王佩臣，宋玉琦，郭巧棟，張可為，田國(guó)華

（1.黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150050；2.哈爾濱醫(yī)科大學(xué)，黑龍江 哈爾濱150001）

1 方程簡(jiǎn)介

考慮下面熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題：

其中：ψ1（t）、ψ2（t）、f u，x，（）t和φ（）x為已知函數(shù)。

熱傳導(dǎo)方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì)，描述熱從高溫處向低溫處傳播，求解熱傳導(dǎo)方程是一個(gè)很重要的任務(wù)。對(duì)熱傳導(dǎo)方程通常用分離變量法［1］求得精確解；文獻(xiàn)［2］用半離散差分格式數(shù)值求解一維熱傳導(dǎo)方程；本文組合譜配置點(diǎn)法［3－5］和 Lobatto IIIA 方 法［6－9］求 解 一 維 熱 傳 導(dǎo) 方程，具有計(jì)算精度高和穩(wěn)定性好等特點(diǎn)。

2 譜配置點(diǎn)法及微分矩陣

以xi為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式為

這里D＝（Dkm）為（N＋1）×（N＋1）矩陣，進(jìn)一步，再對(duì)pN（x）求二階導(dǎo)數(shù)，得

3 Lobatto IIIA方法

考慮下面初值問(wèn)題：

其中B是m×m矩陣，m為正整數(shù)。

本文使用下面迭代過(guò)程

系數(shù)用下面Butcher’s矩陣表示

對(duì)式（11）第二個(gè)式子移項(xiàng)得

HK＝b，解這個(gè)方程組就能得到向量ki，i＝1，2，…，q，進(jìn)一步可循環(huán)求解yn＋1，用遞推的方式就能得到式（10）的解。本文的數(shù)值計(jì)算取文獻(xiàn)［6］中的Butcher’s矩陣，q＝4，如下

4 譜配置點(diǎn)法求解一維熱傳導(dǎo)方程

方程（1）在x＝xk，k＝1，…，N－1精確表示為

由第1部分譜配置點(diǎn)法可得式（13）等價(jià)于

使用第2部分的Lobatto IIIA方法求解邊界條件（16）的常微分方程（15）就能得出原方程的解。

5 數(shù)值實(shí)例

初始條件為

圖1為方程（17）在t＝1時(shí)精確解曲線圖，圖2為方程（17）取h＝0.01、N＝10、t＝1時(shí)的數(shù)值解曲線圖，圖3為方程（17）取h＝0.01、N＝10、t＝1時(shí)的誤差曲線圖。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文組合使用配點(diǎn)法和六階Lobatto IIIA方法求解一維熱傳導(dǎo)方程，首先使用配點(diǎn)法離散空間導(dǎo)數(shù)，然后用六階Lobatto IIIA方法求線性解常微分方程組，通過(guò)數(shù)值測(cè)試實(shí)例，說(shuō)明提出的方法有很高的精度和強(qiáng)穩(wěn)定性，還可以用這個(gè)方法求解其他時(shí)間依賴問(wèn)題。

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