苑小華，鄭輝，余飛群

（盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610041）

均勻圓陣二維波達(dá)角估計(jì)的Cramer-Rao界?

苑小華??，鄭輝，余飛群

（盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610041）

均勻圓陣（UCA）是一種應(yīng)用廣泛的具有二位波達(dá)角估計(jì)能力的平面陣列。為了從理論上分析不同陣列參數(shù)下到達(dá)波方位角（AOA）、仰角估計(jì)精度，推導(dǎo)了均勻圓陣二維波達(dá)角估計(jì)的性能界，以此為基礎(chǔ)分析了陣列孔徑、陣元個(gè)數(shù)、快拍數(shù)以及來(lái)波仰角高低與到達(dá)角估計(jì)精度的關(guān)系，并通過(guò)對(duì)UCA-MUSIC算法計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。研究結(jié)果為波達(dá)角估計(jì)類算法提供了可供參考的性能下界，圓陣設(shè)計(jì)時(shí)也不再需要大量的Monte Carlo仿真試驗(yàn)確定陣列參數(shù)，可直接從估計(jì)精度表達(dá)式中獲得。

均勻圓陣；二維波達(dá)角估計(jì)；低仰角；Cramer-Rao界

1 引言

均勻圓形陣列（Uniform Circular Array，UCA）是陣元均勻分布在一個(gè)圓周上的平面陣列，相比其他陣形具有很多優(yōu)點(diǎn)，如無(wú)180°方位模糊，分辨率與方向無(wú)關(guān)，可同時(shí)估計(jì)到達(dá)波的方位角和仰角等，因此均勻圓陣被廣泛應(yīng)用于各種測(cè)向系統(tǒng)中。當(dāng)平面陣列的孔徑受限時(shí)，均勻圓陣對(duì)到達(dá)波特別是低仰角到達(dá)波的仰角估計(jì)精度不足，因此大孔徑均勻圓陣在仰角分辨能力上優(yōu)勢(shì)明顯。

在陣列初始設(shè)計(jì)階段，陣列孔徑、陣元數(shù)、快拍數(shù)、信噪比等參數(shù)都會(huì)影響估計(jì)性能，通常的做法是通過(guò)Monte Carlo仿真取統(tǒng)計(jì)平均確定各參數(shù)的影響。當(dāng)各參數(shù)的影響相互干擾時(shí)，需要大量的Monte Carlo仿真計(jì)算以確定最佳參數(shù)。而用到達(dá)角估計(jì)的性能下界代替計(jì)算機(jī)仿真可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量，從而快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)陣列參數(shù)設(shè)計(jì)。

波達(dá)角估計(jì)算法的研究同樣需要衡量算法性能優(yōu)劣的統(tǒng)一參考標(biāo)準(zhǔn)。由于均勻圓陣的陣列流型不具有類似均勻線陣的Vandermonde陣列形式，使得許多基于均勻線陣的優(yōu)良算法不能直接應(yīng)用于均勻圓陣。Mathews［1］、Zoltowski［2］等將模式激勵(lì)技術(shù)與高分辨算法相結(jié)合把圓陣的陣元空間變換到波束空間，使得許多均勻線陣的算法得以移植到圓陣上，如黃浩學(xué)等［3］基于模式空間變換提出仰角、方位角和多普勒頻移的聯(lián)合估計(jì)算法，張輝等［4］在模式空間變換的基礎(chǔ)上提出通過(guò)矩陣束的廣義特征值計(jì)算入射信號(hào)的方位角和俯仰角以減小了孔徑損失并實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)配對(duì)。高書(shū)彥等［5］提出基于模式空間矩陣重構(gòu)的空間譜估計(jì)算法比空間平滑類算法具有更好的性能。然而，Belloni等［6］指出模式空間變換帶來(lái)估計(jì)性能的損失，而上述大多數(shù)算法在性能仿真時(shí)并沒(méi)有給出算法估計(jì)精度與估計(jì)下界的比較結(jié)果，無(wú)法橫向比較各種算法的性能。

Stoicia等［7］推導(dǎo)了基于陣列信號(hào)處理的一維方位角估計(jì)性能下界，即Cramer-Rao界（簡(jiǎn)記為CRB）。Mathew等［1］給出了基于無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)樣本的二維波達(dá)角估計(jì)的CRB公式，但未給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，也沒(méi)有針對(duì)均勻圓陣得出相應(yīng)結(jié)論。

本文借鑒文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］的證明思路，將其推廣到均勻圓陣的二維波達(dá)角估計(jì)的CRB，并分析了陣元孔徑、陣元個(gè)數(shù)、信噪比、快拍數(shù)以及仰角高低與波達(dá)角估計(jì)精度的關(guān)系。最后通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真將基于陣元空間UCA－MUSIC算法的波達(dá)角二維估計(jì)性能曲線與推導(dǎo)的CRB進(jìn)行了比較，檢驗(yàn)了其正確性。

