苗 圃 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096)

塑料光纖(POF)由于其數(shù)值孔徑大、纖芯粗、柔韌性好、價(jià)格低廉、易于與光器件鏈接等優(yōu)點(diǎn)而越來越多地用于高速寬帶接入網(wǎng)中.研究和測試表明［1－3］，氟化聚合物梯度折射率塑料光纖(PF－GIPOF)在近紅外區(qū)域具有較小的衰減和微弱的模式色散且能夠使用石英玻璃光纖(GOF)系統(tǒng)常用的光電器件而成為接入網(wǎng)中最優(yōu)的傳輸介質(zhì)選擇.影響帶寬的主要因素是色散［2－4］，因此建立準(zhǔn)確的色散模型，選擇最優(yōu)參量，可有效地提高光纖的帶寬性能和傳輸能力.

國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)光纖的色散模型進(jìn)行了研究.Kurt 等［5－6］考慮了部分參數(shù)作用下的傳輸特性而忽略了其他參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，該類模型具有一定的應(yīng)用局限.Garito 等［7］考慮到了模式耦合但忽略了模式損耗因素，僅在光源滿注入(OFL)條件下成立，給帶寬的預(yù)測帶來了限制.Gasulla等［8］推導(dǎo)出的多模光纖色散模型能夠很好地描述其傳輸特性，但實(shí)現(xiàn)困難，形式復(fù)雜，適用于理論研究卻不利于仿真計(jì)算.Yabre［9］分析了模式時(shí)延、耦合因子和衰減系數(shù)等因素，在限模注入(RML)和OFL 條件下推導(dǎo)出多模光纖色散模型，隨后Ge等［10］在此基礎(chǔ)上使用模式選擇激勵(lì)法提高傳輸帶寬，但實(shí)驗(yàn)中細(xì)分的模式激勵(lì)卻不易準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn).本文在文獻(xiàn)［8－14］色散計(jì)算和模式耦合及損耗定量估計(jì)的基礎(chǔ)上，綜合考慮了折射率指數(shù)、材料色散、衰減系數(shù)、光注入條件和光源特性等因素，分析了全色散模型，借助數(shù)值計(jì)算研究了帶寬特性，旨在選擇最優(yōu)的光纖參量進(jìn)而提升傳輸帶寬.

1 基帶功率傳輸函數(shù)分析與推導(dǎo)

假設(shè)a 為纖芯半徑，n1(λ)和n2(λ)分別為光纖軸心和包層處的折射率，λ 為激勵(lì)光源的自由空間波長，α 為纖芯折射率分布指數(shù)，r 為距光纖軸心的距離，則PF－GIPOF 的折射率滿足平方律分布:

圖1 PF-GIPOF 的折射率分布與工作波長關(guān)系

光纖中存在許多滿足Maxwell 方程解的模式，每個(gè)傳導(dǎo)模式的傳輸速度和傳播常數(shù)各有差異，但近鄰傳導(dǎo)模之間的傳播常數(shù)和速度卻近似相等，可將這些近鄰傳導(dǎo)模組合為模群.通過WKB 法可計(jì)算出單位纖長的模群延遲為［9］

令光纖長度為z，Ω 為基帶角頻率，P(λ，λ0)為時(shí)間非相干光源的光譜分布，Ceff(m，λ)和L(m，λ，z)分別為光源對(duì)m 模群的激勵(lì)系數(shù)和傳輸損耗，G(m，λ，z，Ω)為不同光入射條件下的模式耦合效應(yīng).假設(shè)式(1)所定義的PF－GIPOF 是線性系統(tǒng)，當(dāng)a 較大且激勵(lì)光源頻譜線寬均方根W 滿足［10］

時(shí)，所激勵(lì)出的模式之間排列就會(huì)異常緊密，可認(rèn)為m 是連續(xù)值，那么m 和λ 對(duì)功率貢獻(xiàn)的和值計(jì)算便可使用積分來代替.則在復(fù)頻域內(nèi)其基帶功率傳輸函數(shù)可寫為

假設(shè)光源能量主要集中在中心波長λ0處，則Ceff(m，λ)，L(m，λ，z)和G(m，λ，z，Ω)可由它們?cè)讦?處的值來代替，以簡化模型的分析計(jì)算.

