高嫄嫄，鐘 陽(yáng)，李 銳

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島066004;2.大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧大連116024)

0 引言

水泥混凝土路面是一種常見的路面結(jié)構(gòu)形式。隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，道路上行駛車輛不斷增多，車輛超載現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，再加上氣溫、水分等自然因素的原因，道路經(jīng)常出現(xiàn)早期損壞現(xiàn)象，其中路面中出現(xiàn)裂紋就是一種最常見的損壞形式［1］，這直接影響了道路的使用性能并進(jìn)一步加速了路面的破壞。所以對(duì)于含有裂紋路面的開裂機(jī)理分析及其加鋪方法的研究成為工程界十分關(guān)注的熱點(diǎn)問題［2-3］。

20世紀(jì)50年代，斷裂力學(xué)作為一門學(xué)科建立起來(lái)，成為固體力學(xué)的分支，它是研究含裂紋構(gòu)件強(qiáng)度和裂紋擴(kuò)展規(guī)律的一門學(xué)科［4］。應(yīng)力強(qiáng)度因子作為斷裂力學(xué)中的主要參數(shù)，可以作為裂紋是否會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展的一個(gè)主要指標(biāo)。應(yīng)用在工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中［5］復(fù)變函數(shù)法［6-9］與積分變換法［10-14］是解決斷裂問題及計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的主要方法，然而復(fù)變函數(shù)法多是分析無(wú)限大平面含有裂紋的問題且公式推導(dǎo)比較復(fù)雜，而積分變換法推導(dǎo)過程則相對(duì)簡(jiǎn)單。

筆者從位移控制方程出發(fā)，通過傅立葉積分變換并引入位錯(cuò)密度函數(shù)建立奇異積分方程，再應(yīng)用Lobatto-Chebyshev法求解奇異積分方程，得到了裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式及數(shù)值解。最后以實(shí)際路面為例，對(duì)比了有無(wú)加鋪層時(shí)水泥混凝土路面中裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況，研究了加鋪層的厚度及彈性模量對(duì)加鋪效果的影響。

1 問題描述

水泥混凝土路面常用的計(jì)算方法是將其視為Winkler地基上的彈性板，而帶裂紋并有加鋪層的水泥混凝土路面的計(jì)算模型如圖1。

圖1 有加鋪層含裂紋水泥混凝土路面模型Fig.1 Model of cement concrete pavement with crack

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將如圖1的問題簡(jiǎn)化成3個(gè)子問題進(jìn)行分析，如圖2。子問題1〔圖2(a)〕為不含裂紋且有邊界偏荷載的有限寬度的平面問題;子問題2〔圖2(b)〕為含有裂紋且在裂紋的表面作用對(duì)稱荷載有限寬度的平面問題;子問題3〔圖2(c)〕為含有裂紋且在裂紋的表面作用反對(duì)稱荷載有限寬度的平面問題。由線彈性理論的疊加原理可知，3個(gè)子問題疊加的結(jié)果等價(jià)于圖1模型中的問題。

圖2 子問題Fig.2 Sub-problem

圖2(a)模型的邊界條件為：

圖2(b)模型的邊界條件為：

圖2(c)模型的邊界條件為：

式中：σxxn和σyyn分別為第n層的沿x軸和y軸方向的正應(yīng)力;σxyn為第n層的剪應(yīng)力;un，vn為第n層沿x軸和y軸方向的位移 n=1，( 2)，n=1 表示加鋪層結(jié)構(gòu)，n=2表示舊水泥路面結(jié)構(gòu);γ為地基模量。

2 p(x)和q(x)的求解

將子問題1中的坐標(biāo)軸向右平移“l(fā)+L”個(gè)單位，偏荷載的問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱荷載的問題。對(duì)于子問題1中的應(yīng)力與位移解析表達(dá)式的求解過程相對(duì)比較簡(jiǎn)單，所以這一部分不做詳細(xì)論述。由線彈性疊加理論，子問題2、3中的p(x)和q(x)可表示成如下形式：

3 子問題2的理論分析

平面問題位移解法控制方程可統(tǒng)一表示為［15］：

對(duì)于平面應(yīng)力問題k=(3－ν)/(1+ν)，對(duì)于平面應(yīng)變問題k=3－4ν，u為沿x軸方向的位移，v為沿y軸方向的位移，ν為泊松比。路面問題可以視為平面應(yīng)變問題，所以取k=3－4ν。

由胡克定律，位移與應(yīng)力之間的關(guān)系為：

式中：G為剪切模量。

考慮圖1模型結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，為簡(jiǎn)化計(jì)算，由傅里葉變換理論［13］，第 n層的位移 un，vn可以表示成如下的形式：