符號(hào)說(shuō)明：AT為矩陣轉(zhuǎn)置，AH為矩陣共軛轉(zhuǎn)置，A*為矩陣共軛，A－1為矩陣求逆，A⊙B為Hardmard積。

2 信號(hào)模型

如圖1所示，設(shè)圓陣的N個(gè)陣元均勻分布在半徑為r的圓周上，以圓周中心為原點(diǎn)如圖建立球坐標(biāo)系，陣元按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校趎個(gè)陣元方向與x軸的夾角為γn＝2πn/N，n＝1，2，…，N－1。假設(shè)D個(gè)同信道窄帶信號(hào)源si（t）（i＝1，2，…，D）從遠(yuǎn)場(chǎng)入射，載波波長(zhǎng)為λ，第i個(gè)信號(hào)源的到達(dá)角為（φi，θi），φ∈［0，2π）表示方向角，θ∈［0，π/2］表示來(lái)波方向與z軸的夾角。定義到達(dá)波仰角β為到達(dá)波方向與在xoy平面投影的夾角，β＝π/2－θ。

圖1 均勻圓陣的幾何示意圖Fig.1 Geometry schematic diagram of UCA

陣列接收的數(shù)據(jù)矩陣可表示為［9］

二維波達(dá)角估計(jì)的過(guò)程就是從接收數(shù)據(jù)矩陣x（）k中估計(jì)出（ξi，φi）。

3 二維波達(dá)角估計(jì)的Cramer-Rao界

只考慮信號(hào)源是確定信號(hào)［8］，且假設(shè)如下條件成立：陣元個(gè)數(shù)N大于信號(hào)個(gè)數(shù)D；噪聲為獨(dú)立同分布的零均值復(fù)高斯白噪聲，E［e（t）e*（t）］＝σI且E［e（t）eT（t）］＝0。

將式（13）～（25）代入式（3）得

式（37）與文獻(xiàn)［4］給出的公式（33）相同，因此文獻(xiàn)［1］給出的CRB計(jì)算公式是K足夠大時(shí)得到的，而公式（31）是有限樣本長(zhǎng)度的CRB。

4 均勻圓陣二維波達(dá)角估計(jì)精度

將均勻圓陣的流型矩陣表達(dá)式代入式（31）即得到均勻圓陣的CRB表達(dá)式。下面利用CRB研究均勻圓陣的二維波達(dá)角估計(jì)性能，假設(shè)輻射源的個(gè)數(shù)為1，來(lái)波方向?yàn)椋é?，β），這里通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方式分析到達(dá)角估計(jì)的CRB隨陣列孔徑、陣元個(gè)數(shù)、快拍數(shù)以及來(lái)波仰角高低的變化關(guān)系。為了方便討論這里不考慮模糊和天線互耦的影響。

（1）陣列孔徑

陣元數(shù)為20，到達(dá)波仰角β＝5°，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨陣列孔徑波長(zhǎng)比（圓陣直徑與波長(zhǎng)的比）變化曲線如圖2所示。

圖2 CRB隨陣列孔徑波長(zhǎng)比變化曲線Fig.2 Curves of CRB versus aperturewavelength ratio

由圖可見(jiàn)，隨著陣列孔徑增大方位角和仰角的估計(jì)精度明顯提高，孔徑對(duì)仰角估計(jì)精度影響大于對(duì)方位角的影響。

（2）陣元個(gè)數(shù)

陣列孔徑波長(zhǎng)比D/λ＝4，來(lái)波仰角β＝5°，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨陣元數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 CRB隨陣元個(gè)數(shù)變化曲線Fig.3 Curves of CRB versus array elements number

由圖可見(jiàn)，隨著陣元數(shù)變大方位角和仰角的估計(jì)精度明顯提高。

（3）快拍數(shù)

陣列孔徑波長(zhǎng)比D/λ＝4，陣元數(shù)為20，來(lái)波仰角β＝5°，信噪比為10 dB。方位角和仰角的CRB隨快拍數(shù)變化曲線如圖4所示。

圖4 CRB隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 Curves of CRB versus snapshot number

由圖可見(jiàn)，隨著陣元數(shù)變大方位角和仰角的估計(jì)精度提高。快拍數(shù)小于500時(shí)精度提高較快，快拍數(shù)大于500后精度提高變緩。

（4）仰角

陣列孔徑波長(zhǎng)比D/λ＝4，陣元數(shù)為20，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨仰角變化曲線如圖5所示。

圖5 CRB隨來(lái)波仰角變化曲線Fig.5 Curves of CRB versus elevation angle

由圖可見(jiàn)，隨著來(lái)波仰角增大，方位角估計(jì)精度降低而仰角估計(jì)精度提高。當(dāng)仰角大于70°時(shí)，方位角估計(jì)精度降低加速；當(dāng)仰角小于10°時(shí)，仰角估計(jì)精度降低加速。

