蘇曉勤，孫鶴旭，潘旭華

（1.河北工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300130；2.天津商業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，天津 300130）

0 引 言

旅行商問題（traveling salesman problem，TSP）由Dantzig等人于1959年提出，已被證明是NP難題的組合優(yōu)化問題，很多文獻(xiàn)中應(yīng)用啟發(fā)式算法求解，希望可以在短時(shí)間內(nèi)獲得更好的結(jié)果。多種優(yōu)化算法用來求解TSP問題其中王忠英、白艷萍等［1］應(yīng)用蟻群算法，Ilie、Badica［2］在分布式架構(gòu)中提出分布式的蟻群優(yōu)化算法，Kim和Cho［3］結(jié)合局部搜索的混合算法，另外還有文獻(xiàn)使用了模擬退火算法［4］、遺傳算法［5］，但都面臨易陷入局部最優(yōu)問題且算法的收斂性有待提高。蜂群算法是近幾年新興的優(yōu)化算法，借助各個角色的分工合作與轉(zhuǎn)換能有效改善優(yōu)化問題。Whitfield［6］指出蜜蜂通過搖擺舞把食物源相關(guān)的方向和距離以及食物源好壞等信息傳遞給蜂巢中的其它蜜蜂。Karaboga［7］提 出了 人 工 蜂 群 算 法（artificial bee colony，ABC），并把ABC算法應(yīng)用到解決TSP問題中［8］，其中跟隨蜂的概率指定為固定值。Li－Pei Wong在文獻(xiàn)［9］中利用“首選路徑”的蜂群算法求解TSP 問題。胡中華、趙敏［10］利用ABC算法對TSP 問題進(jìn)行求解。但上述文獻(xiàn)都未考慮TSP問題求解的復(fù)雜度問題，求解大規(guī)模TSP問題時(shí)收斂慢、效果下降明顯。

本文模擬蜂群覓食原理，應(yīng)用改進(jìn)的蜂群算法求解TSP問題，覓食尋優(yōu)過程中蜜蜂動態(tài)轉(zhuǎn)變角色；采用改進(jìn)的局部搜索策略解決大規(guī)?；鶞?zhǔn)測試問題，有效降低了TSP問題的復(fù)雜度。改進(jìn)算法和傳統(tǒng)算法對不同規(guī)?；鶞?zhǔn)問題進(jìn)行了分析對比，結(jié)果表明改進(jìn)算法能有效地跳出局部最優(yōu)，快速的收斂于最優(yōu)解。

1 TSP問題

旅行商問題中一個商人必須訪問n個城市。假設(shè)商人知道這一系列城市之間的距離（花費(fèi)），規(guī)定商人必須訪問每個城市有且僅有一次，最終回到他最初出發(fā)的城市，求出商人往返的最小距離或者花費(fèi)。TSP 問題是用來確定哈密頓圖中最小花費(fèi)，被歸類為NP難題的離散優(yōu)化問題。

用城市間距離表示最小花費(fèi)，城市間距離用式（1）表示，TSP問題路徑長度f 由式（2）表示

2 改進(jìn)蜂群算法

許多有趣的群體行為可以在一些動物諸如蜜蜂，螞蟻，魚等身上觀察到。他們高度協(xié)調(diào)的覓食和聚集行為反映了這一現(xiàn)象。這些個體相對與整個系統(tǒng)來說，所能處理的問題是極其有限的，但是當(dāng)把這些局部行為相結(jié)合時(shí)，將產(chǎn)生全局性的影響。

覓食過程中，蜜蜂記住形狀、顏色和氣味等食物特征，逐步形成自己的搜索經(jīng)驗(yàn)［11］。在蜂巢附近搜索食物源的蜜蜂，通過搖擺舞把食物源的信息帶回蜂巢，招募更多的蜜蜂進(jìn)行采蜜?；诖斯蚕硇畔?，遺棄質(zhì)量較差的食物源，調(diào)整搜索策略使得蜜蜂移動到質(zhì)量好的精英食物源上，最終聚集于精英食物源?；谶@個自然現(xiàn)象的啟發(fā)，模擬蜜蜂覓食行為求解尋優(yōu)問題。

2.1 蜂群的基本概念

蜂巢內(nèi)共有三種蜜蜂：引領(lǐng)蜂，跟隨蜂，偵查蜂；每種角色的蜜蜂分擔(dān)不同的工作，相互協(xié)作，角色之間根據(jù)收益比在一定條件下進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。每個食物源代表一個解決方案，對應(yīng)于TSP問題中的一條路徑；食物源花蜜的收益就代表問題解的質(zhì)量，對應(yīng)于TSP 問題中路徑質(zhì)量，即路徑長度的倒數(shù)。對于每個食物源來說，有若干個參數(shù)與之相關(guān)：食物源的花蜜（解決方案），花蜜的收益（解決方案的質(zhì)量），花蜜的數(shù)量。

