李永峰 陳 華

（內(nèi)蒙古科技大學 數(shù)理與生物工程學院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

量子力學是研究微觀粒子運動規(guī)律的物理學分支學科，它主要研究原子、分子等微觀客體的運行規(guī)律。由于量子力學的出現(xiàn)，材料的半導體性、超導性、磁性都有了突破性的進展，除此之外它在化學等有關(guān)學科和許多近代技術(shù)中也得到了廣泛的應用。數(shù)學是人類認識客觀世界的重要工具，通過抽象、概括及推理來描述自然科學中各種量的變化關(guān)系。高等數(shù)學是理工科專業(yè)學生都要學的基礎(chǔ)課程，“高等”是相對學生中學所學的數(shù)學而言的，它比中學數(shù)學更抽象，但邏輯更為嚴密和應用更為廣泛。它的抽象性、邏輯性在量子力學中得到充分的應用。想要學好量子力學，理解量子力學，數(shù)學基礎(chǔ)是必不可少的。

1 量子力學的建立與數(shù)學密不可分

量子力學是在波爾氫原子理論、德布羅意物質(zhì)波理論基礎(chǔ)上，先由薛定諤和海森堡獨立提出，又經(jīng)過狄拉克等人補充完善而建立的。

微分方程與薛定諤理論。1923年德布羅意根據(jù)類比的關(guān)系提出電子如同光子一樣具有波粒二象性，給出了著名的德布羅意關(guān)系:E=?ω，p→=?k→，結(jié)合駐波理論可以解釋波爾氫原子理論中穩(wěn)定的電子軌道。物質(zhì)波被戴維孫和革末在實驗上所證實，但它的本質(zhì)和運動規(guī)律卻不清楚。薛定諤把電子看成一團帶電物質(zhì)作松緊振動的實體波，從經(jīng)典力學出發(fā)導出這種物質(zhì)波滿足的微分方程——薛定諤方程，它以簡潔的數(shù)學形式描述了物質(zhì)波在空間中隨時間的演化規(guī)律，是量子力學的重大突破。利用薛定諤方程方程，不需要波爾的三種假設(shè):定態(tài)假設(shè)、躍遷條件和角動量條件，可以得到和波爾氫原子理論相同的結(jié)果，使人類認識微觀世界脫離了波爾那種半經(jīng)典半量子模型，量子力學觀念迅速的被接受和認可。

矩陣與海森堡理論。海森堡認為解開原子之謎，只能從可觀察的數(shù)量入手。海森堡接受波爾理論中被實驗所證實量子化的概念，如能級、定態(tài)、量子躍遷等概念，忽略了電子軌道的觀點。他從經(jīng)典力學中的哈密頓正則運動方程出發(fā)，指出原子穩(wěn)定態(tài)的理論需要電子坐標、動量等物理量必須用厄米矩陣描述，由于經(jīng)典力學中的乘法與矩陣乘法有巨大的區(qū)別，導致力學量之間存在對易關(guān)系，接受這種對易規(guī)則，微觀體系中包括能量在內(nèi)的確定值和平均值都能給出，還可以計算出兩個定態(tài)之間的躍遷概率。隨著計算機的發(fā)展，矩陣力學在量子力學中的應用更為廣泛。

薛定諤在提出波動力學之后，接著證明了它與海森堡的矩陣力學是等價的。量子力學更普遍的表述是由狄拉克等人完成的，他們仔細分析了波動力學和矩陣力學的本質(zhì)特征，結(jié)合數(shù)學中矢量運算中的坐標系選取的觀點，認為不同的物理問題需要不同量子力學形式描述更為方便，整理出表象理論，使量子力學體系更加完美。

2 量子力學與數(shù)學工具

量子力學中的狀態(tài)用波函數(shù)來描述，每一個波函數(shù)可以看成數(shù)學中的希爾伯特空間的一個矢量?？臻g的運算法則，如矢量的加法、數(shù)乘、內(nèi)積也是量子力學中基本運算，基矢量的線性無關(guān)和完全性與力學量的本征態(tài)的特點對應。量子力學中的力學量用算符或者矩陣來描述，數(shù)學中的微分方程和矩陣運算對與量子力學就尤為重要。此外作為可觀測的力學量，它的取值有確定值和期望值兩種，理解確定值需要學好數(shù)學中本正值與本整函數(shù)理論，期望值的概念涉及到數(shù)學中與概率相關(guān)的知識。在表象理論中波函數(shù)在坐標表象下和動量表象下的描述可以看成是數(shù)學中的傅里葉變換，表象變換就是線性代數(shù)中的幺正變化。

想學好量子力學，以下相關(guān)的數(shù)學知識需要特別留意。

厄米方程與諧振子模型。任意在平衡位置附近的小振動都可以用諧振子模型來描述，如果選擇合適的坐標系，該物理模型可以分解成一系列相互獨立的一維諧振動。諧振子是量子力學中為數(shù)不多的可以精確求解的例子，研究清楚諧振子問題，對理解量子和應用量子力學都有巨大的幫助。有關(guān)諧振子問題就需我們掌握厄米方程相關(guān)問題，要知道厄米方程:

球諧函數(shù)與氫原子理論。氫原子問題被薛定諤方程嚴格求解，是量子力學建立初期的巨大成就。有關(guān)氫原子問題，其本質(zhì)是電子在庫侖場中的運動，涉及到的相關(guān)數(shù)學知識是與角動量算符本征方程:

理解球諧函數(shù)Ylm（θ，φ）的特征,有利于相關(guān)知識的掌握。

δ函數(shù)。波函數(shù)的歸一化在量子力學中非常重要，本正值是連續(xù)譜的情況下，波函數(shù)的歸一化就是δ函數(shù)，要想熟練地進行相關(guān)運算，δ函數(shù)的特征必須熟悉:

3 量子力學與數(shù)學相輔相成。

綜上所述，量子力學的產(chǎn)生、完善都與高等數(shù)學密切相關(guān)，其中涉及到了大部分高等數(shù)學知識，如數(shù)學分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、微分方程等。學生想要學好量子力學，相關(guān)的數(shù)學知識必須掌握扎實。同時學生在本科期間所學的高等數(shù)學知識，在量子力學中都能得到應用。量子力學這門課程一般都開設(shè)在本科第三學年，正是高等數(shù)學都已學完，學生開始準備考研的關(guān)鍵時期，如果能利用量子力學這門課程，加強學生數(shù)學方面的訓練，不僅能提高量子力學的教學質(zhì)量，對培養(yǎng)學生的綜合科研素質(zhì)也有幫助。

［1］曾謹言.量子力學:卷 I[M].3 版.科學出版社，2000.

［2］喀興林.高等量子力學[M].2 版.高教出版社，2001.