用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)式(2)左半部分展開，可得

為簡化計(jì)算，式(5)中第2 項(xiàng)和第3 項(xiàng)系數(shù)可分別由它們的平均值D0(λ0)和S0(λ0)來代替，取前3 項(xiàng)代入式(4)中，拆分化簡后可得

其中，色度色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

模式色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

由式(6)～(8)可看出，PF－GIPOF 的基帶功率傳輸函數(shù)可由2 個(gè)獨(dú)立的函數(shù)乘積組成，且色度色散與時(shí)延相關(guān)，而光源激勵(lì)、模式時(shí)延、差分模式損耗和模式耦合卻決定了模式色散.

2 色度色散效應(yīng)計(jì)算

假設(shè)光源功率譜具有高斯線譜分布特征，即

將式(1)、(2)和(9)代入式(7)中，計(jì)算得

其中，w1=－ D0(λ0)Wz，w2=(S0(λ0)+2D0(λ0)/λ0)W2z.可看出，即使系統(tǒng)工作在零色散波長附近，由于S0(λ0)的存在，色度色散對(duì)帶寬的影響也不能忽略.當(dāng)遠(yuǎn)離零色散波長區(qū)域時(shí)對(duì)色度色散的制約作用可忽略.

3 模式色散效應(yīng)計(jì)算

將式(8)對(duì)直流分量Hmd(λ0，z，0)進(jìn)行歸一化:

式中，R(m，λ0，z，Ω)=Ceff(m，λ0)G(m，λ0，z，Ω)·L(m，λ0，z)e－jΩτ(m，λ0)z為m 模群在復(fù)頻域內(nèi)的能量分布.

3.1 差分模式損耗的擬合

差分模式損耗(DMA)是指傳導(dǎo)模由于路徑不同造成各模式間損耗系數(shù)不同的現(xiàn)象.由于PFGIPOF 的制造材料、設(shè)備工藝及應(yīng)用場合不同，因此DMA 至今沒有統(tǒng)一確定的計(jì)算公式.模式損耗L(m，λ0，z)=e－αT(m，λ0)z，大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明αT(m，λ0)滿足修正的貝塞爾函數(shù)［9］，可表示為

式中，α0(λ)為本征損耗;Iρ為ρ 階修正的第一類貝塞爾函數(shù);η 為權(quán)重因子.根據(jù)測試數(shù)據(jù)找出合適的擬合因子ρ 和η，便可得出L(m，λ0，z)的解析表達(dá)式.

3.2 模式激勵(lì)系數(shù)

Ceff表示光耦合進(jìn)入纖芯后不同傳導(dǎo)模的功率比例，其值與光入射條件有關(guān).在OFL 條件下，光斑直徑與纖芯直徑相當(dāng)，光錐角大于光纖的數(shù)值孔徑，傳導(dǎo)模被均勻地激勵(lì)，光波能量均勻分配，此時(shí)Ceff=1.而在目前中短距離高速數(shù)據(jù)傳輸試驗(yàn)中，所用光源大多選擇受激輻射發(fā)光的半導(dǎo)體激光器或垂直腔面發(fā)射激光器，其發(fā)散角小、光束細(xì)且功率譜密度具有高斯線譜分布特征，注入到光纖截面的激光束直徑小于纖芯直徑，那么此時(shí)僅有部分傳導(dǎo)模被激勵(lì)承載光波能量，且各模式能量大小根據(jù)激光束半徑、注入到纖芯截面處的坐標(biāo)和入射角數(shù)值孔徑的不同而各有差異.在RML 條件下，Ceff便可由激勵(lì)模式和入射激光電場強(qiáng)度的交迭積分計(jì)算得到.

