黃述亮

我校自2004年升本以來數(shù)學(xué)系兩個本科專業(yè)一直使用北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》（兩個學(xué)期）和呂林根主編的《解析幾何》（一個學(xué)期），由兩個不同老師來講授，占用的時間多，學(xué)生負(fù)擔(dān)重，而且內(nèi)容常出現(xiàn)交叉和重復(fù)，更糟糕的是學(xué)生對《高等代數(shù)》感到抽象難理解，對《解析幾何》學(xué)得不深不透，這樣就浪費了教與學(xué)的時間，而且也不利于兩門課的學(xué)習(xí)，因此，把它們合并“一體化”開設(shè)意義重大。隨著我校應(yīng)用型本科院校辦學(xué)的定位，我院現(xiàn)有的兩個本科專業(yè)急劇需要轉(zhuǎn)型，目前基本形成金融數(shù)學(xué)、保險精算、統(tǒng)計三個方向，只有這樣才能擴大我院畢業(yè)生的就業(yè)面，同時新的人才培養(yǎng)方案即將出爐，在保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，增加開設(shè)一些符合我院未來發(fā)展方向、適應(yīng)社會發(fā)展需求的新課程（比如證券投資學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、市場管理等）使學(xué)生掌握更加實用的知識與技能，增加就業(yè)籌碼，這對高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)提出了新的要求，而且課時也較之前有了減少。在這樣的形勢下我們要重新探討這兩門課程的教學(xué)模式，數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院從2011級新生開始已經(jīng)在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)兩個本科專業(yè)中對《解析幾何》和《高等代數(shù)》實施“一體化”教學(xué)，考慮到我院學(xué)生的實際情況，最終采用了同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的《高等代數(shù)與解析幾何》作為試用教材。本文結(jié)合我院實施的兩課“一體化”教學(xué)實踐的經(jīng)驗，從幾個不同方面對高等代數(shù)和解析幾何的一體化教學(xué)進(jìn)行研究和探討。

1 兩門課程一體化教學(xué)的必要性

眾所周知，從上個世紀(jì)中葉開始，我國高校的數(shù)學(xué)各專業(yè)都開設(shè)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何這三門基礎(chǔ)課程，所謂“三基”教學(xué)模式。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，課程改革作為教育改革的核心環(huán)節(jié)在全世界范圍內(nèi)受到空前的重視。怎樣才能讓學(xué)生在一定的時間里獲得盡可能多的知識，培養(yǎng)成為基礎(chǔ)扎實、高素質(zhì)、動手能力強的復(fù)合型人才，已成為課程改革的一個極其重要的方面。越來越多的與現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)有關(guān)的課程在客觀上要求必須重新安排課程以節(jié)省時間。高等代數(shù)與解析幾何作為傳統(tǒng)“三基”模式下的“二基”，關(guān)系非常密切，幾何與代數(shù)互為問題、合理的結(jié)合不僅必要而且切實可行（在歷史上，幾何與代數(shù)相結(jié)合的思想是微積分學(xué)巨大生命力的主要源泉）。同時，傳統(tǒng)的課程體系往往強調(diào)本門課程的獨立性、完整性和系統(tǒng)性。解析幾何與高等代數(shù)這兩門課基本在大學(xué)第一學(xué)期同時開設(shè)，由于兩門課程有不少內(nèi)容重復(fù)，高等代數(shù)往往先講一元多項式理論，然后才到行列式，而解析幾何中的向量運算需要行列式的基本知識，如果不靈活調(diào)整就會出現(xiàn)兩者進(jìn)度上的錯位。其實，早在20世紀(jì)50年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)就嘗試將“三基”采用“一體化”的教學(xué)模式，然而由于種種原因最后失敗了?；谏鲜稣J(rèn)識，目前已有很多高校數(shù)學(xué)系將高等代數(shù)與解析幾何二門課程合成一門新的課程，相關(guān)的教材也不斷出現(xiàn)，像南開大學(xué)孟道驥編寫的《高等代數(shù)與解析幾何》，華東師范大學(xué)陳志杰編寫的《高等代數(shù)與解析幾何》等都是這方面相當(dāng)不錯的教材。

2 正確處理兩門課程的關(guān)系

3 重視代數(shù)與幾何方法在實際問題中的應(yīng)用

高等代數(shù)的內(nèi)容的確抽象，實際每個概念先有其產(chǎn)生的背景，然后是概念的抽象，最后是概念的應(yīng)用。然而我們在教學(xué)中往往忽略了兩邊，只保留了中間部分，初學(xué)者感到抽象也就不足為奇了。在教學(xué)中我們應(yīng)該盡可能把概念的來龍去脈講清楚，不僅要列舉出實際背景材料幫助學(xué)生理解，還應(yīng)當(dāng)在抽象概念的分析后說明這樣做的原因，這樣才能提高學(xué)生的抽象思維能力。比如在講完矩陣的對角化問題后，就可以介紹一些應(yīng)用層面的例子：比如著名的裴波那契兔子問題，年齡結(jié)構(gòu)種群的離散模型等都要用到矩陣對角化的相關(guān)知識；再比如與電學(xué)中著名的基爾霍夫定律和電壓定律有關(guān)的黑箱的響應(yīng)函數(shù)就可以利用線性變換的理論解決；還有在處理熱敏電阻溫度曲線數(shù)據(jù)和計算GPS衛(wèi)星軌道等方面有重要應(yīng)用的多項式擬合就要用到的一元多項式的一般理論。學(xué)生對些問題是比較感興趣的，這些問題的引入可以拓寬學(xué)生的知識視野，讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，學(xué)生就會覺得學(xué)習(xí)不再枯燥，知識的確有用。此外，鼓勵學(xué)生參加一些應(yīng)用性訓(xùn)練，比如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，那真正是理論聯(lián)系實際，鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力。

