沈金興

【摘要】

在中、英兩國(guó)不同版本的高中數(shù)學(xué)教材中就“導(dǎo)數(shù)概念”內(nèi)容進(jìn)行了編寫(xiě)特征的比較。從導(dǎo)數(shù)概念得出的結(jié)構(gòu)路徑、表述形式與例習(xí)題的編排方式、數(shù)量、難易水平、綜合水平及信息技術(shù)的融入等方面建立框架，并以宏觀與微觀兩個(gè)層面作比較分析，得到了兩國(guó)教材在編寫(xiě)上具有宏觀的相似性和微觀的差異性，從而得到了教材編寫(xiě)的啟示.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)概念；結(jié)構(gòu)路徑；例習(xí)題

1引言

2015年8月，一部由英國(guó)BBC公司制作的關(guān)于中英兩國(guó)教育比較的紀(jì)錄片，引起了兩國(guó)的熱議.該片以英國(guó)漢普郡某中學(xué)為背景，在一個(gè)自愿組成的50名英國(guó)中學(xué)生班級(jí)里，邀請(qǐng)了5位中國(guó)教師來(lái)進(jìn)行為期1個(gè)月的“中式教學(xué)”，然后通過(guò)測(cè)驗(yàn)與其他班級(jí)進(jìn)行PK，最后是采用“中式教學(xué)”的實(shí)驗(yàn)班取得完勝的一部3集紀(jì)錄片.而在實(shí)施“中式教學(xué)”的科目中就有數(shù)學(xué)，且在最后的測(cè)驗(yàn)中平均分超過(guò)了對(duì)照班10分.這部紀(jì)錄片播出后，關(guān)于中英兩國(guó)的教育孰優(yōu)孰劣開(kāi)始爭(zhēng)論不休.但筆者認(rèn)為這完全沒(méi)必要，因?yàn)橛葿BC公司策劃的這場(chǎng)“教學(xué)實(shí)驗(yàn)”，既不科學(xué)也不嚴(yán)謹(jǐn)，它完全是以?shī)蕵?lè)為主，以提高收視率為最終目的，所以在選擇、剪輯素材來(lái)制造“懸念、沖突”等方面是不客觀的，因而不能算作嚴(yán)格意義上的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，也不是比較教育研究.為了真實(shí)、客觀地反映中英兩國(guó)的教育，筆者特意選了兩國(guó)各一本高中數(shù)學(xué)教材，并就某一個(gè)相同內(nèi)容的教材編寫(xiě)特點(diǎn)作比較研究，以期能較真實(shí)地了解兩國(guó)不同的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀.1研究方法

2.1研究對(duì)象

比較研究的內(nèi)容是“導(dǎo)數(shù)概念”，選取的中國(guó)大陸教材是人民教育出版社出版（2007版）的數(shù)學(xué)（A版）選修22（簡(jiǎn)稱(chēng)“人教版”），英國(guó)教材選用的是由培生公司（A pearson company） 2009年出版的，英國(guó)愛(ài)德思（Edexcel）國(guó)家職業(yè)學(xué)歷與學(xué)術(shù)考試機(jī)構(gòu)所用的教材：Edexcel AS and A Level Modular Mathematics （core1）（簡(jiǎn)稱(chēng)“ASA版”）.

顯然在現(xiàn)階段，這兩個(gè)版本的教材是各自國(guó)家中使用最廣泛的.雖然中國(guó)大陸有幾個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材，但大多數(shù)省份還是使用人教版，因而很有代表性.而英國(guó)高中的Edexcel考試委員會(huì)所用的教材就是核心數(shù)學(xué)模塊系列（分別是core1、core2、core3和core4）.其中core1、core2教材的程度相當(dāng)于中國(guó)大陸的高一，屬于A Level考試（相當(dāng)于高考）的AS Level，也是英國(guó)學(xué)生在進(jìn)大學(xué)前的必修課程.由于“導(dǎo)數(shù)概念”在ASA版core1的第七章，而人教版在選修22的第一章，所以就以這兩本教材為研究對(duì)象.