假設(shè)激光束中心和光纖截面軸心對(duì)齊，與其幾何形狀耦合匹配，在光纖截面則呈現(xiàn)出半徑為w圓對(duì)稱的近場光分布.設(shè)(x，y)為纖芯截面平面坐標(biāo)，則該點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為

令Hu為u 次厄米特多項(xiàng)式，受激模式的厄米特－高斯場可近似表示為［10］

式中，w0為歸一化激光束半徑.則Ein(x，y)和ψu(yù)v(x，y)對(duì)纖芯截面的積分為

那么m 模群的功率激勵(lì)系數(shù)均值為

可求得被激勵(lì)的模群數(shù)為

MGB(λ)=M(α，λ)·

在一定的波長下，激光束所激勵(lì)的初始模群個(gè)數(shù)與w 有關(guān)，受激模群越少，其能量差異就越小，各模群所承載的光功率越易趨于平衡，模群到達(dá)接收端的時(shí)間就越趨于一致，導(dǎo)致輸出信號(hào)的脈沖展寬量就變小.因此，合理選擇激光束半徑，可以有效減小模式色散，提高傳輸帶寬.

3.3 模式耦合函數(shù)

傳導(dǎo)模沿光纖傳播時(shí)，各模式之間非獨(dú)立，能量會(huì)隨機(jī)地在相鄰模式間轉(zhuǎn)移，引起能量重新分配.通過以上分析，Ceff，L 和τ 都可得到完整的解析表達(dá)，但由于模式之間能量轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性，卻很難得出G 的解析表達(dá).在基于傳導(dǎo)模式為連續(xù)變量且能量耦合只發(fā)生在相鄰模式間的假設(shè)條件下［11］，可通過能流方程來測量模式耦合系數(shù).基于此，同樣地可通過求解傳導(dǎo)模的功率流方程來表示R(m，λ0，z，Ω).綜合考慮式(11)中各個(gè)函數(shù)，參照Gloge 能流方程，可推出傳導(dǎo)模的功率流方程為

式中，d(m，λ0)為歸一化到M2(λ0)的模式耦合系數(shù).對(duì)于此類偏微分方程，使用Crank－Nicholson 的格式有限差分法便可以求出R(m，λ0，z，Ω)的數(shù)值解，相應(yīng)地Hmd(λ0，z，Ω)也可計(jì)算求解.

4 計(jì)算結(jié)果與分析

通過以上分析可知，PF－GIPOF 的長度、折射率指數(shù)、工作波長、激勵(lì)光源等參量影響著色度色散和模式色散，在不同條件下通過式(7)、(8)計(jì)算其頻率響應(yīng)進(jìn)而可得到其帶寬特性.由于模式耦合對(duì)帶寬影響甚微，在以下計(jì)算中取G =1.

4.1 傳輸參量計(jì)算與仿真

假設(shè)參數(shù)z =200 m，α =2，λ0=1 300 nm，芯/包直徑為120/490 μm，使用W =5 nm，w =20 μm的光譜高斯分布光源，通過式(1)可得n1=1.348，n2=1.336，Δ=0.009 5，數(shù)值孔徑NA=0.186 1.在1 300，850 和650 nm 工作波長下，保持其他參量不變，計(jì)算單位長度模群時(shí)延，結(jié)果如圖2所示.由圖可見，650 nm 的高階模群時(shí)延量要小于低階模群，而1 300 nm 的情況與其相反，850 nm 的模群間時(shí)延的差異最小.

圖2 不同工作波長下單位長度的模群時(shí)延對(duì)比

改變w，可得到被激勵(lì)的模群數(shù)與w 在不同工作波長下的仿真對(duì)比，如圖3所示.該類曲線呈開口向上的拋物線狀，不同波長的光源所激勵(lì)的模群總數(shù)也有所不同，可求得在w =11.76 μm 處的激勵(lì)模群最少.因此合理選擇w，使激勵(lì)模群總量越少，其能量分配就越易趨向平衡狀態(tài)，模群傳播常量差異就愈小，色散效應(yīng)也就越弱，進(jìn)而傳輸帶寬可得到相應(yīng)提高.

