惠思　唐新晨　武芝慧

摘 要：在電子湯普孫散射的經(jīng)典理論的基礎(chǔ)上，通過理論分析和計(jì)算機(jī)模擬，研究圓偏振周期量級(jí)激光脈沖作用下電子輻射的空間分布特性，提出可能的應(yīng)用方向。研究發(fā)現(xiàn)，在相對(duì)論光強(qiáng)下，隨著激光強(qiáng)度的增強(qiáng)，電子輻射逐漸增強(qiáng)，能量不斷的向輻射中心集中，輻射能量分布的方向性逐漸突出；當(dāng)改變激光的初相位時(shí)，電子輻射的總體方向發(fā)生偏移，表現(xiàn)為輻射分布圖形的對(duì)稱平面發(fā)生旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)角度與激光初相位角改變大小相同。本文所進(jìn)行的相關(guān)探討基于電子輻射的三維空間立體圖，所得到的有關(guān)電子諧波輻射的結(jié)論，可以為實(shí)驗(yàn)和工程上對(duì)電子輻射和激光參數(shù)測(cè)量的相關(guān)應(yīng)用提供參考。

關(guān)鍵詞：圓偏振；周期量級(jí)；電子輻射

近十年來，由于激光技術(shù)的迅猛發(fā)展和啁啾脈沖放大（CPA）技術(shù)的廣泛應(yīng)用，使激光脈沖的峰值強(qiáng)度提高至太瓦甚至拍瓦數(shù)量級(jí)，脈沖寬度也由ps短至fs，這使得諧波輻射的研究發(fā)生了質(zhì)的飛躍，為研究相對(duì)論電子動(dòng)力學(xué)有關(guān)問題提供了新的途徑。由于在相對(duì)論光強(qiáng)作用下，電子的振蕩速度可接近光速，此時(shí)光場(chǎng)中的磁場(chǎng)可以和電場(chǎng)相比，而電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)電子的共同作用使得電子的湯姆孫散射形成了相對(duì)論的、非線性的復(fù)雜問題，因此引起了很多學(xué)者的關(guān)注。目前已有不少理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)合自由電子或完全電離的等離子體，研究強(qiáng)激光驅(qū)動(dòng)下的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡和諧波輻射特性[1-10]。這些理論和實(shí)驗(yàn)，對(duì)包括醫(yī)學(xué)成像、X射線診斷學(xué)、核共振吸收、顯微術(shù)、固體物理和材料科學(xué)等領(lǐng)域來說有著巨大的革新意義。

基于上述認(rèn)識(shí)，我們采用單電子模型，結(jié)合電子在激光場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，忽略散射場(chǎng)對(duì)電子的反作用，從理論分析和計(jì)算機(jī)模擬上，研究圓偏振周期量級(jí)激光脈沖作用下電子振蕩導(dǎo)致的輻射的三維空間分布特性，給出在不同強(qiáng)度和不同初相位激光脈沖作用下電子輻射功率的三維空間立體圖及對(duì)圖像的定量描述，并據(jù)此詳細(xì)討論了激光脈沖強(qiáng)度和初相位對(duì)電子輻射能量的空間分布形態(tài)的影響。根據(jù)具體的形態(tài)變化，該文建立了激光強(qiáng)度、相位和電子輻射特性的圖像對(duì)應(yīng)關(guān)系和函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以為實(shí)驗(yàn)和工程上對(duì)電子輻射和激光參數(shù)測(cè)量的相關(guān)應(yīng)用提供參考。