5 計(jì)算機(jī)仿真

為了對(duì)CRB做進(jìn)一步驗(yàn)證，對(duì)基于二維搜索的UCA-MUSIC算法進(jìn)行Monte Carlo仿真，并將估計(jì)性能與CRB作了比較。陣列采用大孔徑均勻圓陣，陣列孔徑采用D/λ＝2、D/λ＝4、D/λ＝8三種，陣元數(shù)取20，單信號(hào)源到達(dá)角（φ，θ）＝（270°，85°），噪聲源取零均值加性高斯白噪聲。UCA-MUSIC算法譜估計(jì)公式為

其中，a（φ，θ）的計(jì)算見(jiàn)式（1），＾UN是對(duì)接收信號(hào)的自相關(guān)矩陣作特征分解得到的噪聲子空間特征向量矩陣［9］。對(duì)式（38）做二維搜索得到參數(shù)φ和θ的估計(jì)值。快拍數(shù)取200，通過(guò)1 000次仿真實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)平均得到方位角和仰角估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比變化的曲線，如圖6所示。

仿真結(jié)果表明，UCA-MUSIC算法方位角和仰角估計(jì)偏差略高于CRB，隨著信噪比的增加逐漸接近CRB。對(duì)不同的圓陣孔徑仿真比較的結(jié)果與由CRB計(jì)算得到的比較結(jié)果一致。

6 結(jié)論

本文從陣列接收信號(hào)的概率密度函數(shù)出發(fā)，給出了均勻圓陣二維波達(dá)角估計(jì)Cramer-Rao界計(jì)算公式的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程，與文獻(xiàn)［1］給出的結(jié)論形式一致，并以此為基礎(chǔ)分析得出結(jié)論：方位角和仰角估計(jì)精度隨陣列孔徑、陣元數(shù)、快拍數(shù)和信噪比的增加單調(diào)遞減，仰角低于10°時(shí)仰角估計(jì)精度下降迅速，仰角高于70°時(shí)方位角估計(jì)精度下降速度快。UCA

MUSIC算法的Monte-Carlo仿真結(jié)果與推導(dǎo)得到的CRB進(jìn)行了比較，UCA-MUSIC的估計(jì)誤差曲線略高于CRB且隨著信噪比增加逐漸趨近CRB。本文推導(dǎo)得到的CRB不僅為波達(dá)角估計(jì)類算法提供了可供參考的性能下界，圓陣設(shè)計(jì)時(shí)確定陣列參數(shù)可直接利用CRB公式計(jì)算，不再需要大量的Monte Carlo仿真試驗(yàn)獲得。

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［11］葉中付.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009：254－256. YE Zhong-fu.Statistical Signal Processing［M］.Hefei：University of Science＆Technology of China Press，2009：254－256.（in Chinese）

［12］張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004. ZHANG Xian-da.Matrix Analysis and Applications［M］. Beijng：Springer Press，2004.（in Chinese）

苑小華（1982—），男，河北滄州人，2007年于盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師、博士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理；

YUAN Xiao-hua was born in Cangzhou，Hebei Province，in 1982.He received the M.S.degree from National Key Laboratory of Blind Signals Processing in 2007.He is now an engineer and currently working toward the Ph.D.degree.His research direction is array signal processing.

Email：y－xiaohua＠163.com

鄭輝（1957—），男，重慶人，1982年于東南大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為高級(jí)工程師、博士生導(dǎo)師，主要研究方向盲信號(hào)處理；

ZHENG Huiwas born in Chongqing，in 1957.He received the B.S.degree from SoutheastUniversity in 1982.He is now a senior engineer and also the Ph.D.supervisor.His research concerns blind signals processing.

余飛群（1982—），男，湖北黃梅人，2007年于盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師、博士研究生，主要研究方向?yàn)榭臻g波束合成。

YU Fei-qun was born in Huangmei，Hubei Province，in 1982. He received the M.S.degree from National Key Laboratory of Blind Signals Processing in 2007.He is now an engineer and currently working toward the Ph.D.degree.His research direction is antenna and propagation.

Cramer-Rao Bound for 2-D Angle Estimation w ith Uniform Circular Array（UCA）

YUAN Xiao-hua，ZHENG Hui，YU Fei-qun
（National Key Laboratory of Blind Signals Processing，Chengdu 610041，China）

Uniform circular array（UCA）is a kind ofwidely used planar arraywhich provides2-D angle of arrival（AOA）estimation.In order to analyze the precision of this estimation under different array shape，the performance bound for2-D angle estimation with uniform circular array is deduced and influence of array aperture，element number，snapshot and elevation angle on estimation accuracy is shown.Finally computer simulation of UCA-MUSIC algorithm is given to comparewith the Cramer-Rao bound（CRB）derived.The conclusion provides a performance bound for AOA estimation algorithms and proposes a newmethod for UCA design instead ofMonte Carlo simulationswith large amount of calculation.

uniform circular array；2-D angle of arrival estimation；low elevation angle；Cramer-Rao bound

TN911

A

1001－893X（2013）01－0044－07

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.01.009

2012－08－17；

2012－10－23 Received date：2012－08－17；Revised date：2012－10－23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61001111）

Foundation Item：The National Natural Science Foundation of China（No.61001111）

??通訊作者：y－xiaohua＠163.com Corresponding author：y－xiaohua＠163.com