重慶 丁學(xué)明

記得數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，這就充分說明了數(shù)形結(jié)合解決問題的重要性。數(shù)形結(jié)合，是一種重要的解題策略，它形象直觀，能化難為易?，F(xiàn)舉幾例構(gòu)造正方形解題。

圖1

圖2

這樣，長方形長與寬的差就是小正方形的邊長，為1。原題就變?yōu)椋簝蓴?shù)和為2，兩數(shù)差為1，求兩數(shù)。由和差關(guān)系：

大數(shù)=（2+1）÷2=1.5

小數(shù)=（2 － 1）÷2=0.5。

例3用1～10這十個(gè)自然數(shù)組成5個(gè)乘法算式，并使它們的和為169。

分析與解：5個(gè)乘法算式的和為169，可以理解為5個(gè)長方形面積的和為169。又因?yàn)?69=13×13，所以其和169可以看成為邊長是13的正方形面積，從而可以構(gòu)造如圖4所示的正方形。不難看出，符合要求的答案是：1×2+3×7+4×6+5×10+8×9。

例4有一個(gè)長方形，長是寬的4倍，且對(duì)角線的長度是17厘米。求這個(gè)長方形的面積。

分析與解：構(gòu)造如圖5所示的正方形。長方形 ABCD 包含4×1個(gè)方格。在其內(nèi)部作出以BD為邊長的正方形BDGH。容易求出BDGH的面積為17×17=289（平方厘米）。又因?yàn)檎叫蜝DGH內(nèi)部有9個(gè)方格和4個(gè)三角形BCD。兩個(gè)三角形BCD可以拼成4個(gè)方格，4個(gè)三角形就可以拼成8個(gè)方格。因此，正方形BCGH共由9+8=17個(gè)方格組成。每個(gè)方格的面積是289÷17=17（平方厘米）。而長方形ABCD是由4個(gè)方格組成，所以它的面積是17×4=68（平方厘米）。

例5 已知甲數(shù)比乙數(shù)大2，甲數(shù)的平方比乙數(shù)的平方大44，求甲、乙兩數(shù)。

分析與解：構(gòu)造如圖6所示的正方形。甲數(shù)表示大正方形的邊長，乙數(shù)表示小正方形的邊長。兩個(gè)數(shù)的平方分別表示兩個(gè)正方形的面積。從圖6中可以看出兩個(gè)長方形②和一個(gè)正方形③的面積為44，這樣一個(gè)長方形②的面積為（44－2×2）÷2=20，則長方形②的邊長為20÷2=10，即乙數(shù)是 10，甲數(shù)是 10+2=12。