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經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一種幾何描述框架
——Lagrange體系模型

2013-06-23 16:22:25周石鵬
關(guān)鍵詞:流形約束動(dòng)態(tài)

周石鵬

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093)

經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一種幾何描述框架
——Lagrange體系模型

周石鵬

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093)

為方便地將物理學(xué)中的對稱性分析方法應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究中,從而揭示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所內(nèi)蘊(yùn)的特性及其運(yùn)行規(guī)律,給出了一種以Lagrange體系模型形式將主流經(jīng)濟(jì)學(xué)中的大多數(shù)經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)模型納入到統(tǒng)一的描述框架中,建立了所謂的經(jīng)濟(jì)Vakonomic模型.這種描述框架的特點(diǎn)是:經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)被賦予了一種幾何結(jié)構(gòu),其中應(yīng)用了微分流形和辛結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法,同時(shí)揭示了經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與物理系統(tǒng)之間具有某種相似性.

經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng);變分法;微分流形;Vakonomic模型

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為是當(dāng)今經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重要對象.第一個(gè)采用分析力學(xué)的描述方式來研究經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)過程中的守恒量是著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Samuelson,他在1970年發(fā)現(xiàn)了von Neumann型經(jīng)濟(jì)增長模型的守恒量并且給出了經(jīng)濟(jì)解釋[1].之后由Sato推廣了該方法,他采用Lie群的方法來尋求更普遍的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)之中的對稱性與相應(yīng)的守恒量[2],其研究范圍基本上也局限于經(jīng)濟(jì)增長方面.本文的目的是要推廣這種研究方法,賦予大多數(shù)經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以一種統(tǒng)一的幾何描述框架,指出以帶約束的變分問題為基礎(chǔ)的較普遍的一類Vakonomic模型能自然地應(yīng)用于描述動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng).同時(shí),也為關(guān)于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)對稱性與守恒量及其規(guī)范場建模系列研究的后續(xù)文章提供了一個(gè)基本的描述框架,這樣一種研究視角能使人們更深入地認(rèn)識經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的基本規(guī)律.

1 動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的Lagrange體系與Vakonomic模型

1.1 基本術(shù)語與記號

一個(gè)經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是由一組隨時(shí)間t變化的變量{q1(t),q2(t),…,qn(t)}及其時(shí)間變化率(導(dǎo)數(shù))來刻畫,記q(t)=(q1(t),q2(t),…,qn(t))T∈Rn,則該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)就是(q(t),q·(t)).抽象地看,經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所處的狀態(tài)是客觀發(fā)生的,它們并不因人們所采用的計(jì)量單位或統(tǒng)計(jì)口徑的不同而不同,因此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的所有可能狀態(tài)的集合應(yīng)該是一個(gè)流形Q的切叢TQ,這里q(t)∈Q,Q被稱為經(jīng)濟(jì)流形.從局部上看,流形Q上的每點(diǎn)的鄰域與歐氏空間Rm同胚(m≤n),即每點(diǎn)的鄰域?qū)⒂梢粋€(gè)局部歐氏坐標(biāo)系(簡稱局部坐標(biāo))來描述,這坐標(biāo)系可以對應(yīng)于人們目前所采用的計(jì)量單位或統(tǒng)計(jì)口徑,也可以是另外定義的計(jì)量體系或統(tǒng)計(jì)口徑,當(dāng)然不同計(jì)量體系之間存在連續(xù)的變換映射.這樣的做法使得對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的刻畫擺脫了具體的度量單位和計(jì)量方法的束縛,即使得其與坐標(biāo)系無關(guān),亦即這種方式是對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)蘊(yùn)性描述.本文通常要求Q是一個(gè)可微流形,也就是說,對于它的任意兩個(gè)相交的鄰域,兩個(gè)局部坐標(biāo)之間的變換映射是連續(xù)可微的.如果所有的變換都具有k次連續(xù)可微性,則稱其為k次可微流形.本文約定下面所考察的經(jīng)濟(jì)流形均具有問題所需要階次的可微性.

因?yàn)榻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)是由具有尋優(yōu)行為的主體所組成,由此主流經(jīng)濟(jì)學(xué)假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的運(yùn)行將由某個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化所決定,所以這些系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程的描述都是歸結(jié)為一個(gè)變分模型或者最優(yōu)控制模型.這樣的經(jīng)濟(jì)模型類似于物理學(xué)中的Lagrange形式的動(dòng)力學(xué)體系,本文不妨就稱它為經(jīng)濟(jì)Lagrange體系模型.這種經(jīng)濟(jì)Lagrange體系模型可以涵蓋很廣泛的經(jīng)濟(jì)模型,如動(dòng)態(tài)定價(jià)模型、生產(chǎn)計(jì)劃模型、消費(fèi)函數(shù)模型、經(jīng)濟(jì)增長模型、資源利用模型等.當(dāng)前主流的宏觀經(jīng)濟(jì)理論也是在這種框架下展開的.