2.2研究問(wèn)題

中英這兩個(gè)版本的教材就“導(dǎo)數(shù)概念”這塊內(nèi)容是如何編寫(xiě)的呢？導(dǎo)數(shù)概念的引入與表述又是怎樣？相對(duì)應(yīng)例習(xí)題的編寫(xiě)特征是什么？題量、難易度與綜合水平又是如何配置的？

2.3研究方法

基于兩個(gè)不同版本的高中數(shù)學(xué)教材的文本，從宏觀和微觀兩個(gè)方面建立分析框架，以具體內(nèi)容的細(xì)節(jié)分析比較為主要研究方法，以便更清楚地了解兩種教材的異同點(diǎn).3研究結(jié)果與討論分析

3.1導(dǎo)數(shù)起源概述

為了更好地理解兩國(guó)教材在對(duì)導(dǎo)數(shù)概念處理方式上的異同點(diǎn)，有必要對(duì)導(dǎo)數(shù)的起源有所了解.微積分誕生于17世紀(jì)，但導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生其實(shí)起源于對(duì)三個(gè)古老問(wèn)題的研究，分別為解決光學(xué)問(wèn)題、處理曲線運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題與確定曲線的夾角問(wèn)題.而要解決這三個(gè)問(wèn)題都涉及到同一件事，那就是要解決曲線的切線問(wèn)題[1].所以，曲線的切線問(wèn)題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的誕生，故要講授導(dǎo)數(shù)，必定離不開(kāi)切線問(wèn)題.

3.2導(dǎo)數(shù)概念的編寫(xiě)比較

3.21導(dǎo)數(shù)概念的結(jié)構(gòu)路徑比較

通過(guò)宏觀層面來(lái)觀察兩國(guó)不同教材對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的得出.下面以它們的呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)路徑為例來(lái)比較.人教版安排了3小節(jié)，具體的編寫(xiě)路徑為：生活中的平均變化率瞬時(shí)速度在x=x0處的導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在點(diǎn)P處的切線導(dǎo)數(shù)的概念

而英國(guó)ASA版安排了2節(jié)，具體的編寫(xiě)路徑為：在曲線某一點(diǎn)變化率與切線求f（x）=x2圖象上某一點(diǎn)的切線斜率導(dǎo)數(shù)f′（x）的概念

從宏觀的角度來(lái)看導(dǎo)數(shù)概念呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)路徑，其編寫(xiě)的思路基本相同：都是從特殊到一般.也就是都從具體的例子著手來(lái)引出導(dǎo)數(shù)概念，并且在對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的引入形式上也是相同的：都不是從嚴(yán)格的連續(xù)性和極限的概念上來(lái)得出的，而是通過(guò)實(shí)際例子和切線的斜率，從形到數(shù)讓學(xué)生直觀地體會(huì)“以直代曲“的思想后直接給出.所以導(dǎo)數(shù)概念在得出之前的整體結(jié)構(gòu)上編寫(xiě)思路是一致的.

但從微觀的角度來(lái)看，兩國(guó)教材在導(dǎo)數(shù)概念引出之前的處理上還是有明顯差異的.中國(guó)的人教版教材是以平常生活中的現(xiàn)象來(lái)引出的：氣球的膨脹率和運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水來(lái)引出平均變化率，然后以瞬時(shí)變化率來(lái)得出y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)概念，再理解它的幾何意義得到函數(shù)f（x）在x=x0處切線的斜率，最后才得出f（x）的導(dǎo)數(shù)概念，即導(dǎo)數(shù)f′（x）.而英國(guó)的ASA版教材直截了當(dāng)?shù)貜那€的切線入手，在討論y=x2的圖象在不同點(diǎn)處的切線斜率后就歸納出y=x2的切線斜率，接著就得出了導(dǎo)數(shù)概念f′（x）.這表明人教版在概念引入方面更注重實(shí)際生活例子，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，因而生活味很濃.而ASA版則更注重于數(shù)學(xué)本質(zhì)，它以當(dāng)年數(shù)學(xué)家迫切需要解決的切線問(wèn)題為抓手來(lái)處理，遵循了歷史發(fā)生原理[2]，故編寫(xiě)得更具數(shù)學(xué)味.

3.22導(dǎo)數(shù)概念的表述形式比較

中國(guó)的人教版教材對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的表述分了兩步走.第一步是函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′x=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx；第二步：當(dāng)x=x0時(shí)，f′（x0）是一個(gè)確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）便是x的一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)），記作y′，即f′（x）=y′=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

英國(guó)的ASA版教材則是從兩點(diǎn)的割線斜率入手，也是分兩步走.圖1第一步是直接給出如圖1中的割線BC的斜率：f（x+h）-f（x）（x+h）-x；第二步說(shuō)明當(dāng)h越來(lái)越小時(shí)，割線BC就成了在點(diǎn)B處的切線，此時(shí)就給出了f′（x）的定義是limh→0[f（x+h）-f（x）h].