偵查蜂：探尋蜂巢周圍的食物源，并且獲取有關(guān)食物源的花蜜收益的信息，然后返回蜂巢，在舞蹈區(qū)通過蜜蜂獨(dú)特的搖擺舞傳達(dá)有關(guān)蜜源的信息。偵察蜂在算法陷入局部最優(yōu)時(shí)能有效的跳出進(jìn)行新食物源的偵察，跳出條件是蜂群在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)現(xiàn)更好的食物源，算法中利用食物源的遍歷次數(shù)進(jìn)行限定。

跟隨蜂：在蜂巢的跟隨蜂通過觀察舞蹈區(qū)內(nèi)有關(guān)蜜源的信息，依收益比決定是否跟隨跳舞的蜜蜂采蜜。根據(jù)引領(lǐng)蜂的收益比自適應(yīng)的決定跟隨比，跟隨蜂能加強(qiáng)引領(lǐng)蜂中的精英食物源的遍歷，凸顯引領(lǐng)蜂的精英作用，加速算法的收斂。

引領(lǐng)蜂：根據(jù)蜜蜂的收益比，決定引領(lǐng)角色。收益比高的蜜蜂，能招募更多的跟隨蜂，使得算法快速收斂于最優(yōu)。當(dāng)食物源的花蜜被采集完畢時(shí)，引領(lǐng)蜂變?yōu)楦S蜂。

蜜蜂訪問食物源時(shí)，若此食物源的花蜜質(zhì)量優(yōu)于這只蜜蜂先前的花蜜質(zhì)量，則選擇此處為新的蜜源，并返回蜂巢和其他蜜蜂分享食物源的信息，否則將保持先前的位置。倘若食物源在限定的次數(shù)內(nèi)沒有進(jìn)一步提高，遺棄食物源。

2.2 路徑選擇與角色轉(zhuǎn)換

蜂巢中最開始的蜜蜂都是偵察蜂，偵察蜂和跟隨蜂按轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行路徑選擇尋找食物源，轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算見式（3）

偵察蜂選擇完路徑，按收益比進(jìn)行角色轉(zhuǎn)換如式（5），收益比是偵察到的食物源質(zhì)量與整個蜂群的食物源質(zhì)量的比值，收益比越高意味著食物源質(zhì)量越好，它應(yīng)該招募更多的蜜蜂來采集蜂蜜

其中g(shù) 代表蜜蜂的總數(shù)，ibee 標(biāo)識當(dāng)前是哪只蜜蜂，fibee是當(dāng)前第ibee 只蜜蜂的收益，與其經(jīng)歷的路徑長度成反比。動態(tài)轉(zhuǎn)變原則，見表1。

偵察蜂用來搜索新的食物源，每只偵察蜂對應(yīng)一個食物源，它代表解的多樣性，能幫助群峰跳出局部最優(yōu)，但是個數(shù)過大會破壞優(yōu)良路徑，不利于算法的收斂，過小會使得搜尋新食物源的能力變差，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證偵察蜂取蜂群總數(shù)的10%效果最好。

表1 動態(tài)轉(zhuǎn)變原則

表2 跟隨蜂的跟隨比

2.3 算法描述

所需參數(shù)：MaxCycle－最大迭代周期數(shù)，Cycle－迭代周期數(shù)，Cn為蜂群中所有蜜蜂數(shù)即城市個數(shù)，F(xiàn)ood＿Limit－允許訪問食物源的最大次數(shù)，超過該數(shù)就遺棄食物源。Vn－食物源的訪問次數(shù)，Best＿food－最好的食物源。

（1）GenerateInitRole（scout bee）／／算法開始蜂巢中的蜜蜂都是偵察蜂。

Scout＿bee（Cn）／／據(jù)式（4）計(jì)算路徑的適應(yīng)值ρij ，按式（3）計(jì)算Pij按概率選徑，對找到食物源的訪問次數(shù)Vn 進(jìn)行累加。

Evaluate＿food（）／／對食物源的質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)，得到最優(yōu)食物源，計(jì)算收益比r見式（5）。

DChange＿role（）／／根據(jù)收益比r按表1動態(tài)轉(zhuǎn)換蜜蜂角色。

（2）滿足Cycle＜＝MaxCycle進(jìn)入循環(huán)階段

1）Leader＿bee（）／／引領(lǐng)蜂招募跟隨蜂，訪問食物源，Vn 進(jìn)行累加。

2）Onlooker＿bee（）／／跟隨蜂據(jù)跟隨比按表2隨引領(lǐng)蜂訪問食物源，Vn 進(jìn)行累加。

3）Scout＿bee（）

4）Evaluate＿food（）

5）DChange＿role（）

Vn ＜＝Food＿Limit重復(fù)步驟1），否則遺棄當(dāng)前食物源，迭代周期數(shù)Cycle累加。

（3）輸出最優(yōu)食物源Best＿food。

3 改進(jìn)局部搜索策略的蜂群算法

用局部搜索策略優(yōu)化蜜蜂的解，可以加快算法的收斂度，針對一個蜜蜂所尋的食物源進(jìn)行變換，將找到的質(zhì)量更好的解替換原食物源，否則拋棄新解。Marco Dorigo在文獻(xiàn)［13］中指出使用局部搜索策略可以大大減少循環(huán)次數(shù)，但是算法復(fù)雜度沒有下降。

