俞道濱，吳彥鴻，趙 彬

（1.裝備學(xué)院，北京101416；2.解放軍63892部隊，洛陽471003）

1 認(rèn)知雷達(dá)及跟蹤濾波算法概述

圖1 認(rèn)知雷達(dá)的整體結(jié)構(gòu)圖

2006年，國際著名信號處理專家Simon Haykin首次提出了認(rèn)知雷達(dá)的概念［1］，并隨后發(fā)表多篇文章［2－5］對認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)各部分的實現(xiàn)進(jìn)行了說明。認(rèn)知雷達(dá)將跟蹤系統(tǒng)、波形發(fā)射系統(tǒng)以及目標(biāo)場景視為一個閉環(huán)的整體，通過對波形的實時調(diào)節(jié)實現(xiàn)對目標(biāo)的有效跟蹤，提高了雷達(dá)的跟蹤性能。認(rèn)知雷達(dá)的整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

在認(rèn)知雷達(dá)的概念提出以后，許多研究者應(yīng)用 該思想提出了多種具體實現(xiàn)的方法，對認(rèn)知雷達(dá)的波形設(shè)計、檢測與跟蹤算法、先驗知識的應(yīng)用、場景分析等各方面進(jìn)行了深入的研究［6－7］。

對于認(rèn)知雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤算法，應(yīng)用Simon－Haykin在文獻(xiàn)［4］中提到的算法，他的學(xué)生Xue Yanbo在有關(guān)認(rèn)知雷達(dá)的第1篇博士論文［8］——認(rèn)知雷達(dá)理論與仿真中，在接收端利用求容積卡爾曼濾波器近似最優(yōu)貝葉斯濾波器，針對直線運動、垂直降落和高維空間運動3種模型的目標(biāo)跟蹤進(jìn)行了仿真，表明引入認(rèn)知能力可以提高雷達(dá)的性能。對于跟蹤機(jī)動目標(biāo)的應(yīng)用，文獻(xiàn)［9］應(yīng)用交互多模型建立運動模型，跟蹤濾波也是采用容積卡爾曼的方法。文獻(xiàn)［10］僅就目標(biāo)跟蹤算法仿真對比了3種非線性卡爾曼濾波方法，指出在實際應(yīng)用中平方根容積卡爾曼濾波的優(yōu)點。文獻(xiàn)［11］在實際應(yīng)用中無雜波和有雜波2種環(huán)境下對自適應(yīng)目標(biāo)跟蹤算法進(jìn)行了討論。

由于認(rèn)知雷達(dá)的發(fā)展仍處于起步階段，當(dāng)前大部分的研究仍是針對理想的條件。假設(shè)在目標(biāo)線性運動、環(huán)境為高斯噪聲情況下，此時卡爾曼濾波就是最優(yōu)的貝葉斯濾波器，可以通過目前較為成熟的卡爾曼濾波來解決目標(biāo)跟蹤的問題。然而在大部分情況下會遇到的是離散時間非線性濾波的情況，此時卡爾曼濾波將不再適用，需要針對不同的情況，采用拓展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波、求積卡爾曼濾波等?？紤]到認(rèn)知雷達(dá)變波形的實時性要求，要求算法在保證精度的同時，盡可能縮短處理時間，因而在本文中討論幾種免微分運算的狀態(tài)估計方法，利用加權(quán)統(tǒng)計線性回歸技術(shù)，通過采樣點捕獲系統(tǒng)的相關(guān)統(tǒng)計參數(shù)。無跡卡爾曼濾波方法（UKF）通過無跡變換確定1組加權(quán)采樣點逼近隨機(jī)變量的分布函數(shù)，捕獲隨機(jī)變量經(jīng)非線性轉(zhuǎn)換后的統(tǒng)計特性。容積卡爾曼濾波（CKF）使用基于容積原則的數(shù)值積分方法，計算非線性變換的隨機(jī)變量的均值和協(xié)方差，實現(xiàn)簡單且濾波精度較高。平方根容積卡爾曼濾波（SRCKF）是在容積卡爾曼的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，起初是為了減輕跟蹤濾波過程中的發(fā)散與不穩(wěn)定，其算法直接通過后驗誤差協(xié)方差和預(yù)測誤差協(xié)方差的傳遞而免去了對矩陣分解的操作。

