沈國新

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授名言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”可見數(shù)學(xué)就在我們身邊.本文就《整式乘法與因式分解》談一談生活中的數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)幫助解決學(xué)習(xí)和生活中的一些問題.

一、 數(shù)學(xué)就在我們身邊

例1 課本習(xí)題3.4第1題，如圖，求兩個(gè)正方形圖形中草坪的面積，比較它們的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解：由圖1知：草坪面積=202-2×20×a+a2=400-40a+a2.

由圖2知：草坪面積=（20-a）2.

所以兩個(gè)正方形圖形中草坪的面積相等.

說明：1. 本題較好地體現(xiàn)了完全平方公式的應(yīng)用；

2. 解題方法是把中間的兩個(gè)空白部分的圖形通過平移的方法平移到原正方形的兩邊，把復(fù)雜的面積計(jì)算問題通過平移的方法轉(zhuǎn)化為簡單的面積計(jì)算問題.

發(fā)散1 把邊長相等的兩個(gè)正方形，改成兩個(gè)相同的平行四邊形后（如圖3、4），用上述同樣的平移的方法也能說明上述結(jié)論仍然成立嗎？（請(qǐng)讀者自行畫圖說明）

發(fā)散2 如圖1、圖2中的一個(gè)a改成b（且a≠b），結(jié)論還成立嗎？為什么？（讀者自行完成，并說明理由）

發(fā)散3 如圖3、4中的一個(gè)a改成b（且a≠b），結(jié)論還成立嗎？為什么？（讀者自行完成）

例2 一家住房的結(jié)構(gòu)如圖5所示（單位：m），這家房子的主人打算把臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少m2的地磚？如果某種地磚的價(jià)格是a元/m2，那么購買所需的地磚至少需要多少元？

解法一：用面積和來計(jì)算：

地磚面積=2x·4y +x·2y+x·y=11xy（m2）；

總費(fèi)用=a·11xy=11axy（元）.

答：（略）.

解法二：用面積差來計(jì)算：

地磚面積=4x·4y-x·y-2x·2y=11xy（m2）；

總費(fèi)用=a·11xy=11axy（元）.

答：（略）.

說明：在同一個(gè)幾何圖形的問題中，我們要學(xué)會(huì)用不同的數(shù)學(xué)眼光去觀察和思考.

二、 做中學(xué)，學(xué)中做，拼圖其樂無窮

例3 我們知道，利用拼圖得到圖6，經(jīng)過驗(yàn)證，可得到乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2或因式分解公式a2+2ab+b2=（a+b）2.

發(fā)散1 若有邊長分別為a、b、c的正方形卡片各1張，長與寬分別為a與b、a與c、b與c的卡片各2張，你能說明下面的兩個(gè)等式成立嗎？

（1） （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2） a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

解：成立.理由是：我們可繼續(xù)利用圖6的拼圖方法得到圖7.

因?yàn)閳D7中的最大正方形的邊長是（a+b+c），其面積是（a+b+c）2；同時(shí)最大正方形的面積也是九張卡片的面積和，即：a2+b2+c2+ab+ab+bc+bc+ac+ac=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2成立.

發(fā)散2 請(qǐng)你借助于上面的拼圖方法來說明：（x1+x2+x3+…+xn）2=x12+x22+x32+…+xn2+2x1x2+2x1x3+…+2x1xn+2x2x3+2x2x4+…+2x2xn+2x3x4+2x3x5+…+2xn-1xn.讀者自行完成，說明上述等式成立的理由.

發(fā)散3 如果把圖6和圖7改成在立方體中來考察，請(qǐng)你猜想：

（1） （a+b）3=_______；

（2） （a+b+c）3=_______；

（3） （x1+x2+x3+…+xn）3=_______.

請(qǐng)讀者借助于上面的拼圖方法來說明驗(yàn)證你的猜想.

說明 我們通過拼圖的方法：

（1） 驗(yàn)證了乘法公式和因式分解公式；

（2） 驗(yàn)證了整式的乘法和因式分解是互逆的運(yùn)算關(guān)系.

三、 學(xué)會(huì)用中學(xué)所學(xué)的知識(shí)，解釋小學(xué)中的數(shù)學(xué)結(jié)論

例4 速算末位數(shù)字是5的兩位數(shù)的平方.

如：152，結(jié)果的百位數(shù)字是1×（1+1）=2，后面的兩位數(shù)字始終是25，所以152=225；

252，結(jié)果的百位數(shù)字是2×（1+2）=6， 后面的兩位數(shù)字始終是25，所以252=625；

352，結(jié)果的前兩個(gè)數(shù)字是3×（1+3）=12，后面的兩位數(shù)字始終是25，所以352=1 225；

452，結(jié)果的前兩個(gè)數(shù)字是4×（1+4）=20，后面的兩位數(shù)字始終是25，所以452=2 025；

……

你認(rèn)為這種速算方法正確嗎？

解：正確.

理由是：設(shè)十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為5，則這個(gè)兩位數(shù)的平方數(shù)可表示為：

（10a+5）2=100a2+2·10a·5+52=100a（1+a）+25.

讀者不妨速算：552=_______；652=_______；752=_______；852=_______；952=_______.

例5 “一個(gè)多位數(shù)，若各位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)多位數(shù)也能被3整除”這個(gè)結(jié)論正確嗎？為什么？

解：正確.

理由是：不妨設(shè)一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c，那么這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9（11a+b）+（a+b+c），其中，a+b+c就是三位數(shù)的各位數(shù)字之和，且能被3整除，因?yàn)閍是1～9的整數(shù)，b是0～9的整數(shù)，所以（11a+b）一定是整數(shù)，所以9（11a+b）能被3整除，所以9（11a+b）+（a+b+c）一定能被3整除，所以100a+10b+c一定能被3整除，所以若一個(gè)三位數(shù)的各位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)三位數(shù)也能被3整除.

請(qǐng)讀者仿照上面的說理方法說明：

一個(gè)五位數(shù)，各位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)五位數(shù)也能被3整除.

……

所以，可以得到結(jié)論：“ 一個(gè)多位數(shù)，若各位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)多位數(shù)也能被3整除”是正確.

說明 當(dāng)遇到類似上面難以說明的某個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要會(huì)想起用字母表示數(shù)，結(jié)合本題條件和學(xué)過的知識(shí)，就能解決難以說明的某個(gè)數(shù)學(xué)問題.學(xué)會(huì)用從特殊到一般、再到猜想歸納數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)思想和方法去探索數(shù)學(xué)知識(shí)海洋的奧秘，從中你感受到了用字母表示數(shù)的偉大作用了嗎？通過例4和例5的學(xué)習(xí)，同學(xué)們也一定學(xué)會(huì)了用初中所學(xué)的知識(shí)，去解釋小學(xué)里學(xué)到的數(shù)學(xué)結(jié)論了吧！你感悟到用初中數(shù)學(xué)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題的無窮魅力了嗎？