池愛子， 鄭米海， 鄭鵬飛

(臺州學(xué)院，浙江 臨海317000)

0 引 言

Wallis 公式指的是

Wallis 不等式［1］指的是:對于n = 1，2，…，有

文獻［2］將式(1)改進為:n = 1，2，…，有

文獻［3］將(2)改進為:n = 1，2，…，有

其中

文獻［4］將(3)改進為:n = 1，2，…，有

其中

本文對式(4)中的ζn及ηn給出了更好的一個表示式.

1 定理及證明

定理1 對于n = 1，2，…，有

其中

由Wallis 公式，有

考察數(shù)列{xn}的單調(diào)性.為此，考慮

易知

分別記上式分子，分母為An和Bn，那么

于是

由于

所以

如果Δn＞0，這說明此時數(shù)列{xn}是嚴格遞增數(shù)列.

當α0= 3，

令Δn＞0，此時考慮分母小于0，只要取使β(11 +β)+3n(-6 +7β)+2n2(-9 +8β)＜0 最大的β即可.

令

只要滿足:

即可，解得

最小的β 即可.同理，只要滿足

所以

同理可得，右邊

證明完畢.

2 定理的應(yīng)用

2.1 Catalan 數(shù)

文獻［5］給出了關(guān)于Catalan 數(shù)

的一個估計:

應(yīng)用定理1，給出Catalan 數(shù)的另一個估計:

2.2 各類雙邊不等式的數(shù)值比較

表1 各類雙邊不等式左邊的誤差比較

表2 各類雙邊不等式右邊的誤差比較

由上述表格可知，(5)式優(yōu)于(1 ～4)式. 因此本文得到的結(jié)果關(guān)于Wallis 雙邊不等式的加強其結(jié)果更加精細.

［1］ D.s.密特利諾維奇著，張小萍.王龍譯. 解析不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，1987，259.

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