2 跟蹤濾波算法對比

由貝葉斯估計原理可知，基于高斯假設(shè)的貝葉斯濾波估計算法的核心在于求解具有“非線性函數(shù)高斯密度”形式被積函數(shù)的加權(quán)積分，這是高斯域貝葉斯估計算法所具備的基本特性?？紤]一多維加權(quán)積分，其基本形式如下：

式中：D為積分區(qū)域，并且對于任意x∈D的權(quán)重函數(shù)w（x）已知。

假定w（x）具有高斯特性，則上式所示即為一高斯權(quán)積分問題。對于上式積分問題通常采用數(shù)值積分的計算方法。該方法的基本問題是確定一組點集及其相應(yīng)的權(quán)值以用于近似求解，即：

基于上述基本問題，采用一種基于求積原理的方法解決非線性濾波的基本問題。UKF和CKF的主要區(qū)別在于權(quán)重函數(shù)w（x）的選取不同，其選擇特點如圖2、圖3所示。

圖2 UKF的sigma點分布圖

圖3 CKF的sigma點分布圖

由圖2、圖3可知，CKF去掉了中心采樣點，采用四周對稱的方式選取采樣點。在實際工程應(yīng)用中，需要克服舍入誤差引起的濾波發(fā)散，由于CKF的采樣點個數(shù)為偶數(shù)個，可對中間數(shù)據(jù)進(jìn)行取平方根操作，得到了平方根容積卡爾曼濾波的方法。其與CKF相比，該算法降低了計算的復(fù)雜度，獲得了更高的效率，同時保證了協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性，有效避免了濾波器的發(fā)散，提高了濾波的收斂速度和數(shù)值穩(wěn)定性。

3 容積與平方根容積卡爾曼濾波

3.1 求容積規(guī)則

考慮下邊的求積分問題：

為了計算上述積分問題，首先要將其變換至一個更為通用的球面徑向積分形式，需要將x分解為一個與半徑r和方向向量y相關(guān)的過程。

假設(shè)x＝ry，yTy＝1，則上式積分可寫為：

式中：Un為半徑是1的球表面；σ（·）為屬于積分域Un的元素。

則：

針對以上兩式，分別采用mr點Gauss－Hermite求積分規(guī)則和ms點Spherical規(guī)則，可得到mr×ms點的Spherical－Radial求容積規(guī)則為：

取mr＝1，ms＝3，可得到3自由度的Spherical－Radial求容積規(guī)則。

根據(jù)上述求容積規(guī)則，n維標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布與非線性函數(shù)乘積的積分可近似為：

當(dāng)隨機(jī)變量x服從N（x；μ，Σ）的分布時，可得：

3.2 容積卡爾曼濾波

考慮如下的非線性離散狀態(tài)空間模型：

式中：f（xk）和h（xk）為已知函數(shù)；wk和vk為相互獨立的零均值高斯白噪聲序列，其協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk。

將求容積計算積分的思想應(yīng)用于高斯貝葉斯估計，即可得到如下標(biāo)準(zhǔn)CKF算法：

（1）時間更新

預(yù)測狀態(tài)向量和預(yù)測誤差協(xié)方差為：

（2）量測更新

由以下公式得到預(yù)測量測協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣：

（3）計算卡爾曼濾波增益、狀態(tài)估計值、狀態(tài)估計誤差協(xié)方差

3.3 平方根容積卡爾曼濾波

（1）時間更新

公式（13）運算不變，直接運算得到估計預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的平方根，公式如下：