把式(25)、式(26)帶入到控制方程式(22)、式(23)中，解微分方程組可以得到位移un，vn的表達(dá)式為：

式中：An1，An2，An3，An4是 η 的函數(shù);Bn3，Bn4是 ξ的函數(shù)。

把式(27)，式(28)帶入式(24)中可以得到應(yīng)力的表達(dá)式為：

由于計(jì)算模型中加鋪層與舊水泥路面中ν的取值相差不大，并且為了推導(dǎo)公式的簡(jiǎn)便，這里取ν1=ν2= ν，即k1=k2=k。G1為加鋪層的切模量;G2為舊瀝青路面的剪切模量。

為推導(dǎo)方便，引入位錯(cuò)密度函數(shù)［11］，定義為：

這樣就可以用位錯(cuò)密度函數(shù)來(lái)表示未知函數(shù)An1，An2，An3，An4，Bn3，Bn4( n =1，2)。

由邊界條件式(6)和式(7)及位錯(cuò)密度函數(shù)的定義式，并應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算積分就可以得到［16］：

由邊界條件式(5)、式(10)、式(12)并經(jīng)傅里葉逆變換可以得到：

求解由式(33)～式(40)組成的線性方程組得到 A11，A12，A13，A14，A21，A22，A23，A24。

將 A21，A22，A23，A24，B23，B24帶 入 邊 界 條 件 式(9)，經(jīng)化簡(jiǎn)可以表示成如下的形式：

φ(x，t，η)，p(x)可采用 Gauss-Laguerre 數(shù)值求積公式來(lái)計(jì)算其的數(shù)值解。

為方便計(jì)算，將積分限變換到(－1，1)，式(41)可以表示為：

由于裂紋尖端具有 －1/2階奇異性［5］，所以對(duì)于平面內(nèi)含有裂紋的情況，可設(shè)

用Lobatto-Chybshev求積公式來(lái)求解奇異積分方程，式(56)可以改寫為：

由位錯(cuò)密度函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于平面內(nèi)部含有裂紋問題可以得到補(bǔ)充方程：

式中：ωj為權(quán)函數(shù)，

再由應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義［14］：

經(jīng)整理可以得到：

4 子問題3的理論分析

由于子問題3的荷載具有反對(duì)稱性，其應(yīng)力位移可表示成如下形式：

為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入位錯(cuò)密度函數(shù)：

子問題3的公式推導(dǎo)過程與子問題2類似，因此不再做詳細(xì)的論述。子問題3的應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示成如下的形式：

5 計(jì)算實(shí)例

為分析影響含裂紋水泥混凝土路面加鋪效果的主要因素，以實(shí)際水泥混凝土路面為例，應(yīng)用文中的公式推導(dǎo)過程及Lobatto-Chybshev數(shù)值求解方法計(jì)算路面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解。對(duì)比有無(wú)加鋪層時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算結(jié)果、分析加鋪層厚度及彈性模量對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果的影響。

圖1的水泥混凝土路面各參數(shù)的選取如下：P=700 000 N/m，L=0.15 m，G1=1.6 ×109N/m2，h1=0.1 m，G2=1.15 × 1010N/m2，γ =1.3 × 109N/m2，h2=0.25 m，k=1.6，裂紋的長(zhǎng)度為 d=b － a。具體計(jì)算結(jié)果如圖3～圖5。

圖3 有無(wú)裂紋時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.3 Comparison of stress intensity factors of the crack tips(b)with and without overlay

圖4 不同加鋪層厚度時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子(裂紋長(zhǎng)度d=0.02 m)Fig.4 Stress intensity factor of the crack tips(b)with different thickness of overlay

圖5 不同加鋪層厚度時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子(裂紋長(zhǎng)度d=0.02 m)Fig.5 Stress intensity factor of the crack tips(b)with different share modulus of overlay

從圖3的計(jì)算結(jié)果中可以看到：無(wú)論是Ⅰ型裂紋還是Ⅱ型裂紋，加鋪層的存在都使其應(yīng)力強(qiáng)度因子值有所減小，特別是對(duì)于Ⅰ型裂紋，加鋪層的作用更加明顯。

從圖4的計(jì)算結(jié)果中可以看到：隨著加鋪層厚度的增加，Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子有所減小，但是減小的程度不是很明顯。加鋪層厚度的增加對(duì)Ⅱ型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值基本沒有影響，所以對(duì)于舊水泥混凝土路面表面出現(xiàn)裂紋的狀況，盲目的增加加鋪層的厚度并不是明智的選擇。