4 內(nèi)容重組，模塊教學(xué)

所謂解析幾何就是以代數(shù)方法研究幾何問題，高等代數(shù)中很多概念都有其幾何模型，兩門課程的交叉內(nèi)容很多，比如解析幾何中的線面方程及線面位置關(guān)系就相應(yīng)與代數(shù)中矩陣的秩及線性方程組，因此兩門課程關(guān)系密切，在實施一體化教學(xué)時可以考慮內(nèi)容的優(yōu)化與重組，分成幾個教學(xué)模塊進(jìn)行，層次更加清楚，具體分配如下：（1）行列式與矩陣為第一模塊：行列式的計算和矩陣的初等變換是整個代數(shù)與幾何的核心計算，也可以說是一種工具，在求解線性方程組、二次型的化簡、判斷線面位置等方面有著重要應(yīng)用；（2）線性空間、線性變換、內(nèi)積空間（酉空間）為第二模塊：這是整個課程的核心所在，最能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的對象——抽象的“結(jié)構(gòu)”；（3）二次曲線、二次曲面及二次型為第三模塊：二次型可以看成是二次曲線或二次曲面的二次項部分，在解析幾何中，二次曲線和二次曲面的化簡是通過不變量來實現(xiàn)的，而正交變換下的不變量就是由系數(shù)構(gòu)成的行列式，因此二次曲線和二次曲面可通過矩陣來表示，并且可以利用二次型的正交變換來實現(xiàn)其分類；（4）一元多項式和λ－矩陣為第四模塊：多項式是整個高等代數(shù)中相對獨立的一章，而其一般理論可以為λ－矩陣（元素是多項式）提供基礎(chǔ)；（5）直線、平面、線性相關(guān)性、線性方程組為第五模塊：線性方程組的每個方程的圖形就是一張超平面，線性方程組有解的問題可以表示為其常數(shù)項列向量能由其系數(shù)列向量線性表示等，因此這些概念之間關(guān)系密切，放在一起組織教學(xué)是合理的。利用模塊教學(xué)有利于學(xué)生更好的從總體上把握這課的知識結(jié)構(gòu)，掌握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，課程體系將更加明朗。

5 轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)模式

傳統(tǒng)的教學(xué)模式基本上是重知識傳授，輕能力培養(yǎng)，學(xué)生在教學(xué)中應(yīng)有的主體地位沒有展現(xiàn)出來。因此我們強調(diào)在教學(xué)內(nèi)容上要有一定的開放度，在講授中注意穿插討論式、提問式等。特別是習(xí)題課也可嘗試學(xué)生和教師集體討論，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。在教學(xué)手段上，要讓多媒體發(fā)揮恰當(dāng)?shù)淖饔?。對于一些邏輯性強的?nèi)容，其推導(dǎo)過程板書教學(xué)為宜（比如，根子空間分解定理的證明過程），如果運用多媒體教學(xué)，學(xué)生就沒有了思考余地；有些純粹計算性的內(nèi)容，其過程（比如，求一個三階矩陣的逆，化二次形為規(guī)范型等）可以運用多媒體輔助，還可以介紹給學(xué)生常用的數(shù)學(xué)軟件（如Matlab），只需要講清楚其原理，讓學(xué)生自己動手到計算機上實踐。有些涉及到圖形的問題（比如，二次曲面及其分類）利用計算機處理圖形的完美功能，可以增強直關(guān)性和可視效果，而且還可以節(jié)省寶貴的課堂時間。合理運用多媒體集“聲音、圖象、動畫”于一體的效果及計算機強大的計算優(yōu)勢輔助課堂教學(xué)，可以大大調(diào)動學(xué)生多種感官學(xué)習(xí)的積極性。同時增大課堂教學(xué)信息量，提高課堂教學(xué)效果。此外，要堅持課上“授業(yè)”和課下“解惑”（包括學(xué)習(xí)、生活、職業(yè)規(guī)劃等）相結(jié)合的原則，現(xiàn)在比較普遍的是課堂上的師生關(guān)系在課下變的非常淡，也就很難實施課下輔導(dǎo)等環(huán)節(jié)了，其中一個比較主要的原因可能是良好的師生關(guān)系沒有真正建立。最后，要定期跟學(xué)生交流（面對面、書面、電話、電郵等）以便了解教學(xué)中存在的問題和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采納學(xué)生提出的一些好的建議并及時改進(jìn)，不斷提高課堂教學(xué)效果。

6 采用靈活多樣的課程考核方式

必須要改變期末一次終結(jié)性考試為教學(xué)全過程的考核，加大平時考核力度，包括考勤制度（比如我院已經(jīng)開始施行的上課簽名制度就是非常好的一個舉措）實現(xiàn)教學(xué)的步步為營，避免學(xué)生學(xué)習(xí)的前松后緊的失衡局面。同時，學(xué)生作業(yè)、參與自學(xué)、討論、課堂提問等方面也要納入考核的范疇，只有這樣才能在知識、能力、素質(zhì)等方面對學(xué)生進(jìn)行了全方位考核。我們認(rèn)為比較完整的考核應(yīng)該包括以下幾個層面：（1）課堂提問：要占有一定的比例（比如5%～10%）可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)主動性與積極性，減少課堂的沉悶現(xiàn)象；（2）小論文：對于一些應(yīng)用性比較強的問題可以讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型解決，或?qū)懗鲂≌撐?，結(jié)合學(xué)生提交的小論文質(zhì)量、提出的問題與解決問題的方法等來評定；（3）單元測驗；（4）期中考試；（5）作業(yè)部分；（6）考勤情況；（7）期末考試。

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