張 冕

（無錫市第六高級(jí)中學(xué)，江蘇 無錫 214000）

高中物理有關(guān)彈簧的問題一直是個(gè)典型又重要的問題，2012年江蘇高考再次以計(jì)算題的形式考查了此類問題.

原題.某緩沖裝置的理想模型如圖1所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間的滑動(dòng)摩擦力恒為f.輕桿向右移動(dòng)不超過l時(shí)，裝置可安全工作.一質(zhì)量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動(dòng)輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且不計(jì)小車與地面的摩擦.

（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，求輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x；

（2）求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm；

（3）討論在裝置安全工作時(shí)，該小車彈回速度v′和撞擊速度v0的關(guān)系.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

（1）輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力F＝kx，且F＝f，解得

圖1

（2）設(shè)輕桿移動(dòng)前小車對(duì)彈簧所做的功為W，則小車從撞擊到停止的過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理，可得

同理，小車以vm撞擊彈簧時(shí)有－f·l－W＝

本文的討論重點(diǎn)在第（2）問，不涉及第（3）問，所以該問的答案就不給出了.

第（2）問的突破口在于對(duì)“輕桿”運(yùn)動(dòng)方式的理解.輕桿不計(jì)質(zhì)量，所以就沒有慣性，因此當(dāng)彈簧彈力大于輕桿所受最大靜摩擦力時(shí)，它能立刻獲得與小車相同的速度，并時(shí)刻保持與小車同速；當(dāng)彈力小于最大靜摩擦力時(shí)它又能瞬間靜止.為了不與下文涉及的模型沖突，這里稱這種“瞬動(dòng)瞬停”的輕桿為“理想輕桿”.我們用Mathematica模擬了這一運(yùn)動(dòng)，圖2、圖3分別表示小車的v－t圖像、水平輕桿的v－t圖像.從兩個(gè)物體的v－t圖像可以看出，小車一直減速，在彈簧形變量x超過f／k后彈力大于輕桿受到的最大靜摩擦力，輕桿瞬間獲得速度并在隨后的時(shí)間里與小車同步減速.從它們相對(duì)速度隨時(shí)間的變化圖（圖4）可以更明顯地看出，在輕桿開始運(yùn)動(dòng)直至減速到速度為0的過程中，它們保持相對(duì)靜止，而彈簧的形變量也將保持x＝f／k不變，其蘊(yùn)含的彈性勢(shì)能也不變，所以答案中的W 只需考慮輕桿移動(dòng)前小車對(duì)彈簧做的功就可以了，并且此W 與小車的初速度無關(guān).

圖2

圖3

圖4

上面的討論是基于“理想輕桿”、“瞬動(dòng)瞬?！钡奶攸c(diǎn)，但是實(shí)際情況下的物體并不具有這樣的特點(diǎn)，而應(yīng)該依據(jù)牛頓定律運(yùn)動(dòng)，學(xué)生也更習(xí)慣處理按牛頓定律運(yùn)動(dòng)的物體.那么如果考慮桿的質(zhì)量但仍舊保證其很輕（遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量），在符合牛頓定律描述的運(yùn)動(dòng)下，是否也能很好的逼近此題中設(shè)置的理想情形呢？答案所給的解題方法是否適用于牛頓定律描述下的輕桿運(yùn)動(dòng)情形，還是只能處理“理想輕桿的問題”？為了更好的探究這一問題，我們利用Mathematica做了進(jìn)一步的模擬.在模擬中設(shè)置了如下的參數(shù)：小車的質(zhì)量M車＝1000kg，輕桿的質(zhì)量M桿＝1kg，輕桿所受最大靜摩擦力f＝10N，彈簧勁度系數(shù)k＝2N／m.

首先假設(shè)小車以4m／s的初速度撞擊彈簧，在小車減速到0的過程中，有了質(zhì)量的輕桿按照牛頓定律加速和減速，圖5，圖6分別表示小車和輕桿的v－t圖像，從圖中看出輕桿和小車不再能保持相對(duì)靜止，彈簧形變化量隨時(shí)間變化圖像如圖7所示，從圖7可以看出彈簧的形變量出現(xiàn)了周期性的變化，所以在計(jì)算小車對(duì)彈簧所做功時(shí)就無法只研究輕桿開始運(yùn)動(dòng)之前的階段了，這似乎讓人對(duì)答案在此情形下的適用性產(chǎn)生了疑問.但是由于摩擦力不斷做負(fù)功消耗系統(tǒng)的能量，彈簧的振幅越來越小，當(dāng)小車減速到0時(shí)，形變量有趨于一個(gè)定值的趨勢(shì)（圖7）.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)，在以不同初速度撞擊下，每當(dāng)小車減速到0時(shí)，彈簧形變量的最終值都為5m，見表1.（之所以有一些波動(dòng)，是由于這里計(jì)算時(shí)輕桿的相對(duì)質(zhì)量不夠小，如果我們把小車的質(zhì)量設(shè)定為10 000kg，得到的數(shù)據(jù)見表2.可以看到波動(dòng)更小了，因此有理由相信極限情況下，彈簧最終形變量為一定值）.也就是說，雖然整個(gè)過程中彈簧的形變量在不斷變化，但是小車減速到零時(shí)，彈簧最終儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能是一定的.從模擬時(shí)所設(shè)定的參數(shù)可以看出，彈簧最終的形變量等于f／k，對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能與原題答案中所用的W一致.

圖5

圖6

圖7

表1 M車＝1 000kg；M桿＝1kg，小車以不同初速度減速到0時(shí)的彈簧最終形變量

表2 M車＝10 000kg；M桿＝1kg，小車以不同初速度減速到0時(shí)的彈簧最終形變量

由此看來，我們可以以小車開始接觸彈簧到速度減為0整個(gè)階段為研究過程，仍然采用與原題答案相同的解題方法得到相同的結(jié)論.按照牛頓定律運(yùn)動(dòng)的輕桿和“理想輕桿”的運(yùn)動(dòng)在極限情況下是一致的.2012年的這道高考計(jì)算題雖然是一個(gè)涉及彈簧的老情景，但是由于出現(xiàn)了不計(jì)質(zhì)量的“輕桿”，使得整個(gè)分析過程和最終的狀態(tài)都出現(xiàn)了新的變化，這是值得我們好好分析的.