劉 育，胡 月，吳 飛

(上海微電子裝備有限公司，上海 201203)

光刻技術(shù)在經(jīng)歷了接觸式-接近式-掃描投影式-分步重復式的幾個重大技術(shù)發(fā)展階段后，目前已轉(zhuǎn)向步進掃描式光刻機的研究[1]。光刻機超精密工件臺是光刻機的核心單元之一，其運動精度直接影響光刻機的分辨率，速度和加速度直接影響光刻機的產(chǎn)率[2～4]。隨著MEMS技術(shù)的發(fā)展，精密工件臺應用范圍越來越廣，定位精度及速度要求越來越高[5]。方鏡作為工件臺的核心零件，承載著硅片，同時安裝了標記及能量測量傳感器、零位傳感器、垂向測量傳感器以及干涉儀反射鏡（包括平面鏡和45°棱鏡）。方鏡的高模態(tài)為工件臺的控制精度提供有力保障，方鏡的輕量化為工件臺的高加速度及高速度提供支持。為此，開展對方鏡的輕量化研究具有重要意義。

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化在工程結(jié)構(gòu)設計的初始階段為設計者提供一個概念性設計，使結(jié)構(gòu)在布局上采用最優(yōu)方案，與截面優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比能取得更大的經(jīng)濟效益，已經(jīng)在汽車、精密加工設備以及微機構(gòu)等領(lǐng)域廣泛研究及應用[6～8]。其主要思想是把尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲問題轉(zhuǎn)化為在給定的設計區(qū)域內(nèi)尋求材料的最佳分布問題，探討結(jié)構(gòu)構(gòu)件的相互聯(lián)結(jié)拓撲形式，使結(jié)構(gòu)能在滿足有關(guān)響應等約束條件下使結(jié)構(gòu)的某種性能指標達到最優(yōu)。

本文從材料的選擇以及背面的輕量化形式完成方鏡輕量化的最佳拓撲結(jié)構(gòu)形式，克服了傳統(tǒng)參數(shù)化設計的局限性。

1 方鏡材料選擇

對于工件臺的方鏡來說，其模態(tài)及輕量化要求非常高，同時在空間應用中，方鏡所受的熱載荷是受內(nèi)部及外部熱流的影響而不斷變化的，因此對于熱特性的要求較高。堇青石陶瓷作為新型的加工材料，由于其優(yōu)異的結(jié)構(gòu)、力學性能，得到廣泛的應用。從表1中可以看出堇青石陶瓷材料具有較高比剛度，較好的熱穩(wěn)定性，與其他常用材料相比具有明顯的優(yōu)勢。經(jīng)過綜合考慮，本文中方鏡的材料選用堇青石陶瓷。

表1 常用方鏡材料的性能

2 拓撲優(yōu)化理論基礎

2.1 基本理論

拓撲優(yōu)化是一種數(shù)學方法，能在給定的空間結(jié)構(gòu)中生成優(yōu)化的形狀及材料分布，其目的在于用最少的材料得到結(jié)構(gòu)的最佳性能。常見的連續(xù)體拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法主要有均勻化法、變厚度法和變密度法。變密度法是一種比較流行的力學建模方式，與采用尺寸變量相比，它更能反映拓撲優(yōu)化的本質(zhì)特征。所以本文采用變密度法進行優(yōu)化。

變密度法是連續(xù)體拓撲優(yōu)化的常用方法，屬于材料描述方式。該方法的基本思想是引入一種假想的密度，即0-1的可變材料，指定每個有限單元的密度相同，并以每個單元的相對密度為設計變量，這樣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。當單元相對密度z=0時，表示該單元無材料，單元應刪除；當單元相對密度z=1時，表示該單元有材料，應保留或增加該單元。其中應用得比較多的模型是SIMP(Solid Isotropic Microstructure with Penalization)法，其材料模型為：

式中：xe為每個單元的相對密度，ρ(x)為拓撲優(yōu)化設計變量，ρ0為設計區(qū)域每個單元的固有密度，E(x)為優(yōu)化后的彈性模量，E0為初始彈性模量，p為懲罰因子[9]。

2.2 拓撲優(yōu)化的SIMP模型

拓撲優(yōu)化的SIMP方法假設材料密度在單元內(nèi)是常數(shù)并以其為設計變量，而材料特性用單元密度的指數(shù)函數(shù)來模擬。相對密度的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，簡化了計算求解過程，優(yōu)化過程中以單元設計變量的大小決定單元取舍，在消除棋盤格現(xiàn)象和數(shù)值穩(wěn)定性方面有了很大的提高。結(jié)構(gòu)設計中經(jīng)常以剛度最大化或應變能最小作為優(yōu)化的目標函數(shù)，以結(jié)構(gòu)整體的體積約束為優(yōu)化的約束條件，可以轉(zhuǎn)化為給定結(jié)構(gòu)剛度約束下以體積最小為目標函數(shù)，基于SIMP方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型為：