1 作用模型和基本方程

圓偏振高斯脈沖激光電場(chǎng)的歸一化矢勢(shì)通常寫成下面的形式：

其中α0是被mc2/e歸一化的激光振幅，具體為α0=e|A|/mc2= （其中A為激光電場(chǎng)矢勢(shì)的振幅，I為激光光強(qiáng)，以W/cm2為單位；λ為激光波長，m和e分別是電子的靜止質(zhì)量和電荷，c為光速）；η=z-t，L=d/2，d是激光的脈沖寬度，δ是偏振參數(shù)，對(duì)圓偏振光δ=±1，Θ是激光脈沖的初始位相，我們可以任意設(shè)定激光脈沖的初始位，初始位相表示當(dāng)電子剛剛與激光脈沖相遇時(shí)激光脈沖的位相，在上面的定義中，空間和時(shí)間坐標(biāo)分別被 和 歸一化，ω0和k0分別是激光的圓頻率和波數(shù)。

假設(shè)超短激光脈沖沿z軸傳播，靜止的電子位于坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)激光脈沖遇到電子時(shí)，電子在激光電場(chǎng)作用下除了在橫向做高頻振蕩外，還被激光脈沖的有質(zhì)動(dòng)力推動(dòng)向前運(yùn)動(dòng)，但是這種推動(dòng)作用只對(duì)強(qiáng)激光脈沖有明顯效果，在激光脈沖與電子相互作用的過程中，電子會(huì)向各個(gè)方向發(fā)出輻射，若n為電子的輻射方向，則 （θ和ф如圖1所示）。

電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以用拉格朗日方程和電子的能量方程描述[11]

式中，u是用光速c歸一化的電子速度；a是用mc2/e歸一化的矢勢(shì)；p=γu是用mc歸一化的電子動(dòng)量， 是相對(duì)論因子，也是用mc2歸一化的電子能量。方程（2）中的 只作用于a上，因此電子的運(yùn)動(dòng)可以通過η的函數(shù)來描述，且有 和 ，將方程（2）和（3）經(jīng)過代數(shù)變換，得到下面的方程組：

式中，假設(shè)當(dāng)a=0時(shí)，電子的橫向速度 ；ε是由初始條件決定的常數(shù)，由此電子運(yùn)動(dòng)可以被完全決定，電子的速度、位移可以表示為：

由電動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，做相對(duì)論加速運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)放出電磁輻射，單位立體角內(nèi)的輻射功率可以表示為[12]：

其中輻射功率 被 歸一化，n為輻射方向， ，t?是電子與激光脈沖相互作用的時(shí)間，t是觀察點(diǎn)的時(shí)間，也是相對(duì)于t?的推遲時(shí)間，t與t?的關(guān)系為：

其中R是觀察點(diǎn)和電子與激光脈沖作用點(diǎn)之間的距離，我們認(rèn)為觀測(cè)點(diǎn)離作用區(qū)域足夠遠(yuǎn)。

2 結(jié)果分析和結(jié)論

根據(jù)（8）式易求得做相對(duì)論加速運(yùn)動(dòng)的電子在全空間單位立體角內(nèi)的輻射功率及其分布情況。在討論過程中，我們使用的參數(shù)為：γ0=1，即電子初始靜止，激光中心波長為λ=1μm，激光脈沖寬度d=2λ0，即脈沖寬度約為6.6fs。采用控制變量的基本實(shí)驗(yàn)方法，結(jié)合（1）式，先控制激光的初相位不變，觀察激光強(qiáng)度對(duì)電子全空間散射的影響，再控制激光強(qiáng)度不變，觀察激光初相位對(duì)電子全空間散射的影響，最后給出結(jié)論。

2.1 激光強(qiáng)度對(duì)電子全空間散射的影響

（圖像說明：左圖表示在激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下，各個(gè)方向上的電子單位立體角內(nèi)輻射功率的數(shù)值大小，θ和φ軸表示電子輻射的空間角度。右圖是電子立體角內(nèi)的輻射功率在全空間的歸一化分布圖像。）

當(dāng)激光強(qiáng)度指標(biāo)值a0=0.01時(shí)，此時(shí) 的值在θ為90度處具有最大值1.0304×10-4，趨近于0，這表示電子輻射功率非常小。此時(shí)激光強(qiáng)度低，電子幅射受激光的影響較低，導(dǎo)致電子幅射在各個(gè)方向上較為均勻，散射角較大，因此右側(cè)圖形近似呈球狀。

