宋 超，王瑞光，陳 宇，鄧意成，2

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春 130033;2.中國科學院大學，北京 100049)

1 引 言

LED(Light Emitting Diode)顯示屏作為一種顯示設備，具有色域廣、顯示面積大和使用壽命長等優(yōu)點，被廣泛應用于標識、廣告和娛樂等場所[1]。LED顯示屏的色域是指顯示屏本身能夠表現(xiàn)的最大顏色范圍，通常用均勻顏色空間如CIELAB[2-3]中的有界體積表示。在實際應用中，為了更好地發(fā)揮LED顯示屏色域范圍大的優(yōu)勢，常常需要對其色域進行分析或者與其他顯示設備進行不同色域間的映射。無論色域分析還是色域映射，色域邊界計算都起著重要的基礎作用，其計算速度和精度直接影響著色域應用的效率和準確性。

目前廣泛采用的色域邊界求解算法是首先對色域邊界進行采樣，然后利用插值計算或擬合等方法計算出所求色域邊界上其他的邊界點數(shù)據(jù)，從而完成對色域邊界的描述[4]。如國際照明委員會(CIE)推薦的局部最大值色域邊界描述(SMGBD)算法，首先將色域邊界在球坐標系中分塊，并取每塊中采樣數(shù)據(jù)的最大值，然后對這些最大值對應的采樣點進行三角化來描述色域邊界[5-6];Xu等引入的色域球概念，通過對插值三角形進行預查找來提高色域邊界整體求解速度[7];Wang等提出的將小樣本測量和樣條插值相結(jié)合的色域邊界算法，能夠減少采樣數(shù)據(jù)存儲量[8]。上述文獻中，都是通過實際測量獲得離散數(shù)據(jù)和進行插值運算相結(jié)合的方法來計算色域邊界，需消耗大量的存儲空間和運算時間，不利于在實際應用中快速準確地得出計算結(jié)果。

本文針對上述算法中的不足，提出了一種求解LED顯示屏色域邊界的快速迭代算法。本算法不需要存儲大量的采樣點數(shù)據(jù)和進行復雜的插值運算，充分利用了LED顯示屏的特征矩陣，可快速計算出映射線與色域邊界交點進而擬合出各個等色相面內(nèi)的色域邊界，在實際應用中能夠滿足對LED顯示屏進行色域分析和色域映射的要求。

2 色域邊界計算

2.1 確定顏色與色域的關系

本文算法在迭代計算過程中，需重復確定顏色與LED顯示屏色域的關系，即確定顏色在LED顯示屏色域內(nèi)還是色域外。根據(jù)LED顯示的色度學原理，利用LED顯示屏特征矩陣和CIELAB顏色空間到RGB設備空間的反向轉(zhuǎn)換運算，給出了顏色是否在LED顯示屏色域內(nèi)的判斷方法。

CIELAB顏色空間作為一種視覺均勻的顏色空間，在工業(yè)領域得到了廣泛應用。色域邊界描述和色域映射相關算法多在CIELAB顏色空間中進行闡述和評價[9]。本文提出的迭代算法同樣選擇了CIELAB顏色空間及其色差公式來計算LED顯示屏色域邊界。

根據(jù)LED顯示原理可知，LED顯示屏是一種采用紅、綠、藍三原色加色法混色的顯示設備。若某顏色在LED顯示屏色域內(nèi)，則該顏色的三原色標量(歸一化亮度，指相應原色LED的亮度與LED顯示控制系統(tǒng)能夠表現(xiàn)的最大亮度的比值)均應分布在[0，1]區(qū)間內(nèi);反之，若該顏色在LED顯示屏色域外，則其三原色標量中至少有一個分布在[0，1]區(qū)間外。通過分析三原色標量值，即可明確某種顏色在LED顯示屏的色域內(nèi)還是色域外。

為了計算某顏色的三原色標量，首先需將該顏色從CIELAB顏色空間轉(zhuǎn)換到CIE 1931 XYZ顏色空間下，得到該顏色的三刺激值，變換公式如式(1)所示。

其中:

式中，L*、a*、b*為該顏色在CIELAB顏色空間中的坐標值;Xn、Yn、Zn為參照白點的歸一化三刺激值，X、Y、Z為該顏色的三刺激值。

LED顯示屏紅綠藍三原色LED點亮時，其配光色的三刺激值與三原色標量之間可進行線性變換，變換公式如式(2)所示。式中，R、G、B 為三原色標量，R∈[0，1]，G∈[0，1]，B∈[0，1];XR、YR、ZR、XG、YG、ZG、XB、YB、ZB分別表示紅、綠、藍LED最大亮度時的三刺激值，其組成的3×3矩陣稱為LED顯示屏的特征矩陣，反應了顏色三刺激值和三原色標量的線性關系。

由三原色LED三刺激值的非線性分布可知，LED顯示屏特征矩陣必然存在逆矩陣。對公式(2)進行逆變換運算，可由該顏色的三刺激值得其三原色標量R、G、B。分析三原色標量的取值，即可在CIELAB顏色空間中確定該顏色與LED顯示屏色域的關系。

