螺懸浮高度的簡(jiǎn)化方法.該方法通過(guò)只測(cè)量規(guī)則磁體外一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，來(lái)確定式(10)中永磁體的等效電流密度J，然后利用式(2)計(jì)算α1,α2,4α1-α22,從而確定陀螺懸浮高度.該方法最大優(yōu)點(diǎn)是省去了測(cè)量該磁體軸線上多點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的步驟，對(duì)于規(guī)則磁性底座使用時(shí)簡(jiǎn)單方便.

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)使用的邊長(zhǎng)、厚度分別為2a=10.00 cm，h=1.00 cm的方形永磁體磁體，將圖2中任一點(diǎn)代表的磁感應(yīng)強(qiáng)度值代入式(10)，求得對(duì)應(yīng)的J為1.65×106A/m2，根據(jù)式(10)計(jì)算中軸線上離開(kāi)永磁體上表面不同距離處的磁場(chǎng)強(qiáng)度，如圖4所示.可以看出方形永磁體磁場(chǎng)強(qiáng)度解析式在一定誤差范圍內(nèi)能夠準(zhǔn)確反映本實(shí)驗(yàn)所用磁性底座磁場(chǎng)分布情況.

測(cè)量高度z′/cm

根據(jù)方形永磁體軸線處磁場(chǎng)分布式，解析計(jì)算了α1，α2，α12-4α2，結(jié)果如圖5所示，該圖為放大后的圖像，α1<0的條件已滿足，從圖中可以看出陀螺穩(wěn)定懸浮的區(qū)間為3.26～3.97 cm.

測(cè)量高度z′/cm

測(cè)量高度z′/cm

4 比較分析

4.1 利用多點(diǎn)測(cè)量方法得到的懸浮高度

對(duì)利用PASCO傳感器測(cè)得的分布曲線(圖2)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，計(jì)算α1，α2，4α1-α22,也可得到陀螺能夠穩(wěn)定懸浮的高度區(qū)間為3.17～3.51 cm，如圖7所示.可以看出，該方法與文獻(xiàn)[1]采用的方法相同，適用于各種形狀的磁性底座，但是需要測(cè)量多點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并且為了提高測(cè)量準(zhǔn)確性還需提供移動(dòng)平臺(tái)等機(jī)械設(shè)備，因此與本文提出的簡(jiǎn)化方法(只適用于規(guī)則形狀的磁性底座)相比顯得較為復(fù)雜 .

測(cè)量高度z′/cm

4.2 陀螺實(shí)際懸浮高度的實(shí)驗(yàn)測(cè)量

在陀螺懸浮過(guò)程中，拍攝照片，測(cè)得實(shí)際陀螺穩(wěn)定區(qū)間為3.15～3.69 cm，如圖8所示.

通過(guò)上述比較可以看出,利用簡(jiǎn)化方法得到的穩(wěn)定區(qū)間(3.26～3.97 cm)，與利用文獻(xiàn)[1]采用的方法得到的穩(wěn)定區(qū)間(3.17～3.51 cm)，以及實(shí)驗(yàn)觀察到的穩(wěn)定區(qū)間(3.15～3.69 cm)在一定誤差范圍內(nèi)是一致的，從而驗(yàn)證了上述簡(jiǎn)化方法對(duì)規(guī)則磁體是可靠的.

圖8 實(shí)測(cè)陀螺懸浮高度

5 結(jié)論

本文利用PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量傳感器，測(cè)量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應(yīng)強(qiáng)度.然后根據(jù)磁懸浮陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式，提出了確定陀螺穩(wěn)定懸浮高度范圍的一種簡(jiǎn)化方法.通過(guò)對(duì)陀螺實(shí)際懸浮高度區(qū)間的實(shí)驗(yàn)測(cè)量，表明所采用的簡(jiǎn)化方法能方便確定陀螺懸浮的高度范圍.

參考文獻(xiàn)

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