圖3 不同光源激勵(lì)的模群數(shù)目對(duì)比

4.2 不同條件下的頻率響應(yīng)計(jì)算與分析

令w =11.76 μm，z =100 m，采用文獻(xiàn)［11－13］中的實(shí)驗(yàn)方法，取ρ =11，η =12.2 對(duì)式(12)數(shù)值擬合［14］，保持光纖其他參量不變，在考慮DMA 和忽略DMA 情況下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)計(jì)算對(duì)比如圖4所示.可以看出由于DMA 的作用，－3 dB 帶寬從1.56 GHz 提升到5.12 GHz.由于高階模群衰減大于低階模群，在傳輸一定距離后，高階模群會(huì)因劇烈衰減而消失，在輸出端的最大相對(duì)延遲不再位于m/M =0 和m/M =1 之間，而是在m/M =0 和某個(gè)小于1 的模群之間.因此，高階模的消失在一定程度上減小了模式間的最大時(shí)延，導(dǎo)致脈沖展寬減小，模間色散減弱.這從另一方面說明了DMA 對(duì)傳導(dǎo)模具有“濾波”作用，其帶寬的提高是色散和損耗的折中結(jié)果.取不同纖長的頻率響應(yīng)，在忽略DMA、考慮DMA、使用Gasulla［8］模型和Tolga［5］模型情況下，計(jì)算出的－3 dB 帶寬分別為B1，B2，B3和B4，結(jié)果如圖5所示.可看出，B2和B3接近，但B3形式復(fù)雜不利于仿真計(jì)算，B4從脈沖時(shí)延角度統(tǒng)計(jì)帶寬，參數(shù)考慮不全面，結(jié)果與B1近似.

圖4 考慮DMA 和忽略DMA 情況下的頻率響應(yīng)對(duì)比

圖5 －3 dB 帶寬與光纖長度的關(guān)系對(duì)比

DMA 可提高傳輸帶寬，但為了研究其他參數(shù)對(duì)帶寬的影響，就必須忽略DMA 以免與其他參數(shù)的作用發(fā)生混淆.由于α 影響著纖芯折射率的分布情況，α 不同，傳導(dǎo)模的路徑也就不同.保持材料參數(shù)和光源參數(shù)不變，α 分別取1.8，2.0，2.1，2.16和2.3，得到的頻率響應(yīng)對(duì)比如圖6所示.α 增大，帶寬相應(yīng)提高，但α 同時(shí)又影響著材料色散和模式耦合，并非愈大愈好.當(dāng)α 逐漸增大以致折射率分布結(jié)構(gòu)愈趨近于SIPOF 時(shí)，模式傳播路徑被延長，模式耦合便對(duì)傳輸特性起主導(dǎo)作用，帶寬反而急劇下降.因此選擇合理的α 可使模式間路程差最小，耦合效應(yīng)最低，帶寬最大.計(jì)算后可知，α =2.16 時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)－3 dB 帶寬為3.92 GHz.

圖6 不同折射率指數(shù)下的頻率響應(yīng)對(duì)比

同樣地，α 仍取2.0，忽略DMA，其他參數(shù)同上，λ 分別取650，1 300 和1 550 nm 時(shí)，頻率響應(yīng)對(duì)比如圖7所示.經(jīng)計(jì)算可知盡管在1 550 nm 處存在較小的材料色散，但由于DMA 效應(yīng)要比1 300 nm 處的小，在材料色散和DMA 對(duì)帶寬的影響中，DMA 仍占據(jù)主導(dǎo)作用，因此－3 dB 帶寬就小于1 300 nm 處的帶寬.所以，波長對(duì)帶寬的影響其本質(zhì)是不同激勵(lì)條件下的材料色散和DMA 共同競爭的結(jié)果.通過圖4～圖7的頻率響應(yīng)對(duì)比可知，帶寬特性是眾多傳輸參量共同作用的結(jié)果，改變單一參量并不能使傳輸性能最優(yōu).綜合考慮各個(gè)因素對(duì)傳輸特性的影響，合理選擇傳輸參量，才能最大程度地提升帶寬性能.