2.2 色域邊界計算原理

在CIELAB顏色空間中，首先以所描述的LED顯示屏色域中心E為圓心，令色相角為α、映射線與明度軸正方向的夾角為θ、色域邊界到圓心的長度為半徑r，建立色域球坐標系如圖1所示，其中 α∈[0°，360°]，θ∈[0°，180°]。

圖1 色域球坐標系Fig.1 Spherical coordinates for color gamut

LED顯示屏色域中心一般距離L*a*b*坐標為(50，0，0)的點較近，同時為了便于計算，本文中選此點為 E點，即令=50=0，=0。LED顯示屏在CIELAB顏色空間中的色域模型及色域E點相對位置關系如圖2所示。

圖2 LED顯示屏在CIELAB顏色空間中的色域模型Fig.2 LED display panel gamut model in the CIELAB color space

色域球坐標系與標準CIELAB空間的轉(zhuǎn)換如式(3)所示。色域球坐標系與標準CIELAB空間的轉(zhuǎn)換如式(3)所示。

基于色域球坐標系，在LED顯示屏色域的等色相面內(nèi)，對θ等角度差取值，計算每條由E點射出的映射線與色域邊界的交點并進行擬合，即可得該色相面的色域邊界。等色相面內(nèi)映射線與色域邊界交點求解原理如圖3所示，其中橫坐標為彩度，縱坐標為明度。

圖3 色域邊界確定方法Fig.3 Method for determination of gamut boundary

圖3中，在第k次迭代時，需首先確定映射線上包含交點的線段mknk，取其中點pk，計算pk點到E點的距離rpk:

式中，rmk、rnk分別是 mk、nk到 E 點的距離。若 pk在LED顯示屏色域內(nèi)，令rmk+1=rpk，rnk+1=rnk;反之，若pk在LED顯示屏色域外，則令rmk+1=rmk，rnk+1=rpk。取線段mk+1nk+1中點pk+1，重復迭代計算，直到色域邊界精度滿足要求。最后一次迭代所得線段的中點即為該映射線方向上的LED顯示屏色域邊界。

2.3 確定迭代初始值

利用提出的迭代算法計算映射線與色域邊界的交點，關鍵是要確定迭代初始值，即確定第一次迭代時rn1的值(rm1=0)。本文根據(jù)LED顯示屏顏色三刺激值與三原色標量的線性關系及CIE 1931 XYZ顏色空間到CIELAB顏色空間的變換公式，并考慮到對不同LED顯示屏的色域邊界進行色差分析的需要，提出了一個常數(shù)rn1的計算方法。

根據(jù)公式(2)，當 R、G、B 分別在[0，1]區(qū)間內(nèi)取值時，X、Y、Z 的取值范圍分別是[0，XR+XG+XB]、[0，YR+YG+YB]和[0，ZR+ZG+ZB]。本文在CIELAB顏色空間中進行顏色計算時以D65為參考，即對LED顯示屏按色溫6 500 K白平衡處理，并對白場三刺激值歸一化，即令X、Y、Z的取值范圍分別為[0，Xn]、[0，Yn]和[0，Zn]。

分析CIE 1931 XYZ顏色空間到CIELAB顏色空間的變換公式(5)可知，f(t)函數(shù)在[0，+∞]內(nèi)為正數(shù)且單調(diào)遞增，L*≥0且 L*在Y=Yn時取最大值=100;當X=Xn且Y=0時或當X=0且Y=Yn時，可得a*絕對值的最大值同理，可得b*絕對值的最大值

圖4 長方體在第一象限中的部分Fig.4 Part of the cuboid in the first quadrant

由上述分析可得出rn1:

當 R、G、B 分別在[0，1]區(qū)間內(nèi)取值時，紅綠藍LED點亮時配光色對應的CIELAB顏色坐標L*、a*、b*的絕對值不可能同時達到相應的，所以在球坐標系中到E點距離為rn1的點必然不在LED顯示屏的色域內(nèi)，因此由式(6)計算得到的rn1可以作為本文算法的迭代初始值;同時，rn1為常數(shù)，對不同的LED顯示屏色域邊界迭代求解時，經(jīng)過相同的迭代次數(shù)可得到相同的最大色差值，獲得相同的色差精度，有利于對不同的LED顯示屏進行準確的色域分析和色域映射。

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 實驗準備

對LED顯示屏在CIELAB均勻顏色空間中進行色域邊界的擬合實驗。首先選擇長春希達公司點間距為3 mm的集成3合1全彩LED顯示屏，對其進行色度優(yōu)化校正及白平衡處理，使白場色溫達到6 500 K左右。處理后測得三原色及白場的最大亮度及色品坐標值見表1。根據(jù)亮度值和色品坐標坐標值計算歸一化三原色及白場的三刺激值如表2所示。根據(jù)公式(6)計算得出的迭代初始值見表3。

