趙 飛 沙長濤 王 珂

(工業(yè)和信息化部電子工業(yè)標準化研究院計量與檢測中心，北京 100176)

0 引言

介質(zhì)柱諧振器是指一根圓柱形介質(zhì)柱，其兩端面被無限大的平行導電板短路而構(gòu)成的諧振系統(tǒng)。介質(zhì)諧振器法最初是由B.W.Hakki和P.D.Coleman[1]提出的，因此又叫Hakki-Coleman法，后來，介質(zhì)諧振器法經(jīng)過W.E.Courtney[2]的進一步改進后成為最常用的微波介電性能測量方法，現(xiàn)已廣泛應用于高介、低損耗材料的微波介電性能的測量。

在需要使用納米管或納米線的電子器件中，其工作頻率往往處于微波至毫米波頻帶，因此，針對納米管的電性能測量就變得非常重要。納米管的電導率的理論模型目前普遍采用Luttinger模型[3]。近些年來，人們使用了許多方法從理論上和實驗角度對碳納米管的電導率進行了研究[4]。有人試圖將單根碳納米管焊接到沉積在傳輸線上的微導體上，再通過電路模型來估算出其電導率[3，5]。然而，這些方法都存在明顯的問題，即納米管與傳輸線之間存在很大的阻抗不匹配，以及焊接處存在未知的接觸電阻。本文中所采用的方法不存在上述問題，通過該方法獲得的電導率是一個對許多納米管測量所得到的有效平均值。

本文將首先建立利用介質(zhì)諧振器法測量碳納米管電導率的理論模型，然后介紹了校準方法和測量細節(jié)，并對其不確定度進行了分析。

1 實驗方法

被測碳納米管樣品從Aldrich公司購得。將碳納米管分散在氯仿中，碳納米管與氯仿的質(zhì)量比約為1:100。將混合液超聲分散10分鐘后再以約7kPa的壓力噴涂到介質(zhì)柱的一個或兩個端面上，這里需要注意，噴涂厚度應該大于幾個電趨膚深度，趨膚深度δs可以用如下公式計算：

(1)

式中，fr為諧振頻率；μ0分別真空磁導率；σ為端面的電導率。從式(1)可以看出，如果假設(shè)不同頻率下的電導率基本不變，諧振頻率(即測試頻率)越低，趨膚深度越大，也就是說樣品制備時噴涂厚度要厚一些。

圖1 測量時兩端面噴涂碳納米管的介質(zhì)柱放置在平行金屬板之間的示意圖

在本文所采用的測量方法中，被測碳納米管要預先噴涂在具有高品質(zhì)因數(shù)的石英介質(zhì)圓柱的兩個端面上，再將介質(zhì)圓柱置于兩金屬平行板之間，構(gòu)成介質(zhì)諧振器(如圖1)，通過測量介質(zhì)圓柱端面噴涂碳納米管前后的介質(zhì)諧振器的諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)的變化來計算碳納米管層的表面電阻及電導率。介質(zhì)柱的介電常數(shù)需要通過測量諧振頻率而計算得到，并用于計算噴涂碳納米管的諧振器端面的電導率。該方法可以實現(xiàn)的測量頻率范圍廣，通過選擇不同尺寸的介質(zhì)柱，可以實現(xiàn)微波到毫米波的測量。該方法較之其他傳輸線法的另一優(yōu)點是可以將裝置的金屬損耗影響降至最小。

2 理論模型

本文中介紹的介質(zhì)諧振器法基于電磁場模型計算電導率，該電磁場模型使用噴涂碳納米管前后的介質(zhì)諧振器的諧振頻率fr和品質(zhì)因數(shù)Q的變化來計算碳納米管層的等效電導率。通過穿過諧振器-納米管界面的電場和磁場的切向分量可以得到關(guān)于諧振頻率的超越方程[6]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

根據(jù)式(3)～式(6)，可以得到表面電阻Rs：

(7)

式中，εr為涂覆碳納米管后介質(zhì)圓柱的相對介電常數(shù)；l為諧振頻率fr對應的微波波長。在得到表面電阻Rs之后，再根據(jù)已知的被測碳納米管為非磁性的這一條件，就可以根據(jù)以下公式計算出其電導率：

(8)