式中：QR（·）為進(jìn)行正交三角（QR）分解的運算。

（2）量測更新

通過均方根直接預(yù)測量測協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣：

（3）計算卡爾曼濾波增益、狀態(tài)估計值、狀態(tài)估計誤差協(xié)方差

4 仿真驗證

假定一勻速直線運動的目標(biāo)，由單個觀測站對其運動的距離和速度進(jìn)行觀測，運動模型寫成如下形式：

仿真中，運動目標(biāo)及雷達(dá)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：雷達(dá)掃描周期為1s，進(jìn)行60次掃描，目標(biāo)的初始狀態(tài)矩陣為［－100，2，200，10］，雷達(dá)觀測站坐標(biāo)為（200，300）。

從模型上看，狀態(tài)方程是線性的，而觀測方程是非線性的，點目標(biāo)與雷達(dá)的距離較近，運動速度也較低，因而在跟蹤時產(chǎn)生的誤差相對較小。此處分別應(yīng)用UKF、CKF、SCKF 3種濾波算法對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，通過sigma點的選擇逼近觀測。在進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真試驗后，得到3種算法下所用時間及跟蹤誤差的對比結(jié)果。

表1 3種濾波算法100次運算所用時間對比

綜合以上圖表，分析可知各種算法的估計精度及計算復(fù)雜度。就CKF與UKF相比，CKF運算的時間略長，就單次運算而言，二者的時間差距可以忽略不計，但是CKF的濾波精度較高，在近距離的情況下誤差較小，比UKF的性能更好一些。隨著跟蹤時間的增加，CKF與UKF的性能趨于一致，誤差近似相等。而SCKF與CKF和UKF相比，SCKF直接運算得到估計協(xié)方差的平方根，運算所需的步驟較少，因而所花的時間較短，但是就跟蹤精度而言，僅就協(xié)方差的估計精度上，SCKF算法在跟蹤的初始階段精度最高，比CKF和UKF相比精度提高了一倍多，得到了很好的跟蹤效果。隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測點，SCKF的跟蹤精度急劇變差，甚至在跟蹤的末端誤差達(dá)到了CKF和UKF的2倍多，相應(yīng)得到的濾波軌跡也相差甚遠(yuǎn)。

圖4 UKF、CKF和SCKF跟蹤濾波誤差對比圖

由以上討論可知，在認(rèn)知雷達(dá)的應(yīng)用中，一方面，由于其根據(jù)先驗知識及環(huán)境信息不斷變換發(fā)射波形，發(fā)射機(jī)需要在短時間內(nèi)作出相應(yīng)的改變，這就需要減少跟蹤處理的時間；另一方面，在較短的時間內(nèi)，需要較高的跟蹤精度以更好地模擬目標(biāo)的運動軌跡，從而為下一步的波形變化提供有力的支撐。在高斯噪聲、線性運動目標(biāo)的條件下，通過平方根容積卡爾曼濾波算法得到的跟蹤效果與認(rèn)知雷達(dá)的實際要求較為吻合，適用于波形變化條件下對目標(biāo)的短時跟蹤，并能獲得更加準(zhǔn)確的運動軌跡，跟蹤精度較高。

5 結(jié)束語

本文首先對當(dāng)前認(rèn)知雷達(dá)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了簡介，對其跟蹤濾波部分應(yīng)用的算法進(jìn)行了詳細(xì)的討論，在認(rèn)知雷達(dá)對跟蹤濾波苛刻要求的基礎(chǔ)上，詳細(xì)比較了免微分運算的無跡卡爾曼、容積卡爾曼、平方根容積卡爾曼3種濾波算法，結(jié)果表明，對高斯噪聲環(huán)境中的線性運動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤濾波較為適合的算法是平方根容積卡爾曼，其在跟蹤精度和實時性要求兩方面均滿足要求。本文僅在理想條件下進(jìn)行了相關(guān)討論，對于在復(fù)雜運動和引入雜波后的算法選擇，需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究，以滿足在認(rèn)知背景下雷達(dá)跟蹤性能的整體提升。

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