表1 處理后三原色及白場最大亮度及色品坐標Table 1 Maximum brightness and chromaticity coordinates of three primary colors and white field after processing

表2 歸一化三原色及白場三刺激值Table 2 Tri-stimulus values of normalized three primary colors and white field

表3 迭代初始值Table 3 Iteration initial values

3.2 計算精度分析

迭代算法與迭代次數(shù)有關。由公式(6)和CIELAB顏色空間中2個顏色的色差計算公式(7)可知，k次迭代后，映射線與色域邊界交點的真實值與計算值色差取值范圍可由式(8)表示。

求解的色域邊界最大色差值與迭代次數(shù)k的關系如圖5所示。橫坐標為迭代次數(shù)，縱坐標為映射線與色域邊界交點計算值與真實值之間的最大色差值。由圖可知，隨著迭代次數(shù)的增加，最大色差值以2－1倍的速度迅速減小。

圖5 色域邊界點最大色差與迭代次數(shù)的關系Fig.5 Relationship between maximum color difference of gamut boundary points and iteration times

通過比較LED顯示屏色域邊界點的采樣值和計算值，可以證明邊界點的真實值與計算值色差滿足公式(8)。根據(jù)文獻[10]可知，LED顯示屏三原色標量R、G、B在RGB設備空間中為立方體，其外表面對應CIELAB顏色空間中顯示屏色域的邊界面。在RGB設備空間中對R、G、B等間距各9點取值，得到386組立方體表面組合值。測量各配色的 CIELAB色度值L*、a*、b*，由式(3)可得對應映射線的α和θ值及邊界點的真實值。由各映射線的α和θ值，進行11次迭代計算，可得映射線與色域邊界交點的計算值。比較386組邊界點真實值和計算值的色差值，得到色差最大值、最小值和平均值及對應的邊界點真實值和計算值如表4所示。

由表4和公式(8)可知，11次迭代計算后，每條映射線上的色域邊界點真實值和計算值色差都在[0，0.23]范圍內(nèi)，驗證了本文算法的精確性。

表4 邊界點真實值與計算值比較Table 4 Comparison of real and calculated values for boundary points

3.3 計算速度分析

綜合本文中映射線與色域邊界交點坐標迭代計算過程，給出迭代計算步驟如下:

(1)根據(jù)式(4)，由 rmk和 rnk計算 rpk。

(2)根據(jù)式(3)，計算pk點對應的CIELAB顏色空間坐標

根據(jù)上述迭代計算步驟中各個公式可計算出，每次迭代最多需要進行約31次乘法運算和13次加法運算。通常11次迭代即可滿足較高的精度，使用2 GHz主頻的計算機，Matlab編程計算180個映射線交點，耗時僅0.25 s左右，相比文獻[5]中的插值算法至少3 s的計算時間，計算速度提高近15倍。

應用表2和表3的數(shù)據(jù)，在色相角為30°的等色相面內(nèi)，每隔1°取一條由E點射出的映射線，對LED顯示屏的色域邊界進行擬合。圖5為使用文中提供的算法進行11次迭代后的擬合效果。

圖6中，橫坐標為彩度，縱坐標為明度。從圖6可以看出，11次迭代的擬合邊界已經(jīng)非常平滑，僅在低彩度時有輕微的波動，在中高彩度以及轉(zhuǎn)折角附近擬合結(jié)果非常理想。為提高低彩度時色域邊界的平滑度，可適當增加低彩度區(qū)域?qū)成渚€與色域邊界交點求解迭代次數(shù)。

圖6 30°色相角時LED顯示屏的色域邊界Fig.6 Gamut boundary of LED display panel under 30°hue angle

圖7 LED顯示屏的色域邊界Fig.7 Gamut boundary of LED display panel

對色相角α每隔12°取一個色相面，在等色相面內(nèi)每隔1°取一條由E點射出的映射線，對整個LED顯示屏色域邊界進行擬合。圖7為11次迭代后的擬合效果。

4 結(jié) 論

本文提出的LED顯示屏色域邊界算法可計算任意映射線與色域邊界的交點進而擬合出每個等色相面內(nèi)的色域邊界，計算原理簡單，方法可靠，不需要存儲大量的離散采樣數(shù)據(jù)和進行復雜的插值運算。采用11次迭代時，每條映射線上的色域邊界點真實值和計算值最大色差僅有0.23，與文獻[7]中386次采樣點的色差僅達到0.4 ～2.31 相比，最大色差降低了2.08。經(jīng)實驗驗證，通常11次迭代即可滿足較高的精度要求，而其總計算量僅為約341次乘法運算和143次加法運算。使用2 GHz主頻的計算機計算180個映射線交點，耗時僅0.25 s左右。與文獻[5]相比，速度提高了近15倍。本文算法不僅適用于LED顯示屏，也可用于CRT(Cathode-ray tube)顯示器等可用特征矩陣表征顏色三刺激值與三原色標量關系的顯示設備[11]。

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