1.2 經(jīng)濟(jì)Lagrange體系模型

1.2.1 基本模型

假設(shè)所考察的經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)空間是流形Q,于是狀態(tài)空間是切叢,其投影映射記為π:TQ→Q.采用它們的自然局部坐標(biāo)系,將TQ的元素寫成(q,q·),于是π(q,q·)=q.令該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L:TQ→R.那么類似于力學(xué)中最小作用量的Hamilton原理,該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在時(shí)間[0,T]中的動(dòng)態(tài)路徑將由如下泛函的極值所確定,即

其中符號ext表示求極值(極大或者極?。?這里泛函的值就是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的目標(biāo)取值,而經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最優(yōu)目標(biāo)值就是該泛函的極值,由此泛函的極值確定了該經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)動(dòng)態(tài)路徑.

1.2.2 動(dòng)態(tài)方程

假設(shè)流形Q上一條連接兩個(gè)端點(diǎn)q0和qT的可微路徑γ:[0,T]→Q是最優(yōu)路徑,考慮連接這兩個(gè)固定端點(diǎn)的一簇可微曲線cs:[0,T]×(-ε,ε)→Q,它們滿足c0(·)=γ(·)和cs(0)=q0,cs(T)=qT,?s∈(-ε,ε),其中ε是一個(gè)充分小的正數(shù).將這些曲線寫成是對函數(shù)的運(yùn)算符,而

注意上面給出的是最一般的情形,對端點(diǎn)沒有施加任何約束,而對于固定端點(diǎn)的約束條件下有υ=0,故函數(shù)W在端點(diǎn)處為零.所以在局部坐標(biāo)表示下,最優(yōu)路徑γ必然滿足Euler-Lagrange方程

這就是決定最優(yōu)路徑的動(dòng)態(tài)方程.

由此可見,Lagrange函數(shù)決定了最優(yōu)路徑.但反過來,決定相同路徑的Lagrange函數(shù)并不是唯一的.事實(shí)上,對于任意一個(gè)可微函數(shù)G:R×Q→R,記它的垂直提升為為投影映射πQ:TQ→Q的拉回映射),即在Q上的每點(diǎn)的切空間上Gv的取值是常量,則容易驗(yàn)證有

因此,兩個(gè)Lagrange函數(shù)L和L′若只相差任意一個(gè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的函數(shù),即, 則它們倆有相同的Euler-Lagrange方程,這函數(shù)G被稱為該系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)函數(shù).

1.3 帶約束的經(jīng)濟(jì)Vakonomic模型

1.3.1 帶約束的經(jīng)濟(jì)Lagrange體系模型

前面所討論的變分問題并不包含約束方程,但是極大多數(shù)經(jīng)濟(jì)問題都是帶約束的.通常,約束條件是由一組定義在TQ上的相互獨(dú)立的約束方程式所給出,假設(shè)它們確定了TQ中的一個(gè)子流形M,這個(gè)經(jīng)濟(jì)的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)路徑將由如下帶約束的泛函極值來決定:

下面將非完整約束力學(xué)的Vakonomic處理方式應(yīng)用于這種帶約束的變分模型,并稱它為經(jīng)濟(jì)的Vakonomic模型.

1.3.2 經(jīng)濟(jì)的Vakonomic模型

設(shè)在一個(gè)n維經(jīng)濟(jì)流形Q的切叢TQ上定義一個(gè)可微的Lagrange函數(shù)L:TQ→R.假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)受到m(m<n)個(gè)獨(dú)立的方程組的約束:

其中函數(shù)Φa:TQ→R是可微的且滿足

這些約束確定了TQ中的一個(gè)(2n-m)維子流形M?TQ.于是由隱函數(shù)定理可知,這些約束方程可以被顯式地寫成

其中1≤i≤n,m+1≤k≤n.那么,TQ的子流形M的局部坐標(biāo)為(qi).

記連接上給定兩點(diǎn)q0和qT的二次可微曲線的集合為

定義1(經(jīng)濟(jì)的Vakonomic模型) 給定經(jīng)濟(jì)流形Q上由一組約束方程所確定的子流形M?TQ和一個(gè)泛函,則稱該泛函約束在流形M上的極值問題為經(jīng)濟(jì)的Vakonomic模型(L,M).

Vakonomic模型是應(yīng)用Lagrange乘數(shù)方法處理帶約束的變分問題,對此可得出如下結(jié)果:

定理1 曲線c是Vakonomic模型(L,M)的解,當(dāng)且僅當(dāng)存在m個(gè)可微函數(shù)(Lagrange乘數(shù))λa:[0,T]→R,0≤a≤m的滿足下列方程

上式和后面均采用Einstein的求和約定.令P?Q ×Rm,定義增廣Lagrange函數(shù)=L+:TP→R.于是上面的方程成為對于增廣Lagrange函數(shù)的Euler-Lagrange方程

其次,再定義T*(TP)上的張量場:)其中符號?表示張量積,由此可得微分1-形式θ= S).

