康旭彬， 賈彩燕

（北京交通大學(xué) 計(jì) 算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100044）

0 引 言

現(xiàn)實(shí)世界中的很多數(shù)據(jù)都可以建模為網(wǎng)絡(luò)形式，如社交網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)作用網(wǎng)絡(luò)、萬(wàn)維網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)等等［1］。這些網(wǎng)絡(luò)具有數(shù)據(jù)量大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn)，所以被稱(chēng)為“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”。隨著科學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)這些網(wǎng)絡(luò)通常蘊(yùn)含一些統(tǒng)計(jì)特性，如小世界特性［2］、無(wú)尺度特性［3］、包含社區(qū)結(jié)構(gòu)等。其中，“社區(qū)結(jié)構(gòu)”作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要拓?fù)鋵傩?，受到了人們的極大關(guān)注。所謂“社區(qū)”是指那些聯(lián)系比較緊密的節(jié)點(diǎn)組成的點(diǎn)集。社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法的研究對(duì)理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的功能、預(yù)測(cè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的行為以及分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有重要的理論意義和廣泛的應(yīng)用前景，已被應(yīng)用于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、蛋白質(zhì)交互網(wǎng)絡(luò)分析、Web文檔聚類(lèi)等各個(gè)方面。目前，人們已經(jīng)給出了多種社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法。這些方法分為基于優(yōu)化的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法、基于啟發(fā)式策略的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法及其他方法3類(lèi)。

基于優(yōu)化的方法有譜方法和模塊性最大化方法。其中，譜方法是對(duì)網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣A的拉普拉斯矩陣M（M＝D－A）求特征值，D是由節(jié)點(diǎn)的度構(gòu)成的對(duì)角矩陣，然后根據(jù)其最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行二分，如果需要?jiǎng)澐殖啥鄠€(gè)社區(qū)，一般采用不斷二分的方法；模塊性最大化方法，是對(duì)網(wǎng)絡(luò)模塊性函數(shù)（也稱(chēng)為Q函數(shù)）求最大值。Q函數(shù)是指社區(qū)內(nèi)的實(shí)際連接數(shù)目與隨機(jī)情況下社區(qū)內(nèi)連接數(shù)目之差，可以在一定程度上衡量社區(qū)結(jié)構(gòu)的好壞，Q函數(shù)的表達(dá)式為：

其中，K為網(wǎng)絡(luò)社區(qū)數(shù)目；m為網(wǎng)絡(luò)的連邊數(shù)；ms為社區(qū)s中的連邊數(shù)；ds為社區(qū)s中結(jié)點(diǎn)的度之和。

基于啟發(fā)式策略方法有：GN算法［4］、WH算法［5］、MFC 算 法［6］、HITS 算 法［7］、CPM 算 法［8］等。其中，GN算法是一種基于局部搜索的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法，它通過(guò)反復(fù)識(shí)別和刪除那些邊介數(shù)最大的邊來(lái)發(fā)現(xiàn)社區(qū)。邊介數(shù)是指網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過(guò)該連邊的任意2點(diǎn)間最短路徑的數(shù)目。WH算法將網(wǎng)絡(luò)建模為電路系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)中的連接看作是具有電阻的線路，不同節(jié)點(diǎn)具有不同的電勢(shì)差。它的啟發(fā)式規(guī)則是：當(dāng)在不同的社區(qū)中選取2個(gè)節(jié)點(diǎn)作為正負(fù)極后，由于社區(qū)間的電阻要大于社區(qū)內(nèi)的電阻，所以處于同一社區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)應(yīng)該大致相同，而不同社區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)相差較大。

除此之外，還有其他一些有效的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法，如基于層次聚類(lèi)的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法（凝聚式和分裂式）和基于非負(fù)矩陣分解的社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法等。

現(xiàn)有的社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法存在算法復(fù)雜度高、需要事先制定社區(qū)的數(shù)目和預(yù)先制定評(píng)價(jià)指標(biāo)等缺陷，有的甚至需要給出大致的社區(qū)大小，因而限制了算法的實(shí)際應(yīng)用效率。文獻(xiàn)［9］提出了一種基于啟發(fā)式策略的快速社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法LPA（Label Propagation Algorithm，簡(jiǎn)稱(chēng)LPA），這種算法不需要指定社區(qū)數(shù)目且時(shí)間復(fù)雜度低，不需要設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，具有便于實(shí)現(xiàn)和大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用等特點(diǎn)，但相比于前述算法，該算法準(zhǔn)確率比較低。文獻(xiàn)［10－11］分別對(duì)該算法進(jìn)行了改進(jìn)，但是這2個(gè)改進(jìn)的算法都引入了額外的參數(shù)，在實(shí)際的應(yīng)用中這些參數(shù)往往難以確定。本文提出了一種改進(jìn)的、基于相似性的、無(wú)參數(shù)的標(biāo)簽傳播算法LPALS（Label Propagation Algorithm based on Local Similarity，簡(jiǎn)稱(chēng)LPALS），實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示該算法大大提高了原有算法的準(zhǔn)確率且具有較低的時(shí)間復(fù)雜度。