3 測量結(jié)果與討論

在進行利用網(wǎng)絡(luò)分析儀對所需要的S21參數(shù)進行測量采集之前，需要對其進行校準，方法是利用一根長度等于兩根耦合同軸線長度之和的同軸線與兩端口電纜相連，進行通路校準，校準后的S21參數(shù)在通過同軸線直通時顯示為0.1 dB左右。

為了測量不同頻率下的電導率，實驗中分別選擇了三種不同尺寸的單晶氧化鋁圓柱作為構(gòu)成介質(zhì)諧振器的介質(zhì)，其尺寸和TE011諧振頻率如表1所示，可見，如果需要進行更高頻率的測量值，則需要更小尺寸的介質(zhì)圓柱，當所準備的介質(zhì)諧振器尺寸足夠小時，其諧振頻率甚至可以達到毫米波范圍，從而可能實現(xiàn)毫米波頻率下的碳納米管的電導率測量。

表1不同尺寸的單晶氧化鋁圓柱及對應的TE011諧振頻率

圖2 平行板介質(zhì)諧振器法測量夾具實物圖

本實驗中所噴涂的碳納米管厚度大約為30～50μm。測試時將噴涂碳納米管前后的單晶氧化鋁圓柱先后放置在如圖2所示的平行板測試夾具中。一對耦合環(huán)激勵出TE011諧振模。先后分別測量噴涂碳納米管前后的介質(zhì)諧振器的TE011諧振模的品質(zhì)因數(shù)Q和諧振頻率fr。最后，可以根據(jù)式(7)和式(8)分別計算出碳納米管的表面電阻和有效電導率。

每種尺寸的介質(zhì)柱各制備兩個樣品，分別測量其有效電導率，結(jié)果見表2。另外，為了進一步驗證本方法的測量效果，對同一個樣品在不同時間分別進行多次測量，所得結(jié)果見表3。

表2噴涂在三種不同尺寸的介質(zhì)圓柱端面的碳納米管的有效電導率

表3同一樣品的電導率重復性測量結(jié)果

從表2可以看出，對于不同的樣品，測得的碳納米管的電導率數(shù)值上相差很大，這主要是因為噴涂沉積過程及沉積的碳納米管可能存在較大差異等原因造成的。另一方面，從表3中可以看出，對于同一個樣品，其測量結(jié)果一致性則非常好。

基于前一部分的計算模型分析，可以得出與電導率的測量不確定性有關(guān)的因素有：介質(zhì)圓柱的尺寸、碳納米管涂層的厚度、Q值和諧振頻率fr，其中，最主要的因素是涂層厚度和Q值。通過對本測量裝置測量結(jié)果不確定度分析，以及對其進行重復性、穩(wěn)定性實驗，歸納出的電導率不確定度約為3×105。

4 結(jié)束語

本文介紹了介質(zhì)諧振器法測量碳納米管微波電導率的裝置組成，闡述了該測量方法的基本原理和計算模型，給出了利用該方法得到的一系列測量結(jié)果，并對其不確定度進行了分析。該技術(shù)可以降低接觸電阻和阻抗不匹配對測量的影響，同時也使夾具與金屬之間損耗實現(xiàn)了最小化。利用介質(zhì)諧振器法可以實現(xiàn)對納米管和納米線在微波至毫米波頻段的電導率特性的測量。

[1] B.W.Hakki and P.D.Coleman:A dielectric resonator method of measuring inductive in the millimeter range，IRE Transactions on Microwave Theory Technology，MMT-8，P 402-410，1960

[2] W.E.Courtney:Analysis and evaluation of a method of measuring the complex permittivity and permeability of microwave insulators，IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，18，P 476-485，1970

[3] P.J.Burke:Luttinger liquid theory as a model of the gigahertz electrical properties of carbon nanotubes，IEEE Transactions on Nanotechnology，1，P 129-144，2002

[4] P.Singjai，S.Changsarn and S.Thongtem:Electrical resistivity of bulk multi-walled carbon nanotubes synthesized by an infusion chemical vapor deposition method，Materials Scienece and Engineering A，443，P 42-46，2007

[5] P.Chiu and I.Shih:A study of the size effect on the temperature-dependent resistivity of bismuth nanowires with rectangular cross-sections，Nanotechnology，15，P 1489-1492，2004

[6] Z.Y.Shen，C.Wilker，P.Pang，et al.:High Tcsuperconductor-sapphire microwave resonator with extremely high Q-values up to 90 K，IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，40，P 2424-2431，1992