當(dāng)a0=0.80，此時(shí) 在θ為68度處有最大值，為5.0342；可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)激光強(qiáng)度提高時(shí)，電子受入射激光的影響，電子輻射面從球形逐漸變扁、變窄，并發(fā)生傾斜，電子輻射開始偏向Z軸，空間輻射分布不再均勻。

當(dāng)a0=1.30，此時(shí) 在θ為57度處有最大值，為35.8590，表明電子輻射有較大幅度的增強(qiáng)；激光強(qiáng)度繼續(xù)增大，電子空間輻射面所構(gòu)成的閉合圖形愈加變薄并明顯變窄，中部呈明顯凹進(jìn)，輻射的方向性和集中性得到體現(xiàn)。

當(dāng)a0=2.00，此時(shí) 在θ為45度處有最大值，為263.9933，電子輻射明顯增強(qiáng)；電子輻射空間輻射面的形狀更加扁平，中部凹陷，橫向變窄，前端突出，呈明顯卷曲狀，表現(xiàn)出能量沿著激光傳播方向Z軸正方向向前端集中，能量分布明顯不均。

當(dāng)激光強(qiáng)度a0=2.70，此時(shí) 在θ為37度處有最大值1.2095×103。電子輻射的功率非常大；電子空間輻射的三維分布的圖像已經(jīng)非常扁平、卷曲，橫向變窄縱向拉長，能量呈現(xiàn)長葉形分布。電子的輻射能量沿Z軸在輻射的前端區(qū)域集中，整個(gè)圖形“倒”向Z軸，能量的集中性和方向性已經(jīng)非常突出。

為了得到更加一般的規(guī)律，我們將a0=0.1到a0=3以0.1為跨度，重點(diǎn)研究輻射的參數(shù)變化規(guī)律，因?yàn)樵擖c(diǎn)可以反映電子輻射整體的變化規(guī)律。具體結(jié)果如下：

⑴最大值大小呈現(xiàn)如下規(guī)律

從圖中可以得到如下數(shù)據(jù)：當(dāng)a0=0.01時(shí)，max=0；當(dāng)a0=1.0時(shí)，max=12.0；當(dāng)a0=2.0時(shí)，max=264.0；而當(dāng)a0=3.0時(shí)，max=2118.5.可以看出，隨著激光強(qiáng)度的增大，電子輻射功率劇烈增長，足以說明激光強(qiáng)度對(duì)電子輻射強(qiáng)度的影響十分顯著。

以上敘述表明，激光強(qiáng)度決定了電子的輻射強(qiáng)度和能量的空間分布形狀。隨著激光強(qiáng)度的增大，電子的輻射強(qiáng)度快速增長；空間分布形狀由表示均勻分布的球形逐漸變扁、變卷，圖形橫向變窄，縱向拉長，并不斷貼近于激光入射軸，這表明相比于其它方向，沿激光傳播方向電子輻射前端的能量增長十分迅速，能量的集中性方向性不斷增強(qiáng)。

由于強(qiáng)激光作用下電子輻射的非線性特性，目前還沒有關(guān)于電子輻射強(qiáng)度最大值和激光強(qiáng)度的確切函數(shù)關(guān)系，我們根據(jù)圖2.2，可以提供上述關(guān)系的擬合函數(shù)，并在a0=0.01到a0=3.0 范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)大于95%的置信度。具體函數(shù)如下：

Max（a0）=18.79*a0^5-59.31*a0^4+112.9*a0^3-85.4*a0^2+ 25.91*a0-1.515 （2-1）

根據(jù)式（2-1），既可以根據(jù)a0得到相應(yīng)的電子輻射最大功率，也可以根據(jù)電子輻射最大功率得到入射激光的強(qiáng)度。

⑵隨著參數(shù)a0的逐漸增加，θ角度逐漸減小，減小規(guī)律如下圖所示

從圖中可以得到：當(dāng)a0=0.001時(shí)，θ=90度；當(dāng)a0=1.0時(shí)，θ=63度；當(dāng)a0=2.0時(shí)，θ=45度；而當(dāng)a0=3.0時(shí)，θ=34度?？梢钥闯觯S著激光強(qiáng)度的增大，電子輻射的空間分布在逐漸偏向一個(gè)特定方向。結(jié)合激光入射方向，發(fā)現(xiàn)電子輻射能量逐漸趨向激光入射軸。