其中iΓ表示內(nèi)積運(yùn)算符號,那么上面方程就確定了這個(gè)Vakonomic系統(tǒng)的解.但是一般來說,在予辛結(jié)構(gòu)中2-形式并沒有像辛流形那樣是非退化的,所以該方程并不能在TP上全局地給出解Γ.那么必須對這個(gè)予辛結(jié)構(gòu)應(yīng)用Gotay-Nester算法來產(chǎn)生如下一個(gè)子流形序列(詳情參見文獻(xiàn)[4]):

其中令P0=TP,Pk是P0的子流形.這個(gè)算法的步驟是:

下面給出兩個(gè)具體的示例描述.

2 兩則示例

現(xiàn)在來考察經(jīng)濟(jì)中兩個(gè)較常見的具體實(shí)例.

例1(Taylor模型) 這模型是考察通貨膨脹與失業(yè)的最優(yōu)交替變化路徑問題.設(shè)經(jīng)濟(jì)在充分就業(yè)下的產(chǎn)出水平為Yf,實(shí)際通貨膨脹率為π.定義社會(huì)損失函數(shù)為

其中α>0是對通脹的權(quán)重系數(shù).根據(jù)通貨膨脹的Phelps關(guān)系

其中x表示預(yù)期通貨膨脹率,假設(shè)它由自適應(yīng)過程決定,即

例2(可枯竭資源的經(jīng)濟(jì)增長模型) 這個(gè)模型描述經(jīng)濟(jì)中可枯竭資源的最優(yōu)資源配置問題.設(shè)K代表可枯竭資源的存量,C代表消費(fèi),社會(huì)福利由如下效用函數(shù)描述為

這問題的Lagrange函數(shù)為L=Kα(t)Cβ(t),而約束方程為Φ=K·+C=0.令λ為Lagrange乘數(shù),則增廣Lagrange函數(shù)為=KαCβ+λ(+C).

3 結(jié)論

通過上述對經(jīng)濟(jì)Lagrange體系模型的研究,可以看到許多經(jīng)濟(jì)中的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也與力學(xué)一樣可以由變分模型來描述,這使得人們可以應(yīng)用幾何力學(xué)的方法來更好地研究這些經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng).本文已將動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)統(tǒng)一地納入到Vakonomic模型形式,并以微分幾何的語言來刻畫經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng).這樣的描述方式不但賦予了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)一種幾何結(jié)構(gòu),而且能夠讓人們看到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)與物理系統(tǒng)都擁有某些共同的系統(tǒng)屬性.作者將在后續(xù)的文章中展示:這樣的研究可以方便地將物理學(xué)中的對稱性分析方法應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)之中,從而使人們更深入地認(rèn)識經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律.

致謝:作者在此謹(jǐn)向車宏安教授表示由衷的感謝,本項(xiàng)研究受到他的諸多指教與幫助.

[1] Samuelson P A.Law of conservation of the capitaloutput ratio[J].Proceedings of the National Academy of Sciences,Applied Mathematical Science,1970,67(3):1477-1479.

[2] Sato R,Ramachandran R V.Conservation laws and symmetry:applications to economics and finance[M]. Boston:Kluwer Academic Publisher,1990.

[3] Arnold V I.Mathematical methods of classical mechanics[M].2nd ed.New York:Springer-Verlag,1989.

[4] Gotay M J,Nester J M.Presymplectic Lagrangian systems I:the constraint algorithm and the equivalence theorem[J].Ann Inst H PoincaréSect A,1979,30(2):129-142.

(編輯:丁紅藝)

A Kind of Geometric Framewor k of Economic Dynamic Systems——Lagrangian Models

ZHOUShi-peng
(Business School,Shanghai University for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The aim of the research is the achievement of conveniently applying the method of physic symmetric analysis in economic dynamic systems in order to uncover characteristics and evolving laws implied in economic dynamic systems.A unified framework which can be well adapted to describe a majority of dynamic economic models in mainstream economics by using the form of a kind of Lagrangian model was presented,and a so-called economic Vakonomic model was built.The feature of this framework is:the dynamic economic systems are endowed with a geometric structure by means of the mathematical method of differential manifold and symplectic structure,meanwhile some analogue between the economic dynamic systems and physic systems was established.

dynamic economic system;variational method;differential manifold;Vakonomic model

N 94;F 019.2

A

1007-6735(2013)04-0321-04

2013-06-10

上海市一流學(xué)科(系統(tǒng)科學(xué))建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

周石鵬(1961-),男,副教授.研究方向:數(shù)量經(jīng)濟(jì)、經(jīng)濟(jì)物理和復(fù)雜系統(tǒng).Email:shipengzhou@yeah.net

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