譚 文，蔣逢靈，王耀南，劉賢群，伍 豐

（1.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭411201；2.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410082）

1 引言

雖然分?jǐn)?shù)階微積分已有三百多年的研究歷史，但是它在物理和工程方面的應(yīng)用還只是近年來(lái)關(guān)注的熱點(diǎn)［1］。最近，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制及其動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象和超混沌現(xiàn)象同樣存在于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中［2，3］。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更具有普遍性和更大的密鑰空間，并且分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)具有比低維混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為［4］。自從Pecora等［5］開(kāi)創(chuàng)性地提出混沌同步的概念和方法后，混沌系統(tǒng)的控制與同步激起了廣大科研工作者的興趣。隨著越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)混沌理論的深入研究，提出了各種有關(guān)混沌控制和混沌同步的方法［6，7］。分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的混沌同步主要是基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論，通常是設(shè)計(jì)控制器，使響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。這種控制方法雖然取得了一定的效果，但是在響應(yīng)系統(tǒng)添加控制器，一般需設(shè)計(jì)三個(gè)以上控制器［8～10］。盡管這些方法可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)之間的同步，但同時(shí)也導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，并在一定程度上影響實(shí)際工程的應(yīng)用。

近幾年，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信和過(guò)程控制方面的潛在應(yīng)用，引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。然而，據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)分析，很多研究者只是關(guān)注簡(jiǎn)單周期信號(hào)在保密通信中的應(yīng)用［11，12］，而復(fù)雜非周期信號(hào)的應(yīng)用相對(duì)較少。然而，實(shí)際傳送的信號(hào)大多是不規(guī)則的，所以對(duì)復(fù)雜非周期信號(hào)在保密通信中的應(yīng)用研究具有十分重要的意義。

本文提出了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)同步控制器設(shè)計(jì)方法，只需要在響應(yīng)系統(tǒng)中設(shè)計(jì)兩個(gè)控制器，便能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)的同步，簡(jiǎn)化了控制設(shè)計(jì)過(guò)程。最后，利用混沌掩蓋技術(shù)，將該方案應(yīng)用到保密通信中。

2 分?jǐn)?shù)階微分及其逼近

分?jǐn)?shù)階微分的定義有很多種［1］，這里采用經(jīng)典的Caputo［1］定義：

其中，n是不小于α的第一個(gè)整數(shù)，Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子，其表達(dá)式為：

這里，Γ（·）是伽馬函數(shù)，0＜β≤1。

假設(shè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為：

其中，X1∈ Rn×1，F(xiàn)（X1）＝ （f（X1），f（X2），…，f（Xn））T，并且0＜q≤1。令系統(tǒng)（3）等于零，即：

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

其中，X2∈Rn×1，u（t）是控制函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)（3）與系統(tǒng)（5）之間的誤差為e（t）＝X1（t）－X2（t），因此得到分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)為：

文獻(xiàn)［13］分析了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。

因此，兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為分析分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。在討論此方法之前，首先給出分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性的一個(gè)引理。

引理1［13］系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于系統(tǒng)（3）的雅克比矩陣的任意特征值λi（i＝

文獻(xiàn)［10，14］給出了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)階次為0＜q≤1的穩(wěn)定性區(qū)域坐標(biāo)分布圖。顯而易見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)較之相對(duì)應(yīng)的整數(shù)階X·1＝F（X1）混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域范圍寬。于是，我們得到一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的推論。

推論1 當(dāng)整數(shù)階混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么它相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)必定是漸近穩(wěn)定的。

3 分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)的描述

分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)表示為：

其中α是系統(tǒng)（7）的階數(shù)（0＜α＜1）。圖1所示為分?jǐn)?shù)階超混沌吸引子相圖。

Figure 1 Attractor system of（7）with a＝35，b＝7，c＝12，d＝3and r＝0.5，α＝0.96圖1 系統(tǒng)（7）的超混沌吸引子（a＝35，b＝7，c＝12，d＝3和r＝0.5，α＝0.96）