從圖5的計(jì)算結(jié)果中可以看到：加鋪層彈性模量的增加對(duì)Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響并不明顯，對(duì)Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子也基本沒有影響。所以，改變加鋪層彈性模量并不是有效的阻止舊水泥混凝土路面表面裂紋擴(kuò)展的有效的方法。

6 結(jié)論

筆者以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)分析加鋪層對(duì)舊水泥混凝土路面的抗裂作用。從位移控制方程出發(fā)，采用積分變換并引入位錯(cuò)密度函數(shù)推導(dǎo)出在含有裂紋水泥混凝土路面在有加鋪層的情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式，并通過數(shù)值計(jì)算對(duì)比了有無(wú)加鋪層時(shí)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況，從中可以看出加鋪層對(duì)于含有裂紋的水泥混凝土路起到了抗裂作用，同時(shí)，加鋪層的厚度也是影響其抗裂性能一個(gè)主要因素。

［1］鐘陽(yáng)，程培風(fēng)，蘇躍宏，等.路基路面工程［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.Zhong Yang，Cheng Peifeng，Su Yuehong，et al.Subgrade and Pavement Engineering［M］.Beijing：Science Press，2005.

［2］馬銀華，易志堅(jiān)，楊慶國(guó).結(jié)合式水泥砼路面加鋪層的力學(xué)性能分析［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，24(2)：42-45.Ma Yinhua，Yi Zhijian，Yang Qingguo.Analysis about the mechanical properties of combined-form concrete pavement overlays ［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University，2005，24(2)：42-45.

［3］凌天清，賴輝，韋剛，等.剛性基層長(zhǎng)壽命瀝青路面抗反射裂縫力學(xué)分析［J］.重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29(5)：714-717.Ling Tianqing，Lai Hui，Wei Gang，et al.Mechanic analysis on defending reflective crack of perpetual asphalt pavement with rigid base［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University：Natural Science，2010，29(5)：714-717.

［4］丁遂棟.斷裂力學(xué)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.Ding Suidong.Fracture Mechanics［M］.Beijing：China Machine Press，1997.

［5］張行.斷裂力學(xué)中應(yīng)力強(qiáng)度因子的解法［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1992.Zhang Xing.Solution of Stress Intensity Factor in Fracture Mechanics［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1992.

［6］庫(kù)貴華，張少雄.斷裂力學(xué)教程［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1994.Ku Guihua，Zhang Shaoxiong.Fracture Mechanics［M］.Xi’an：Northwestern Polytechnical University Press，1994.

［7］Zak A R，Williams M L.Crack point stress singularities at a bi-material interface［J］.Journal of Applied Mechanics，1963，30：142-143.

［8］Korniets S D，Kaminskii A A.Stress around a crack in an elastic plate weakened by two holes［J］.International Applied Mechanics，1987，23(11)：1072-1077.

［9］Vroonhoven J C W.Stress intensity factors for curvilinear cracks loaded under anti-plane strain(mode III)conditions［J］.International Journal of Fracture，1993，70(1)：1-18.

［10］李永東，賈斌，張男，等.功能梯度材料有限寬板的反平面斷裂問題研究［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2006，27(6)：683-689.Li Yongdong，Jia Bin，Zhang Nan，et al.Anti-plane fracture analysis of a functionally gradient material infinite strip with finite width［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2006，27(6)：683-689.

［11］Zhao Huaqing.Fracture and Fatigue Analysis of Functionally Graded and Homogeneous Materials Using Singular Integral Equation Approach［D］.Baltimore：Johns Hopkins University，1998.

［12］Kadioˇglu S，Daˇg S，Yahsi S.Crack problem for a functionally graded layer on an elastic foundation［J］.International Journal of Fracture，1998，94：63-77.

［13］Erdogan F，Gupta G.The stress analysis of multi-layered composites with a flaw ［J］.International Journal of Solids Structures，1971，7：39-61.

［14］Sei U，Tatsuya M.The surface crack problem for layered elastic medium with a functionally graded non-homogeneous interface［J］.Journal of Solid Mechanics and Material Engineering，2002，45(3)：371-378.

［15］李永東.斷裂力學(xué)理論與應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.Li Yongdong.Theory and Application of Fracture Mechanics［M］.Beijing：Science Press，2000.

［16］林益，劉國(guó)鈞，葉提芳，等.復(fù)變函數(shù)與積分變換［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2008.Lin Yi，Liu Guojun，Ye Tifang，et al.Complex Function and Integral Transform［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，2008.