劉麗娜,朱 峰,徐常偉

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,成都610031)

三維LOD-FDTD方法在PMC邊界處的精確格式*

劉麗娜,朱 峰**,徐常偉

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,成都610031)

證明了局部一維時域有限差分(LOD-FDTD)方法實(shí)現(xiàn)理想磁導(dǎo)體(PMC)邊界時的待求場分量系數(shù)與傳統(tǒng)的LOD-FDTD方法系數(shù)不同。通過在獲得該系數(shù)前應(yīng)用理想導(dǎo)體邊界條件,得到對應(yīng)的修正系數(shù)。計算了單個PMC立方體和對稱的兩個PMC立方體的雙站RCS。計算結(jié)果表明, PMC邊界作為理想導(dǎo)體表面時,傳統(tǒng)LOD-FDTD方法計算誤差較大,采用修正系數(shù)的計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD方法計算結(jié)果更為吻合;PMC邊界作為截斷計算空間的對稱面,采用修正系數(shù)的計算結(jié)果與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法計算結(jié)果相同。采用修正系數(shù)處理PMC邊界無需區(qū)分PMC邊界是理想磁導(dǎo)體表面還是截斷計算空間的對稱面,具有統(tǒng)一的表達(dá)式,計算理想磁導(dǎo)體表面較傳統(tǒng)LOD-FDTD方法誤差更小。

理想磁導(dǎo)體邊界;時域有限差分方法;局部一維時域有限差分方法

1 引 言

時域有限差分(FDTD)方法及其改進(jìn)算法在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2],但是Courant-Friedrich -Levy(CFL)穩(wěn)定條件限制了時間步長,導(dǎo)致傳統(tǒng)FDTD方法在數(shù)值模擬復(fù)雜模型時,所需計算時間過長?；趧澐肿訒r間步隱式計算思想的FDTD改進(jìn)算法,包括局部一維時域有限差分(LOD-FDTD)方法[3]和交替時間隱式時域有限差分(ADI-FDTD)方法[4]等方法,它們能夠?qū)崿F(xiàn)無條件穩(wěn)定,時間步長的選取不受CFL條件的限制。LOD-FDTD方法將n→n+1的過程分成n→n+1/2和n+1/2→n+1的兩個子時間過程,被證明與ADI-FDTD方法有相同的計算精度,且計算時間比ADI-FDTD方法減少55%[5]。LOD-FDTD方法的無條件穩(wěn)定[6],計算效率[6]、計算誤差[7]、相關(guān)吸收邊界以及與減縮時域有限差分(R-FDTD)方法[8]等相結(jié)合的探討都是研究的熱點(diǎn)。人工磁導(dǎo)體在天線領(lǐng)域的應(yīng)用備受關(guān)注[9],PMC邊界還可以作為對稱面截斷計算空間,有效減少內(nèi)存使用量和計算時間[10]。PMC邊界上的切向磁場均為零,當(dāng)LOD-FDTD計算區(qū)域中出現(xiàn)PMC邊界時,由于部分場分量被置零,導(dǎo)致待求場分量系數(shù)發(fā)生變化,如果不對系數(shù)進(jìn)行修正,場分量的計算結(jié)果會出現(xiàn)誤差。

本文考慮三維LOD-FDTD情況,在得到待求場分量系數(shù)之前應(yīng)用PMC邊界條件,推導(dǎo)出LODFDTD方法在理想導(dǎo)體邊界處待求場分量的修正系數(shù)。對于PMC邊界作為理想導(dǎo)體表面和截斷計算空間的對稱面的不同情況加以區(qū)分,討論了修正系數(shù)與傳統(tǒng)LOD-FDTD系數(shù)的區(qū)別。采用修正系數(shù)LOD-FDTD方法計算了單個PMC立方體和具有對稱結(jié)構(gòu)的兩個PMC立方體的雙站RCS,計算結(jié)果與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法和FDTD方法的計算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果表明對于理想磁導(dǎo)體表面,采用修正系數(shù)LOD-FDTD方法的計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD方法計算結(jié)果更為吻合;PMC邊界條件作為對稱面截斷計算空間的情況,采用修正系數(shù)LOD-FDTD方法的計算結(jié)果與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法計算結(jié)果相同。修正系數(shù)LOD-FDTD方法處理PMC邊界的優(yōu)點(diǎn)在于具有統(tǒng)一的表達(dá)式,降低了編程復(fù)雜度,無需區(qū)分PMC邊界是理想磁導(dǎo)體表面還是截斷計算空間的對稱面,計算理想磁導(dǎo)體表面較傳統(tǒng)LOD-FDTD方法有較小的計算誤差。

2 理論分析

2.1 LOD-FDTD方法

LOD-FDTD方法將FDTD方法中n→n+1的過程分成n→n+1/2和n+1/2→n+1的兩個子時間過程:

其中,U=[Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz]T,I為單位矩陣,矩陣A和B如文獻(xiàn)[11]中式(33)和式(34)所示。

將各場分量代入矩陣關(guān)系式,可以得到場分量隱式表達(dá)式。在n→n+1/2子時間步,Ex和Hz相關(guān)聯(lián),沿y方向推進(jìn);Ey和Hx相關(guān)聯(lián),沿z方向推進(jìn); Ez和Hy相關(guān)聯(lián),沿x方向推進(jìn)。由式(1)可以得到n→n+1/2子時間步,僅與Ex和Hz相關(guān)的方程:

離散以上兩式,得到Ex和Hz的隱式差分方程:

將式(5)中兩個n+1/2時刻Hz分量由式(6)表達(dá),整理得到傳統(tǒng)LOD-FDTD計算Ex分量的表達(dá)式

其中:

2.2 PMC邊界的LOD-FDTD實(shí)現(xiàn)

LOD-FDTD方法在n→n+1/2和n+1/2→n+1的兩個子時間過程均需要隱式計算電場,再由計算所得電場值,顯式計算得到磁場值。LOD-FDTD方法隱式更新電場的特點(diǎn),決定了PEC邊界實(shí)現(xiàn)較容易,但PMC邊界實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜。下面展開論述三維LOD-FDTD方法實(shí)現(xiàn)PMC邊界的具體問題。

PMC邊界滿足切向磁場和法向電場為零的條件,在y=(j0-1/2)Δy處,垂直于y軸設(shè)置PMC邊界面,分別采用傳統(tǒng)LOD-FDTD方法和修正系數(shù)LODFDTD方法兩種方法處理PMC邊界條件。

(1)傳統(tǒng)LOD-FDTD方法

得到式(7)之后將PMC邊界條件代入:

①如果PMC邊界作為理想磁導(dǎo)體表面,則有

②如果PMC邊界作為截斷計算空間的對稱面,應(yīng)用鏡像原理,PMC截斷面兩側(cè)有可以得到

(2)修正系數(shù)LOD-FDTD方法

得到式(7)之前,即在式(6)代入式(5)之前考慮PMC邊界條件僅將用式(6)展開代入式(5)可以得到

修正系數(shù)LOD-FDTD方法不需要區(qū)分PMC邊界是理想磁導(dǎo)體表面還是截斷計算空間的對稱面,得到了實(shí)現(xiàn)PMC邊界的統(tǒng)一格式。對比修正系數(shù)LOD-FDTD方法與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法比較的結(jié)果,在處理理想磁導(dǎo)體表面時,等式左端的系數(shù)與不同;等式右端的系數(shù),在d?中為,在d′中為。對于PMC邊界作為對稱面截斷計算空間的情況,截斷面的表面雖然同樣滿足PMC邊界條件,但是由于截斷面以外的場分量不再為零,修正系數(shù)LOD-FDTD方法與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法表達(dá)式相同。n+1/2→n+1的子時間步有類似的情況。

3 數(shù)值計算結(jié)果

采用修正系數(shù)LOD-FDTD方法計算單個PMC立方體和對稱的兩個PMC立方體的雙站RCS,與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法和FDTD方法的計算結(jié)果進(jìn)行比較。平面波頻率3 GHz沿z方向入射,x方向極化。計算空間由PML吸收邊界截斷。FDTD算法的時間步長Δt=8.333×10-12s,空間步長Δx=Δy=Δz =0.005 m,修正系數(shù)LOD-FDTD方法和傳統(tǒng)LODFDTD方法的時間步長ΔtLOD=3Δt。

算例1:理想磁導(dǎo)體表面的情況

計算一個PMC立方體的雙站RCS,PMC立方體每個面都采用PMC邊界條件,立方體邊長為L= 0.1 m。計算模型如圖1所示,3種方法對比計算PMC立方體的雙站RCS如圖2所示。分析對比計算結(jié)果,對于設(shè)置在理想磁導(dǎo)體表面的PMC邊界,3種方法的計算結(jié)果差別不大,修正系數(shù)LOD-FDTD方法的計算結(jié)果更接近FDTD方法的計算結(jié)果,說明了理想磁導(dǎo)體表面采用修正系數(shù)計算的正確性和必要性。

圖1 算例1的計算模型Fig.1 The calculation model of Example 1

圖2 不同方法計算一個PMC立方體的雙站RCSFig.2 Different methods comparison of bistatic RCS of a PMC box

算例2:PMC邊界截斷對稱空間的情況

計算對稱的兩個PMC立方體的雙站RCS,每個立方體邊長為L=0.1 m,兩個PMC立方體中心間距0.2 m。PMC立方體表面均采用修正系數(shù)計算。在與y軸垂直的整個計算區(qū)域的對稱面處設(shè)置PMC邊界截斷,只計算FDTD方法的一半空間。計算模型如圖3所示,分別用3種方法處理PMC截斷面,對比計算得到的兩個PMC立方體的雙站RCS如圖4所示。

