曾令鋒

（梅縣丙村中學(xué) 廣東 梅州 514762）

動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律在高中階段的物理教學(xué)中具有重要地位.經(jīng)過高一一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能夠較好地運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和功能關(guān)系解決恒力作用下的力學(xué)問題，但碰到變力作用的情況，就會(huì)束手無策.即使一些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，也許能大概判斷出物體在變力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化情況，也無法進(jìn)行定量的分析與計(jì)算.動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律將成為他們解決這類問題的“利器”.因此，如何上好“動(dòng)量 動(dòng)量守恒定律”一課，就顯得尤為重要了.

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)被以下問題困擾，一是到底“動(dòng)量”是什么？二是動(dòng)量定理和牛頓第二定律有什么不同？三是動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理之間有怎樣的關(guān)聯(lián)？學(xué)生的問題引起筆者深深的思考.

1 “動(dòng)量”到底是什么

“動(dòng)量”的概念，最早是由伽利略、笛卡兒等人在研究打擊、碰撞的問題中提出來的，后來牛頓的工作使其更為完善.起初，它被稱為“運(yùn)動(dòng)量”、“運(yùn)動(dòng)的量”，或者干脆簡(jiǎn)稱為“運(yùn)動(dòng)”.如牛頓在《論物體的運(yùn)動(dòng)》一文手稿中寫道，“……動(dòng)力與加速的力之比等于運(yùn)動(dòng)與速度之比……”，文中“加速的力”指的是加速度，“運(yùn)動(dòng)”指的是動(dòng)量.在《教師教學(xué)用書物理·選修3-5》［1］中也有這樣一句話，“動(dòng)量是描寫物體運(yùn)動(dòng)量大小的，是描述物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量.”如果就這樣向?qū)W生介紹動(dòng)量的物理意義，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生新的疑問：“運(yùn)動(dòng)量”又是什么？是不是像人跑步一樣，消耗的能量多，運(yùn)動(dòng)量就大？描述物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量有很多，如“速度”描述運(yùn)動(dòng)快慢，“加速度”描述速度變化快慢，“動(dòng)能”描述物體因運(yùn)動(dòng)而具有的能量，那“動(dòng)量”描述什么呢？

其實(shí)，牛頓等人所提到的“運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)復(fù)合的概念，它既涉及物體的質(zhì)量，又與運(yùn)動(dòng)的快慢和方向有關(guān).為了幫助學(xué)生更好地理解，我們向?qū)W生提兩個(gè)問題：

（1）A，B兩輛車，質(zhì)量相同，A的速度遠(yuǎn)大于B，在相同情況下，哪輛車更容易停下來？哪輛車更容易轉(zhuǎn)急彎？

（2）一輛小汽車和一輛裝滿貨物的重型大貨車，以相同的速度行駛，在受力相同的情況下，哪輛車更易停、更易轉(zhuǎn)彎？

答案是很明顯的.由此可以認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量越大、速度越大，則在運(yùn)動(dòng)方向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)越難被改變.

這個(gè)判斷可由動(dòng)量定理佐證.假設(shè)運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量為m，速度為v，動(dòng)量為p＝mv.要改變物體在運(yùn)動(dòng)方向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，有兩種做法，一是使物體停止；二是在保持物體速率不變的前提下，使其速度方向轉(zhuǎn)過一個(gè)極小的角度.如果采用第一種做法，由動(dòng)量定理可知所需沖量大小為

如果用第二種做法，假設(shè)速度方向轉(zhuǎn)過的角度為dθ，如圖1，則所需沖量大小為

圖1

結(jié)果表明，不論采取哪種做法，對(duì)于動(dòng)量較大的運(yùn)動(dòng)物體，要改變其在運(yùn)動(dòng)方向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，均需要更大的沖量.

因此，動(dòng)量的物理意義可以這樣闡述，動(dòng)量是一個(gè)描述運(yùn)動(dòng)物體在其運(yùn)動(dòng)方向上保持運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的能力的物理量.

2 牛頓第二定律與動(dòng)量定理的關(guān)系

在高中物理教材中，動(dòng)量定理是由牛頓第二定律推導(dǎo)出來的，在物理學(xué)的發(fā)展史上也確實(shí)如此.

牛頓的三大運(yùn)動(dòng)定律是他在前人工作的基礎(chǔ)上概括、總結(jié)出來的.1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》［2］一書中，有關(guān)第二定律的正式表述為，“運(yùn)動(dòng)的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向.”（見書中定律Ⅱ）.根據(jù)這個(gè)表述可知其表達(dá)式應(yīng)為

當(dāng)F，m，v，t取合適的單位時(shí)，可使比例系數(shù)k＝1，上式可表示為

可見，牛頓第二定律的正式表述（文中稱之為表述1）是基于動(dòng)量變化的.這與高中物理教材中基于加速度的表述（本文中稱之為表述2）有很大不同.而在高校的普通物理教材中采用的正是這種表述.那表述2的依據(jù)又是什么呢？這也可以在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中找到答案.該書表述為，“……運(yùn)動(dòng)力由加速力與物質(zhì)的量的乘積決定.”其中“運(yùn)動(dòng)力”指的是合外力，“加速力”指的是加速度，“物質(zhì)的量”指的是質(zhì)量.根據(jù)這個(gè)表述，可寫出表達(dá)式

在F，m，a選取合適的單位使k＝1后可表示為

現(xiàn)在我們知道，式（1）適用于相對(duì)論，而式（2）只在經(jīng)典力學(xué)中成立.牛頓選擇表述1作為第二定律的正式表述，在那個(gè)力學(xué)研究對(duì)象只限于宏觀、低速運(yùn)動(dòng)物體的年代，充分體現(xiàn)了一個(gè)偉大科學(xué)家的遠(yuǎn)見卓識(shí).