1 LPA算法

LPA算法的基本思想是一個(gè)節(jié)點(diǎn)的label決定于它的鄰居節(jié)點(diǎn)。假設(shè)節(jié)點(diǎn)x的鄰居節(jié)點(diǎn)有x1，x2，x3，…，xk，并且每個(gè)鄰居都帶有一個(gè)label表示它所屬的社區(qū)，那么當(dāng)某個(gè)社區(qū)包含x的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)最多時(shí)，x就屬于這個(gè)社區(qū)。圖1所示為節(jié)點(diǎn)1的更新過(guò)程，其中圖1a中l(wèi)abel為1的節(jié)點(diǎn)變?yōu)閳D1b中的3，因?yàn)樗泥従庸?jié)點(diǎn)中l(wèi)abel為3的節(jié)點(diǎn)數(shù)最多。

圖1 LPA算法中節(jié)點(diǎn)1的更新過(guò)程

隨著label的傳播，那些連接稠密的節(jié)點(diǎn)會(huì)迅速得到一個(gè)一致的label。通過(guò)多次迭代，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的label會(huì)趨于穩(wěn)定，社團(tuán)結(jié)構(gòu)隨即也會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)。

在LPA算法中節(jié)點(diǎn)的label有同步更新與異步更新2種更新方法。所謂同步更新，即節(jié)點(diǎn)x在第t次迭代的label依據(jù)于它的鄰居節(jié)點(diǎn)在第t－1次迭代時(shí)所得的label，更新公式如下：

其中，Cx（t）表示節(jié)點(diǎn)x在t時(shí)刻的label，f函數(shù)返回的是在x的鄰居節(jié)點(diǎn)里出現(xiàn)頻率最高的那個(gè)label。如果有多個(gè)label出現(xiàn)的頻率最高則從這些label中隨機(jī)返回一個(gè)label。由于這種方法在二分圖中可能產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，于是給出了異步更新方法，其更新公式如下：

其中，xi1，…，xim表示在本次迭代中已經(jīng)更新過(guò)label的節(jié)點(diǎn)；xi（m＋1），…，xik表示 在此次迭代中l(wèi)abel還沒(méi)有更新的節(jié)點(diǎn)，f函數(shù)仍如上所述。因此，節(jié)點(diǎn)x在第t次迭代的label依據(jù)于第t次迭代已經(jīng)更新過(guò)label的節(jié)點(diǎn)和第t次迭代未更新過(guò)label的節(jié)點(diǎn)在第t－1次迭代時(shí)的label。標(biāo)簽傳播算法LPA的步驟如下：

（1）初始化網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的label。

（2）迭代次數(shù)t＝1。

（3）隨機(jī)排列網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，生成序列X。

（4）for（x∈X），

Cx（t）＝f（Cxi1（t），…，Cxim（t），Cxi（m＋1）（t－1），…，Cxik（t－1））。

（5）若所有節(jié)點(diǎn)的label都不再變化則結(jié)束，否則t＝t＋1并且返回步驟（3）。

如前所述，這個(gè)算法簡(jiǎn)單、高效，但準(zhǔn)確率還有待提高。原因之一是不同社團(tuán)之間節(jié)點(diǎn)的label很容易傳播，如圖2所示，圖2a中l(wèi)abel為5的節(jié)點(diǎn)如在圖2b中變?yōu)閘abel為4的節(jié)點(diǎn)，則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的所有節(jié)點(diǎn)的label在圖2c中都為4。

圖2 不同社團(tuán)間節(jié)點(diǎn)label的傳播

2 改進(jìn)的LPA算法

分析發(fā)現(xiàn)LPA算法的準(zhǔn)確率低是因?yàn)樵趌abel的更新過(guò)程中平等地對(duì)待了每一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)的label從而導(dǎo)致不同社區(qū)間的label很容易傳播。為了阻止這種情況發(fā)生，可以給每個(gè)label分配一個(gè)權(quán)值，當(dāng)節(jié)點(diǎn)x的某個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)與x屬于同一社區(qū)的可能性大時(shí)這個(gè)權(quán)值就大，反之則小。可以用節(jié)點(diǎn)間的某種拓?fù)湎嗨贫缺硎緳?quán)值。其中，常用的基于局部拓?fù)湫畔⒌南嗨贫戎饕腥缦?種：

其中，Γi表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居集合；｜Γi｜表示該集合的勢(shì)；Γi∩Γj表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的共同鄰居數(shù)。在本文的算法中，使用第3種相似度，則節(jié)點(diǎn)x的label更新公式變?yōu)椋浩渲?，g返回的是在x的鄰居節(jié)點(diǎn)里出現(xiàn)的權(quán)值之和最大的label，若存在多個(gè)這樣的label，則隨機(jī)選擇一個(gè)作為x的label。這就在很大程度上限制了不同社區(qū)間label傳播的隨意性。也就是說(shuō)label的傳播被限定在與該節(jié)點(diǎn)距離最小的社區(qū)中，稱(chēng)這種方法為基于相似性的標(biāo)簽傳播LPALS（Label Propagation Algorithm based on Local Similarity）。在這種情況下，圖2a中l(wèi)abel加了權(quán)，節(jié)點(diǎn)5的label不會(huì)變成4，如圖3所示。