圖3 算例2的計算模型Fig.3 The calculation model of Example 2

圖4 不同方法計算對稱的兩個PMC立方體的雙站RCSFig.4 Different methods comparison of bistatic RCS of two symmetric PMC boxes

分析對比計算結(jié)果,對于PMC邊界作為對稱面截斷計算空間的情況,修正系數(shù)LOD-FDTD方法和傳統(tǒng)LOD-FDTD方法的計算結(jié)果吻合。截斷面的表面同樣滿足PMC邊界條件,但是由于截斷面以外的場分量不再為零,所以,修正系數(shù)LOD-FDTD方法有與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法相同的表達(dá)式。數(shù)值計算結(jié)果也表明,PMC邊界作為對稱面截斷計算空間,修正系數(shù)LOD-FDTD方法和傳統(tǒng)LOD-FDTD方法等同。

4 結(jié) 論

本文考慮三維LOD-FDTD方法,在得到待求場分量系數(shù)之前應(yīng)用理想導(dǎo)體邊界條件,推導(dǎo)出在理想磁導(dǎo)體邊界處與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法不同的待求場分量的修正系數(shù)。計算了單個PMC立方體和對稱的兩個PMC立方體的雙站RCS,采用修正系數(shù)LOD-FDTD方法與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法和FDTD方法的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。數(shù)值計算結(jié)果表明, PMC邊界作為理想磁導(dǎo)體表面時,修正系數(shù)LODFDTD方法與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法相比誤差更小; PMC邊界作為對稱面截斷計算空間時,應(yīng)用鏡像原理,修正系數(shù)LOD-FDTD方法與傳統(tǒng)LOD-FDTD方法等同。修正系數(shù)方法處理PMC邊界的優(yōu)點(diǎn)在于具有統(tǒng)一的表達(dá)式,降低了編程復(fù)雜度,無需區(qū)分PMC邊界是理想磁導(dǎo)體表面還是截斷計算空間的對稱面,計算理想磁導(dǎo)體表面較傳統(tǒng)LOD-FDTD方法有較小的計算誤差。

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LIU Li-na was born in Tangshan,Hebei Province,in 1981.She received the B.S.degree in 2000.She is currently working toward the Ph.D.degree.Her research concerns electromagnetic scattering and electromagnetic computation.

Email:linaapple329@163.com

朱 峰(1963—),男,安徽人,教授、博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)殡姶艌雠c電磁波、電磁場數(shù)值計算;

ZHU Feng was born in Anhui Province,in 1963.He is now a professor with the Ph.D.degree and also the Ph.D.supervisor.His research concerns electromagnetic computation,electromagnetic field and wave.

Email:zhufeng@swjtu.cn

徐常偉(1984—),男,河南人,2004年獲學(xué)士學(xué)位,現(xiàn)為西南交通大學(xué)博士研究生,主要研究方向?yàn)殡姶派⑸?、電磁場?shù)值計算。

XU Chang-wei was born in Henan Province,in 1984.He received the B.S.degree in 2004.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns electromagnetic scattering and electromagnetic computation.

Accurate Algorithm on PMC Boundary for 3D LOD-FDTD Method

LIU Li-na,ZHU Feng,XU Chang-wei

(College of Electrical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

The field coefficient on perfect magnetic conductor boundary is proved to be different from that in the conventional locally one-dimensional finite-difference time-domain(LOD-FDTD)calculation.The correction coefficient is derived by setting PMC boundary condition before the conventional field coefficient is obtained from the implicit equations.Bistatic RCS calculations of a PMC cube and two symmetrical PMC cubes are provided by using correction coefficient method,conventional LOD-FDTD method and FDTD method,respectively.For the surface of perfect conductor,numerical results of correction coefficient method agree better with those of conventional FDTD.For the symmetry plane truncated computing space,numerical results of correction coefficient method agree well with those of conventional LOD-FDTD.The theory proposed in this paper is validated.Correction coefficient method has unified expressions and it is found that less calculation errors occur than conventional LOD-FDTD method is used.

PMC boundary;finite-difference time-domain(FDTD)method;locally one-dimensional finite-difference time-domain(LOD-FDTD)method

The National Natural Science Foundation of China(No.60971041)

date:2013-09-10;Revised date:2013-11-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60971041)

**通訊作者:zhufeng@swjtu.cn Corresponding author:zhufeng@swjtu.cn

TN04;TM153

:A

:1001-893X(2013)12-1638-05

劉麗娜(1981—),女,河北唐山人,2000年獲學(xué)士學(xué)位,現(xiàn)為西南交通大學(xué)博士生研究生,主要研究方向?yàn)殡姶派⑸?、電磁場?shù)值計算;

10.3969/j.issn.1001-893x.2013.12.019

2013-09-10;

2013-11-19