圖7 不同工作波長下的頻率響應(yīng)對(duì)比

5 結(jié)語

PF－GIPOF 良好的物理特性和寬帶特性使其成為短距通信的最佳傳輸介質(zhì).本文在任意折射率圓對(duì)稱光纖傳輸參量計(jì)算的基礎(chǔ)上，理論分析了傳輸特性，推導(dǎo)出基帶功率傳輸函數(shù)，得到綜合折射率指數(shù)、材料色散、光注入條件等因素的色散計(jì)算模型，仿真得到模群時(shí)延和模式損耗的分布特性，取不同參數(shù)計(jì)算頻率響應(yīng)和－3 dB 帶寬.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:DMA 在一定程度上可提高傳輸帶寬，合理選擇激勵(lì)光源和光纖傳輸參量可有效提高系統(tǒng)的通信性能.該色散模型可用于任意條件下PF－GIPOF 傳輸參量和帶寬的估算及仿真，為推動(dòng)POF在數(shù)據(jù)通信等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論分析和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，具有一定的實(shí)用價(jià)值.

References)

［1］Palais J C.光纖通信［M］.王江平，等譯.5 版.北京:電子工業(yè)出版社，2011:12－16.

［2］王云明，孫小菡，張明德，等.塑料光纖錐形過渡器光波傳輸特性研究［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，32(3):351－354.

Wang Yunming，Sun Xiaohan，Zhang Mingde，et al.Study on performance of lightwave propagation in trapered polymer optical fiber connector ［J］.Journal of Southeast University:Natural Science Edition，2002，32(3):351－354.(in Chinese)

［3］Okonkwo C M，Tangdiongga E，Yang H.Recent results from the EU POF－PLUS project:multi－gigabit transmission over 1 mm core diameter plastic optical fibers［J］.Journal of Lightwave Technology，2011，29(2):186－193.

［4］Louvros S，Kougias I E.Attenuation and time dispersion measurements of graded index polymer optical fiber for indoor cellular coverage［J］.Contemporary Engineering Sciences，2009，2(2):47－58.

［5］Kurt T，Yongacoglu A，Chouinard J Y.OFDM and externally modulated multi－mode fibers in radio over fiber systems［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2006，5(10):2669－2674.

［6］Yuen R，F(xiàn)ernando X N，Krishnan S.Radio over multimode fiber for wireless access［C］//Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering.Ontario，Canada，2004，3:1715－1718.

［7］Garito A F，Wang J，Gao R.Effects of random perturbations in plastic optical fibers［J］.Science，1998，281(5379):962－967.

［8］Gasulla I，Capmany J.Transfer function of multimode fiber links using an electric field propagation mode:application to radio over fiber system ［J］.Optics Express，2006，14(20):9051－9070.

［9］Yabre G.Comprehensive theory of dispersion in gradedindex optical fibers［J］.Journal of Lightwave Technology，2000，18(2):166－177.

［10］Ge W P，Yin Z M，Liu J J.Numerical calculation of bandwidth of graded－index plastic optical fiber under selective mode excitation ［J］.Journal of Optical Communications，2005，26(4):168－170.

［11］Golowich S E，White W，Reed W A.Quantitative estimates of mode coupling and differential modal attenuation in perfluorinated graded－index plastic optical fiber［J］.Journal of Lightwave Technology，2003，21(3):111－121.

［12］Lethien C，Loyze C，Vilcot J P.Differential mode delay measurements of fluorinated graded index polymer optical fiber ［J］.Photonics Technology Letters，2008，20(18):1584－1586.

［13］Montero D S，Vazquez C.Analysis of the electric field propagation method:theoretical model applied to perfluorinated graded－index polymer optical fiber links［J］.Optics Letters，2011，36(20):4116－4118.

［14］Yabre G.Theoretical investigation on the dispersion of graded－index polymer optical fibers ［J］.Journal of Lightwave Technology，2000，18(6):866－877.