式中，目標函數(shù)定義為結(jié)構(gòu)總體積V，Vj為優(yōu)化后的單元體積，x為設計變量，xj為單元設計變量，C(x)為結(jié)構(gòu)的總體柔度，C*為結(jié)構(gòu)的總體柔度約束，U為位移列陣，K為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，F(xiàn)為力向量，xmin為單元設計變量下限（引入密度xmin的目的是防止單元剛度矩陣奇異）。p為懲罰因子，n為結(jié)構(gòu)離散單元總數(shù)。

3 方鏡拓撲優(yōu)化模型求解

3.1 方鏡模型

工件臺的方鏡輕量化前的實體模型如圖1，外形幾何參數(shù)及質(zhì)量如表2，材料為堇青石陶瓷。

圖1 方鏡實體模型

表2 實體方鏡外形幾何參數(shù)及質(zhì)量

方鏡有限元模型如圖2及圖3所示，方鏡正面包括2個干涉儀放射鏡、4個零位傳感器及4個測量傳感器接口。背面包括平面矢量電機接口、3個重力補償器及3個垂向測量傳感器接口。定義垂向方向為方鏡正面上表面的法向。

圖3 方鏡有限元模型（背面）

在工作工況時，方鏡采用背面三點支撐，由背面的3個重力補償器支撐提供支撐及約束（單個約束10 000 N/mm）。

本次拓撲優(yōu)化主要針對背面，模型設計區(qū)域和非設計區(qū)域定義情況如圖3所示，設計區(qū)域為方鏡背面，同時為保證方鏡的整體性及平面矢量電機接口具有一定的壁厚，所以將方鏡外形四周（厚5 mm）及正面（厚8 mm），以及平面矢量電機接口四周（厚5 mm）等區(qū)域排除在設計區(qū)域以外。

方鏡拓撲優(yōu)化以最小化結(jié)構(gòu)體積（質(zhì)量）為目標，結(jié)構(gòu)第1階固有頻率700 Hz為約束條件。

3.2 拓撲優(yōu)化及應用

采用OptiStruct優(yōu)化軟件，對方鏡進行連續(xù)體拓撲優(yōu)化，流程如圖4所示。經(jīng)過迭代分析計算，得到了方鏡最終拓撲結(jié)構(gòu)形式。優(yōu)化后的輕量化結(jié)構(gòu)形式如圖5所示，拓撲優(yōu)化得到的輕量化結(jié)構(gòu)形式制造加工工藝性較差，并不能直接應用于工程，需要根據(jù)要求將輕量化結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)換為符合制造加工工藝性的加強筋結(jié)構(gòu)形式，最終模型如圖6所示。

圖4 拓撲優(yōu)化流程圖

圖5 拓撲優(yōu)化結(jié)果

3.3 優(yōu)化結(jié)果及對比

為對比優(yōu)化結(jié)果的模態(tài)和輕量化，將方鏡拓撲優(yōu)化后的最終模型與常規(guī)結(jié)構(gòu)的初始模型（圖7）進行仿真分析比較。常規(guī)結(jié)構(gòu)的初始模型采用了三角形輕量化孔，較正方形等輕量化孔的剛度要好，同時也能達到相當高的輕量化率。

圖6 拓撲優(yōu)化后的最終模型

圖7 常規(guī)結(jié)構(gòu)的初始模型

在工作工況時，方鏡背面的3個重力補償器約束（單個約束10 000 N/mm）下，對兩模型進行對比仿真計算得到結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)振型圖，如圖8及圖9所示。

圖8 拓撲優(yōu)化后最終模型的結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)振型圖

拓撲優(yōu)化方式和常規(guī)結(jié)構(gòu)方式的方鏡模型的結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)和輕量化率的對比結(jié)果列于表3。由表中可看出，拓撲優(yōu)化方式與常規(guī)結(jié)構(gòu)方式相比，結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)優(yōu)化后為710.5 Hz，提高+4.5%。同時，在輕量化率上也有優(yōu)勢，提高+8.2%。因此，拓撲優(yōu)化的結(jié)果要優(yōu)于常規(guī)結(jié)構(gòu)方式。

圖9 常規(guī)結(jié)構(gòu)初始模型的結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)振型圖

表3 拓撲優(yōu)化與常規(guī)結(jié)構(gòu)方式的結(jié)果對比

4 結(jié) 論

方鏡結(jié)構(gòu)設計是工件臺研制過程中的關(guān)鍵技術(shù)之一。為提高方鏡的結(jié)構(gòu)模態(tài)，最大限度的降低方鏡質(zhì)量，應當在設計過程中充分考慮其材料的選擇以及輕量化結(jié)構(gòu)形式的選擇。本文重點對方鏡背面輕量化形式進行了拓撲優(yōu)化，并進行設計與分析。分析結(jié)果表明：拓撲優(yōu)化后的方鏡在提高結(jié)構(gòu)模態(tài)的同時，又保證了很高的輕量化率，體現(xiàn)出了拓撲優(yōu)化作為科學的指導方法，在工件臺結(jié)構(gòu)設計過程中具有重要的實際應用價值。

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