有了牛頓第二定律，動(dòng)量定理的提出就水到渠成了.在高中物理教材中，動(dòng)量定理是基于傳感器實(shí)驗(yàn)，由牛頓第二定律（表述2）導(dǎo)出的，過程如下.

這種推導(dǎo)過程易被高中生接受，但無疑是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因?yàn)樵撏茖?dǎo)仍囿于恒力作用的思路，也難免會(huì)讓善于思考的學(xué)生感到疑惑.而由表述1導(dǎo)出的過程則很好地解決了變力作用的問題，過程如下.

由式（1）得

兩邊積分，得

定義

式（3）表示為

若質(zhì)量m不變，式（4）又可寫為

由此可見，牛頓第二定律是動(dòng)量定理的基礎(chǔ)，動(dòng)量定理是根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)出來的.但能否據(jù)此認(rèn)為，動(dòng)量定理與牛頓第二定律本質(zhì)上是相同的，動(dòng)量定理只是牛頓第二定律的另一種表達(dá)呢？

答案當(dāng)然是否定的.從以上動(dòng)量定理的推導(dǎo)過程中可以很清楚地知道，動(dòng)量定理研究的是，物體在一段時(shí)間的受力與運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，關(guān)注的是始末狀態(tài)的變化.而在牛頓第二定律的表達(dá)式（1）中，出現(xiàn)了“dt”，代表時(shí)間t→0，說明牛頓第二定律研究的是物體受力瞬間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，具有瞬時(shí)性.這是兩者最大的區(qū)別所在.

在高中物理階段，兩者的不同還體現(xiàn)在適用條件方面.高中階段的牛頓第二定律為表述2，表達(dá)式為式（2），這種表述只適用于低速運(yùn)動(dòng)、宏觀的物體.而動(dòng)量定理除適用于宏觀、低速的物體外，還適用于微觀、高速的物體.另外，用牛頓第二定律的這種表述分析變力作用的情況，會(huì)碰到極大的困難，而動(dòng)量定理則不存在這個(gè)問題.

可見，牛頓第二定律與動(dòng)量定理，既有密切聯(lián)系，又有明顯區(qū)別，不可相互替代.

3 動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量定理之間的關(guān)聯(lián)

其實(shí)在科學(xué)史上，動(dòng)量守恒思想的提出是遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于牛頓第二定律的.早在古希臘時(shí)代，以德謨克利特為代表的原子論者就提出，運(yùn)動(dòng)只能由一個(gè)物體向另一個(gè)物體轉(zhuǎn)移，但絕不會(huì)完全消滅.而笛卡兒則在《哲學(xué)原理》第二章中，第一次明確提出了動(dòng)量守恒即物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的總量永遠(yuǎn)保持不變.先賢們的思想是在觀察、研究物體運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的，起初只是模糊的經(jīng)驗(yàn)，后來被實(shí)驗(yàn)所證實(shí).所以，動(dòng)量守恒定律是實(shí)驗(yàn)性規(guī)律.因此，在高中物理教材中，動(dòng)量守恒定律在學(xué)生實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上被總結(jié)出來，是符合認(rèn)知規(guī)律的.

另一方面，動(dòng)量守恒定律也是動(dòng)量定理必然導(dǎo)致的結(jié)果.講清楚動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律之間的邏輯推理關(guān)系，對(duì)于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系，還是非常必要的.

教材中并未明確表明動(dòng)量定理適用于兩個(gè)或多個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)，因此，有必要先對(duì)教材內(nèi)容作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.舉下面的例子.

【例題】如圖2，光滑水平面上有兩個(gè)帶正電的小球A和B，小球A，B在水平向右的推力F作用下均向右運(yùn)動(dòng).不考慮其他影響.求經(jīng)時(shí)間t后，A，B的動(dòng)量變化量之和.

圖2

圖3

解析：分析A，B球受力如圖3，圖中FAB，F(xiàn)BA為A，B球之間的平均作用力.據(jù)動(dòng)量定理，對(duì)A有

對(duì)B有

據(jù)牛頓第三定律

由以上各式得

由此可知，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)各物體動(dòng)量變化量之和，也就是等于系統(tǒng)總動(dòng)量的變化量.當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，系統(tǒng)總動(dòng)量的變化量亦為零，即系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒.這就是動(dòng)量守恒定律.

總之，牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律之間存在著密切的關(guān)系.對(duì)于它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，作為中學(xué)物理教師，只有清楚地知道其來龍去脈，才能更好地為學(xué)生答疑解惑.

1 廣東基礎(chǔ)教育課程資源研究開發(fā)中心物理教材編寫組.教師教學(xué)用書物理·選修3-5.廣州：廣東教育出版社，2005.14～20

2 （英）伊薩克·牛頓著.自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理.王克迪譯.西安：陜西人民出版社，2001.9～19

3 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，1995.42～57