張世林 覃德才

一、借用選項——驗算

例1 設(shè)[fx和gx]都是定義在實數(shù)集[R]上的函數(shù)，且方程[x-fgx=0]有實數(shù)解，則[gfx]不可能是（ ）

A.[x2+x-15] B.[x2+x+15]

C.[x2-15] D.[x2+15]

解析 直接來解困難重重，但結(jié)合選項驗算就較為容易. [∵x-fgx=0]有實數(shù)解，不妨設(shè)[x0∈R]是它的解，則有[fgx0=x0]. 兩邊用[gx]作用，可得[gfgx0=gx0]，這說明[gx0]是方程[gfx]=[x]的實數(shù)解. 縱觀四個選項給出的函數(shù)，不難驗證只有B項無實數(shù)解.

答案 B

二、數(shù)形結(jié)合——巧算

例2 若[x1]滿足[2x+2x=5]，[x2]滿足[2x+][2log2x-1=5]，則[x1+x2=]（ ）

A. [52] B. [3] C. [72] D. [4]

解析 兩方程可變形為：[2x-1=52-x]，[log2x-1][=52-x]，即直線[y=-x+52]與[y=2x-1]和[y=][log2x-1]相交于[A，B]兩點，它們的橫坐標分別為[x1]，[x2]，注意[y=2x-1]與[y=log2x-1]不是互為反函數(shù)，但它們的 圖象關(guān)于直線[y=x-1]對稱. 又直線[y=x-1]和直線[y=52-x]互相垂直，設(shè)垂足為[H]（如圖），故[A，B]兩點關(guān)于直線[y=x-1]對稱，聯(lián)立[y=x-1]和[y=52-x]可得[xH=74]，從而[x1+x2=][72].

答案 C

三、巧用定義——活算

例3 已知圓的方程為[x2+y2=4]，若拋物線過點[A-1，0，B1，0]且以圓的切線為準線，則拋物線焦點[F]的軌跡方程為（ ）

A. [x23+y24=1y≠0] B. [x24+y23=1y≠0]

C. [x23+y24=1x≠0] D. [x24+y23=1x≠0]

解析 如圖，分別過[A]，[B]兩點作準線的垂線，垂足分別為[C，D]，由拋物線的定義得，[AF+BF=][AC+BD=4>AB，]故拋物線焦點[F]的軌跡是以[A]，[B]為焦點的橢圓（除去長軸的兩頂點）.

答案 B

四、整體著手——簡算

例4 設(shè)[22+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1][+a2nx2n，]則[limn→∞[（a0+a2+a4+…+a2n）2-][（a1+a3+][a5+...+a2n-1）2]=]（ ）

[A. -1] [B. 0] [C. 1] D.[ 22]

解析 整體處理，平方差分解，再令[x=1]得， [（22+1）2n=a0+a1+a2+…+a2n]，令[x=-1]得，[（22-1）2n=a0-a1+a2-…+a2n]，代入極限式即可.

答案 B

五、特殊處理——妙算

從題干和選項出發(fā)，將問題特殊化，構(gòu)造特殊值、特殊函數(shù)、特殊位置、特殊圖形，利用“問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下不真”這一原理，達到肯定一項或否定三項的目的.

例5 已知[y=fx]是定義域為[R]的單調(diào)函數(shù)，且[x1≠x2]，[λ≠1]，[α=x1+λx21+λ]，[β=x2+λx11+λ]，若[fx1-fx2

A.[λ<0] B.[λ=0]

C.[0<λ<1] D.[λ>1]

解析 可將函數(shù)特殊化：設(shè)[fx=x]，代入已知不等式立得正確選項A，事實上本題也可以數(shù)形結(jié)合，利用有向線段的定比分點來處理，同樣也無需繁雜的化簡變形.

六、構(gòu)造模型——不算

例6 兩個實數(shù)集[A=a1，a2，…，a50]，[B=b1，b2，…，b25]，若從[A]到[B]的映射[f]使得[B]中每個元素都有原象，且[fa1fa2…fa50]，則這樣的映射個數(shù)共有（ ）

A. [A2450] B. [C2449]

C. [C2550] D. [A2549]

解析 本題不僅要求將[A]中的元素分成[25]組，而且還要滿足[fa1fa2…fa50]，可以構(gòu)造模型：有一列從左到右編號依次為[a1，a2，…，a50]的[50]個小球，在它們之間的[49]個空隙插入[24]個擋板，于是就將這[50]個小球分成了[25]組，然后最左邊的一組小球?qū)猍B]中的最大元素，從左到右各組所對應的象依次減小，故這樣的映射共有[C2449]個.

答案 B

七、大膽取舍——估算

例7 如圖，在多面體[ABCDFE]中，面[ABCD]是邊長為3的正方形，[EF∥AB]，[EF=32]，[EF]與面[ABCD]的距離為[2]，則該多面體的體積為 （ ）

A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]

解析 依題意有，[VE-ABCD=13SABCD?h=6]，而[VABCDEF>VE-ABCD]=6.

答案 D

八、挖掘隱含——少算

例8 已知兩圓[⊙O1：x2+y2=16]，[⊙O2：x-12][+y+22=9]，兩圓公共弦交直線[O1O2]于[M]點，則[O1]分有向線段[MO2]所成的比[λ]等于（ ）

A.[-65] B. [65] C.[-56] D. [56]

解析 我們可以輕松求出兩圓公共弦的方程是：[x-2y-6=0]，顯然點[O1，O2]都在公共弦的上方，并且點[O1]在[MO2]的延長線上，故點[O1]是[MO2]的外分點，根據(jù)有向線段的定比分點的意義立即選A.

答案 A

九、臨界位置——免算

例9 正四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角的平面角為[α]，側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為[β]，則[2cosα+cos2β]的值是（ ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. [32]

解析 當正四棱錐的高無限增大時，[α→90°，][ β→90°]，則有：[2cosα+cos2β→2cos90?+cos180?][=-1.]

答案 C

十、特征分析——勝算

例10 已知[sinθ=m-3m+5，cosθ=4-2mm+5][（π2<][θ<π）]，則[tanθ2]等于（ ）

A. [m-39-m] B. [m-39-m] C. [13] D. [5]

解析 受[sin2θ+cos2θ=1]的制約，故[m]為一定值. 于是[sinθ，cosθ]的值應與[m]無關(guān)，進而推知[tanθ2]的值與[m]無關(guān)，又[π2<θ<π]，[π4<θ2<π2]，∴[tanθ2>1].

答案 D