賈開鵬

（陜西省洛南中學(xué)，陜西 洛南 726100）

圖1

有這樣一道力學(xué)題：如圖1所示，一物塊從半圓形軌道頂端無初速滑下，當(dāng)物體通過最低點(diǎn)時(shí)，速度為v，已知物體和軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，圓軌道半徑為R，則物塊滑過最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力為多少？并討論在下滑過程中，何處速度最大？

這是一個(gè)常規(guī)的題目.第1問，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)及牛頓第二定律，很容易解決；對(duì)于第2問，許多人認(rèn)為，在最低點(diǎn)速度最大.筆者對(duì)后一問，用2種方法分析.

方法1：定性分析法.

在物體下滑過程中，改變速度大小的原因是合外力切向分量，即產(chǎn)生切向加速度.下滑過程中，合力切向分量是重力的切向分量與滑動(dòng)摩擦力的合力，方向先與速度方向一致，而在最低點(diǎn)僅有滑動(dòng)摩擦力，方向已經(jīng)反向.說明在下滑到最低點(diǎn)之前的某點(diǎn)，存在切向合力為0的瞬間，該點(diǎn)速度應(yīng)該最大.

下面再用定量計(jì)算的方法，分析何處速度最大.

方法2：運(yùn)用動(dòng)能定理定量分析.

設(shè)物塊從A點(diǎn)無初速滑下，物塊與圓心連線半徑和水平方向夾角為θ時(shí)的C點(diǎn)，瞬時(shí)速度為v，此時(shí)對(duì)物塊由牛頓第二定律，得

在此過程中，由動(dòng)能定理得

（3）式中Wf是物塊克服摩擦力做的功，是變力功，需要用到積分來處理.

（4）式經(jīng)計(jì)算可得

將Wf代入（3）式可得

解得

也可進(jìn)行數(shù)學(xué)變形得

為了更加直觀地表示速度的變化，也可以用Excel圖表軟件作出v2－θ圖像如圖2所示.作圖時(shí)取g＝9.8m／s2，μ＝0.5，R＝0.2m，在區(qū)間，可以發(fā)現(xiàn)v2隨θ先增大后減小，完全驗(yàn)證了上述推理.

圖2