同樣的，根據(jù)θ和a0的關(guān)系曲線可以得到兩者的擬合函數(shù)關(guān)系，置信度在a0∈（0.01，3.0）區(qū)間內(nèi)大于95%：

θ（a0）=-0.1266*a0^5+0.6676*a0^4-0.9559*a0^3+4.21* a0^2-30.51*a0+90.13 （2-2）

根據(jù)式（2-2），可以實(shí)現(xiàn)a0與角θ在較高置信度下的相互求解。

2.2 激光初相位對(duì)電子全空間散射的影響：

利用控制變量的方法，控制激光強(qiáng)度不變，改變激光初相位：

⑴a0=1.0，相位以90°為跨度從0°逐漸變化到360°時(shí)，電子輻射功率大小和全空間分布圖形的變化。

⑵a0=2.0，相位以90°為跨度從0°逐漸變化到360°時(shí)，電子輻射功率大小和全空間分布圖形的變化。

觀察以上幾組圖像，發(fā)現(xiàn)電子輻射功率的極大值點(diǎn)會(huì)隨著激光的初相位發(fā)生平“平移”，而電子輻射能量的全空間分布圖像則發(fā)生了繞激光傳播方向旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。

下面以激光強(qiáng)度a0=2.0為例做具體研究：

從圖3.1可以看出，激光的初始相位Θ=0°（360°）時(shí)，電子輻射功率在θ=45°φ=0°（360°）處有極大值；電子輻射的能量分布圖像關(guān)于ZOX平面對(duì)稱分布。

從圖3.2可以看出，激光的初始相位Θ=90°時(shí)，電子輻射功率圖像整體沿Φ軸發(fā)生偏移，偏移量為90°，電子輻射功率極大值現(xiàn)在在θ=45°φ=90°處取到；電子輻射能量的空間分布對(duì)稱平面繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°，所以全空間散射現(xiàn)在關(guān)于YOZ平面對(duì)稱。

從圖3.3可以看出，激光的初始相位Θ=180°時(shí)，與圖一相比，電子輻射功率圖像整體沿Φ軸發(fā)生偏移，偏移量為180°，極大值現(xiàn)在在θ=45°φ=180°處；電子輻射的對(duì)稱平面繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，所以全空間散射現(xiàn)在關(guān)于XOZ平面對(duì)稱。

從圖3.4可以看出，激光的初始相位Θ=360°時(shí)，與圖一相比，電子輻射功率圖像整體沿Φ軸發(fā)生偏移，偏移量為270°，極大值現(xiàn)在在θ=45°φ=270°處；電子輻射的能量分布的對(duì)稱平面繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°。

為了進(jìn)一步確定激光初始相位和電子輻射能量分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出如下表格：

所以，結(jié)合上述分析，可得如下關(guān)系：

經(jīng)過研究，我們發(fā)現(xiàn)激光初相位決定著電子輻射的對(duì)稱平面的旋轉(zhuǎn)角度，而對(duì)電子輻射強(qiáng)度沒有影響。若以φ=0°時(shí)的電子輻射功率分布圖像為參考，則激光初相位對(duì)電子全空間散射分布的影響規(guī)律可表述為：激光初相位變化量等于電子輻射功率空間分布的旋轉(zhuǎn)角度。因此，若已知激光入射初相位，則易知電子書散射的對(duì)稱平面；相反，若已知電子散射的對(duì)稱平面，則易知激光入射初相位。