蜂群算法的復(fù)雜度為O（迭代周期數(shù)＊蜜蜂數(shù)＊城市數(shù)＾2），設(shè)置蜜蜂個數(shù)與城市個數(shù)相同，所以算法的復(fù)雜度為O（迭代周期數(shù)＊城市數(shù)＾3）。使用局部搜索后，可以大大減少迭代的周期數(shù)，但即使迭代周期數(shù)忽略不計(jì)，算法仍是O（城市數(shù)＾3）的復(fù)雜度。

采用改進(jìn)局部搜索策略可以降低問題的復(fù)雜度，TSP問題中最優(yōu)解的每個城市連接的都必定是附近的城市，即蜜蜂尋徑時(shí)，只需要嘗試附近的幾個城市而不用嘗試所有的城市。進(jìn)行局部搜索時(shí)，不需要嘗試跟所有其他連接的城市是否能交換出更好的結(jié)果，只需要嘗試跟最靠近的若干個城市交換。把之前嘗試的N個城市，變?yōu)閲L試指定范圍n（n＜N），提速N／n 倍，所以新的算法復(fù)雜度跟N 無關(guān)，只是一個常數(shù)，所以算法復(fù)雜度降低了一個數(shù)量級，成為O（T＊N＾2）。

對蜂群算法的精英路徑進(jìn)行改進(jìn)的局部尋優(yōu)，可以有效的降低算法的復(fù)雜性。改進(jìn)局部搜索策略的蜂群算法解決TSP問題（ILSBCO）的流程如圖1所示。

4 仿真結(jié)果

求解中國31個城市（Chn31）的最優(yōu)路徑，問題規(guī)模較小，不需局部搜索策略即可求得Chn31最優(yōu)路徑，參數(shù)設(shè)置為α＝1，β＝5，λ＝0.9，蜜蜂個數(shù)同城市個數(shù)，路徑最大訪問次數(shù)為10。在迭代到第50次即求得路徑最優(yōu)解，保留小數(shù)點(diǎn)后三位為15377.711，最優(yōu)路徑如圖2所示。

利用國際上通用的測試問題庫TSPLIB 中的幾個TSP問題作為測試對象，城市的個數(shù)從70到493，利用基本的蜂群算法和改進(jìn)局部搜索的蜂群算法對求解結(jié)果進(jìn)行了對比分析如表3所示，可以看出在求解規(guī)模增大時(shí)，蜂群算法的性能急速下降，而改進(jìn)的蜂群算法的求解隨著規(guī)模增大也有不同程度的下降，但性能只是在很小的范圍內(nèi)下降。蜂群算法的參數(shù)設(shè)置為：最大迭代周期數(shù)設(shè)為1000，食物源的最大訪問次數(shù)設(shè)置為100，蜜蜂個數(shù)設(shè)置為城市數(shù)。參數(shù)的設(shè)置為：α＝1，β＝5，λ＝0.9，三種角色按表1和表2描述的概率進(jìn)行分配，改進(jìn)的局部搜索策略中最近城市的個數(shù)設(shè)置為10。

針對基準(zhǔn)問題pr299.tsp的求解與文獻(xiàn)［15］中介紹的幾個優(yōu)化算法進(jìn)行測試對比，性能分析顯示無論是尋優(yōu)時(shí)間還是最優(yōu)解的誤差以及平均解的誤差結(jié)果中，取得了更好效果，見表4。

結(jié)果說明改進(jìn)的蜂群算法能有效的使問題的復(fù)雜度降低，對于大規(guī)模的基準(zhǔn)問題能取得更好效果，盡管得到的結(jié)果和設(shè)置的參數(shù)有很大關(guān)系，但這些可以通過實(shí)驗(yàn)求得。

表3 ILSBCO 與BCO 測試結(jié)果對比

表4 不同優(yōu)化方法測試Pr299的結(jié)果對比

5 結(jié)束語

基于蜂群覓食行為，三種角色蜜蜂相互合作，引進(jìn)集體智慧，改進(jìn)蜂群算法求解TSP 問題。根據(jù)收益比值利用引領(lǐng)蜂保留精英解，并動態(tài)招募跟隨蜂保證算法的快速收斂，利用偵察蜂可以有效跳出局部最優(yōu)問題，有效提高TSP最優(yōu)解。針對大規(guī)?；鶞?zhǔn)問題采用改進(jìn)的局部搜索策略，降低求解問題的復(fù)雜度。改進(jìn)蜂群算法與標(biāo)準(zhǔn)蜂群算法以及其它經(jīng)典算法對不同規(guī)?；鶞?zhǔn)問題進(jìn)行測試，仿真結(jié)果表明改進(jìn)算法在更短時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)食物源。

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