圖3 加權(quán)后節(jié)點(diǎn)5的label的傳播

算法LPALS的具體步驟如下：

（1）初始化網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的label。

（2）計(jì)算所有連接的權(quán)值，即2個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部相似度。

（3）迭代次數(shù)t＝1。

（4）隨機(jī)排列網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，生成序列X。

（5）for（x∈X），

Cx（t）＝g（Cxi1（t），…，Cxim（t），Cxi（m＋1）（t－1），…，Cxik（t－1））。

（6）若所有節(jié)點(diǎn)的label都不再變化則結(jié)束；否則t＝t＋1并且返回步驟（4）。

易知該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（m＋n），其中，m為網(wǎng)絡(luò)中的邊數(shù)，n為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本節(jié)主要是LPA算法與LPALS算法在人工基準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，由于這2種算法都具有一定的隨機(jī)性，所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果都取10次實(shí)驗(yàn)的平均值。

3.1 LFR基準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

LFR基準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)［12］被廣泛應(yīng)用于測(cè)試社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法的性能。這種網(wǎng)絡(luò)能生成符合用戶指定分布的網(wǎng)絡(luò)，更接近真實(shí)的情況，這里的分布不僅包括網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的分布，而且包括各個(gè)社區(qū)中節(jié)點(diǎn)數(shù)的分布。本文中所使用的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度最大為50，最小為20，并且服從指數(shù)為2的冪律分布。在含有1 000和5 000個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，社區(qū)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)最大為50，最小為10，并且服從指數(shù)為1的冪律分布。在含有10 000個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，社區(qū)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)最大為100，最小為20，并且服從指數(shù)為1的冪律分布。參數(shù)μ表示社區(qū)的明顯程度，范圍從0到1，它表示網(wǎng)絡(luò)中處于社區(qū)之間的邊數(shù)與網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)的比值，所以μ值越大社區(qū)結(jié)構(gòu)越不明顯。

在節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 000（小規(guī)模）、5 000（中等規(guī)模）、10 000（較大規(guī)模）的網(wǎng)絡(luò)上，測(cè)試了LPA算法與改進(jìn)的LPALS算法的性能。其中，μ值從0.1向0.9變化，步長(zhǎng)為0.1，對(duì)比結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 1 000節(jié)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖5 5 000節(jié)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖6 10 000節(jié)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

從圖4～圖6可以看出，當(dāng)社區(qū)結(jié)構(gòu)比較明顯時(shí)2種方法的準(zhǔn)確率都較高，但是當(dāng)社區(qū)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜時(shí)，LPALS算法的準(zhǔn)確率要明顯高于原始的LPA方法。

另外，在節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 000、5 000、10 000的網(wǎng)絡(luò)上，在不同的μ值下測(cè)試了LPA算法與LPALS算法的執(zhí)行效率，結(jié)果見(jiàn)表1～表3所列。

從表1～表3中可以看出，LPALS算法的運(yùn)行時(shí)間和LPA算法相比并沒(méi)有太多增加，在提高了準(zhǔn)確率的前提下，運(yùn)算時(shí)間的增加是可以接受的。

表1 1 000節(jié)點(diǎn)運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 s

表2 表2 5 000節(jié)點(diǎn)運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 s

表3 表2 10 000節(jié)點(diǎn)運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 s

3.2 真實(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選用常用的 Zachary Karate網(wǎng)絡(luò)［13］、College Football網(wǎng)絡(luò)對(duì)算法LPA及LPALS進(jìn)行測(cè)試分析。表4、表5分別為Zachary空手道俱樂(lè)部網(wǎng)絡(luò)、美國(guó)大學(xué)橄欖球聯(lián)盟網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行2種算法的結(jié)果對(duì)比，結(jié)果用準(zhǔn)確率表示。

表4 Karate網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表5 Football網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，選擇較大的蛋白質(zhì)交互網(wǎng)絡(luò)［14］和 Email網(wǎng)絡(luò)［15］對(duì)算法 LPA及LPALS進(jìn)行測(cè)試分析。蛋白質(zhì)交互網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表6所列。由于Email網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的社區(qū)結(jié)構(gòu)，所以采用計(jì)算Q函數(shù)的方法來(lái)比較這2種算法，結(jié)果見(jiàn)表7所列。

表6 蛋白質(zhì)作用網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表7 Email網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從表4～表7的對(duì)比結(jié)果可以看出，LPALS在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)上的準(zhǔn)確率或Q函數(shù)高于LPA。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的拓?fù)湎嗨菩?，給出了一種改進(jìn)的標(biāo)簽傳播算法LPALS，在有效繼承了LPA算法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，提高了LPA算法的精度。該算法的精確度相比于適用于小規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的、高復(fù)雜度的算法來(lái)說(shuō)，精確度還有待進(jìn)一步提高。

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