3 結(jié)論

利用單電子模型研究了激光強(qiáng)度和初相位對(duì)電子輻射功率空間分布的影響。研究發(fā)現(xiàn)，激光強(qiáng)度決定了電子的輻射強(qiáng)度和能量的空間分布形狀，而激光入射初相位決定了電子輻射分布以激光入射方向?yàn)檩S的旋轉(zhuǎn)角度。隨著激光強(qiáng)度的增大，電子的輻射強(qiáng)度快速增長；空間分布形狀由表示均勻分布的球形逐漸變扁、變卷，圖形橫向變窄縱向拉長，并不斷趨近于激光入射軸，這表現(xiàn)出電子輻射能量繞激光入射軸并沿激光傳播方向逐漸向輻射前端集中，能量的集中性方向性不斷增強(qiáng)。隨著激光入射初相位的變化，電子輻射的圖像發(fā)生旋轉(zhuǎn)，說明電子散射發(fā)生角度偏移，利用這一性質(zhì)可通過電子輻射分布對(duì)稱平面的偏移角度推測(cè)激光的入射初相位。根據(jù)以上規(guī)律，我們提出了幾個(gè)應(yīng)用方向，如通過此法獲得良好的同步輻射源；建立激光強(qiáng)度、相位和電子輻射分布的對(duì)比系，既可以實(shí)現(xiàn)電子輻射的精細(xì)控制，包括輻射最大強(qiáng)度和方向，也可以通過對(duì)電子的輻射空間分布推測(cè)激光的強(qiáng)度和相位參數(shù)。對(duì)電子在超短超強(qiáng)激光脈沖作用下所體現(xiàn)的一系列優(yōu)良物理性質(zhì)，特別是對(duì)在該情況下電子輻射出的超短X射線脈沖的研究，必將對(duì)包括醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)以及材料科學(xué)在內(nèi)的眾多學(xué)科產(chǎn)生巨大影響。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Lowell S B，Kibble T W B.Interaction of intense laser beams with electrons [J].Phys.Rev，1964，133：A705-A719.

[2]Sarachik E S，Schappert G T.Classical Theory of the Scattering of Intense Laser Radiation by Free Electrons [J]. Phys.Rev.D，1970，1：2738-2753.

[3]Salamin Y I，F(xiàn)aisal F H M.Harmonic generation by superintense light scattering from relativistic electrons [J]. Phys.Rev.A，1996，54：4383-4395.

[4]Krafft G A.Spectral Distributions of Thomson-Scattered Photons from High-Intensity Pulsed Lasers [J].Phys.Rev.Lett， 2004，92：204802 1-4.

[5]Esarey E，Ride S K，Sprangle P.Nonlinear Thomson scattering of intense laser pulses from beams and plasmas [J].Phys. Rev.E，1993，48：3003-3021.

[6]Yu W，Yu M Y，Ma J X，et al.Strong frequency up-conversion by nonlinear Thomson scattering from relativistic electrons [J]. Phys.Plasma，1998，5：406-409.

[7]Krushelnick K，Ting A，Burris H R，et al.Second Harmonic Generation of Stimulated Raman Scattered Light in Underdense Plasmas [J].Phys.Rev.Lett，1995 75：3681-3684.

[8]Lichters R，Mever-ter-Vehn J，Pukhov A.Short-pulse laser harmonics from oscillating plasma surfaces driven at relativistic intensity [J].Phys.Plasma，1996，3：3425-3437.

[9]Tian Y W，Yu W，Lu P X，et al.Spectral distributions of harmonic generation from electron oscillation driven by intense femtosecond laser pulses [J].Optics Communication， 2006，261：104-108.

[10]Tian Y W，Yu W，He F，et al.Electron dynamics and harmonics emission spectra due to electron oscillation driven by intense laser pulses [J].Physics of Plasma，2006，13：123106.

[11]Gibbon Paul.High-order harmonic generation in plasmas [J]. IEEE J.Quantum Electron，1997，33：1915.

[12]Jackson J D.Classical Electrodynamics [M].New York：Wiley，1975.