4 分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間的同步

在本節(jié)中，我們研究分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間的同步。以分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)（7）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

由系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（7）可得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

根據(jù)系統(tǒng)（9）設(shè)計(jì)控制器u1和u2，定義控制函數(shù)為：

由系統(tǒng)（9）和式（10）可得：

其對(duì)應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)進(jìn)行線性化，求得整數(shù)階系統(tǒng)的雅克比矩陣為：

將式（13）變換為：

顯而易見(jiàn)，由式（14）可求出整數(shù)階系統(tǒng)的特征根為－a，－k1，－d，－k2。當(dāng)k1和k2取正常數(shù)時(shí)，矩陣A的特征根均小于零，所以整數(shù)階混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由推論1可知，其相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)式（11）是漸近穩(wěn)定的。所以，當(dāng)t→ ∞ 時(shí)，lime1（t）、lime2（t）、lime3（t）和 lime4（t）均 趨 于零，即兩個(gè)分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)了同步。為了驗(yàn)證理論分析的正確性，取系統(tǒng)參數(shù)a＝35，b＝7，c＝12，d＝3和r＝0.5，k1＝15，k2＝20，α＝0.96；驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（7）的初始值為x（0）＝10，y（0）＝10，z（0）＝10，w（0）＝10；相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)（8）的初始值為x′（0）＝－10，y′（0）＝－10，z′（0）＝－10，w′（0）＝－10。從圖2中我們可以發(fā)現(xiàn)，大約在2.2s后，誤差e1（t）、e2（t）、e3（t）和e4（t）均趨于零，因此系統(tǒng)（8）與系統(tǒng)（7）實(shí)現(xiàn)了同步。數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了理論分析的正確性。

Figure 2 Synchronization of error curve with system （8）and system （7）圖2 系統(tǒng)（8）與系統(tǒng)（7）的同步誤差曲線

5 同步控制在保密通信中的應(yīng)用

設(shè)x（t）是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的混沌狀態(tài)變量，x′（t）是響應(yīng)系統(tǒng)的混沌狀態(tài)變量，S（t）是需要傳送的有用信號(hào)，M（t）是混沌信號(hào)與有用信號(hào)的疊加信號(hào)，根據(jù)通信原理和混沌掩蓋技術(shù)，有M（t）＝S（t）＋x（t），S0（t）是去掩蓋后恢復(fù)的有用信號(hào)，那么去掩蓋后，S0（t）＝M（t）－x′（t）。

為了增強(qiáng)方案的可行性，選取隨機(jī)信號(hào)作為有用傳送信號(hào)。經(jīng)過(guò)混沌掩蓋后的信號(hào)（如圖4所示），與原發(fā)送信號(hào)完全不一樣（如圖3所示），便于信號(hào)的保密傳送，從而達(dá)到了信號(hào)安全傳送且不被破譯的目的。經(jīng)過(guò)同步信號(hào)x′（t）的去掩蓋，在接受端經(jīng)過(guò)1.2s（e1（t）趨于零）后，毫無(wú)失真地恢復(fù)了有用信號(hào)，即解調(diào)后的信號(hào)S0（t）再現(xiàn)了需要發(fā)射傳輸?shù)男盘?hào)S（t），從而可以實(shí)現(xiàn)保密通信的目的（如圖5所示）。同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)，即便采用其它復(fù)雜非周期信號(hào)，同樣可以達(dá)到保密通信的目的。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)方法、實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)之間的同步，并且將該方案應(yīng)用到保密通信中，達(dá)到了保密通信的目的。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方案的有效性和可行性。該方案不但可以應(yīng)用在保密通信中，在信號(hào)傳輸和圖像處理等其它領(lǐng)域也有潛在的應(yīng)用價(jià)值，下一步將利用分?jǐn)?shù)階混沌同步技術(shù)研究高頻數(shù)字信號(hào)傳輸應(yīng)用問(wèn)題。

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