從微觀角度，即兩國(guó)教材對(duì)導(dǎo)數(shù)概念f′（x）的具體表述形式來(lái)看，也體現(xiàn)出了不同的編寫(xiě)特點(diǎn).人教版是從代數(shù)角度來(lái)說(shuō)明的，先以y=f（x）在x=x0處的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值f′（x0）開(kāi)始，然后通過(guò)函數(shù)的概念來(lái)確定當(dāng)x0變化時(shí)，f′（x0）就變成了一個(gè)函數(shù)，于是就成了導(dǎo)函數(shù)f′（x），因而導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng).而ASA版則是從幾何角度來(lái)說(shuō)明的，先以兩點(diǎn)割線斜率作為出發(fā)點(diǎn)，然后通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)逼近變成切線，于是切線斜率就成了導(dǎo)數(shù)f′（x）.所以在導(dǎo)數(shù)概念的表述上，中國(guó)教材側(cè)重于代數(shù)角度，而英國(guó)教材則更側(cè)重于幾何角度，不過(guò)中國(guó)教材還補(bǔ)充了f′（x0）的幾何意義，比英國(guó)教材更完整一些.當(dāng)然也有相類(lèi)似的地方，即兩國(guó)教材都沒(méi)有解釋極限“l(fā)im”和曲線連續(xù)性這個(gè)前提，都刻意進(jìn)行了規(guī)避，所以從宏觀的角度看，體現(xiàn)出了相同的編寫(xiě)思路.

3.3導(dǎo)數(shù)概念的例習(xí)題編寫(xiě)比較

3.31例習(xí)題編排形式與數(shù)量比較

在導(dǎo)數(shù)概念得出之前，兩國(guó)教材都安排了例題、探究題、觀察題和練習(xí)題.其中作為概念引入的例子也算作例題，而中間安排的思考題或探究題則一律當(dāng)作探究題來(lái)統(tǒng)計(jì)，觀察題則單獨(dú)統(tǒng)計(jì).人教版的練習(xí)題與習(xí)題A、B就按教材的標(biāo)記來(lái)統(tǒng)計(jì)，而ASA版的綜合題是放在一章節(jié)的最后，類(lèi)似于習(xí)題B.具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1.

從宏觀角度觀察兩國(guó)版本的例習(xí)題編排形式，有許多共同之處.都是先安排例子作為引入，接著分析，在中間穿插安排一些思考題、探究題與觀察題，然后先給一些子概念，再舉例題和相匹配的練習(xí)題，最后才得出導(dǎo)數(shù)概念，并再安排一些習(xí)題.而表1也反映了這點(diǎn)，且在數(shù)量上也相差無(wú)幾.人教版安排了3節(jié)，平均每節(jié)題量約為77題；ASA版安排了2節(jié)，平均每節(jié)85題.所以兩國(guó)教材在例習(xí)題的編排思路上基本一致，在概念得出前都安排了思考與探究，而這也符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知特點(diǎn).在得到概念后均安排了較多的配套習(xí)題，說(shuō)明兩國(guó)教材的編寫(xiě)者都認(rèn)同數(shù)學(xué)概念的鞏固離不開(kāi)大量習(xí)題的練習(xí)，這也反映了數(shù)學(xué)這門(mén)科目的共同特征，且從數(shù)量上看英國(guó)教材略多于中國(guó)教材.

3.32例習(xí)題的難易水平比較

為了進(jìn)一步比較兩國(guó)版本在編寫(xiě)例習(xí)題時(shí)的難易度，筆者借鑒美國(guó)教育心理學(xué)家布盧姆關(guān)于學(xué)習(xí)水平劃分的理論，將例習(xí)題的難易程度從低到高分成四個(gè)水平.水平1：直接代公式或知識(shí)再認(rèn)就可以了，屬于識(shí)記，只需一步運(yùn)算即可；水平2：需要兩步運(yùn)算，包括概念的運(yùn)用或分析轉(zhuǎn)化后一步運(yùn)算等，屬于領(lǐng)會(huì)；水平3：比領(lǐng)會(huì)有更高的理解水平，能應(yīng)用于新的情境，往往需要三步運(yùn)算，屬于運(yùn)用；水平4：需要挖掘深藏的條件，通過(guò)三步以上運(yùn)算才能解決，屬于復(fù)雜運(yùn)用和靈活創(chuàng)新運(yùn)用.這四種運(yùn)算水平分別記為L(zhǎng)1，L2，L3，L4，并賦權(quán)重為1、2、3、4.表2統(tǒng)計(jì)了兩版本不同水平的例習(xí)題（含探究題、觀察題）數(shù)量，并計(jì)算其加權(quán)平均水平以作比較.

對(duì)例習(xí)題的水平進(jìn)行量化后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)版本的例習(xí)題難易度適中，都大量集中在水平2與水平3中.相比較而言，人教版均等，各占435%，而ASA版水平2居多一點(diǎn)，占了585%，水平3為353%.水平4人教版有2題，而英國(guó)的則沒(méi)有.所以總體而言，中國(guó)的人教版要略難于英國(guó)的ASA版，這從加權(quán)平均水平也反映了出來(lái).

3.33例習(xí)題的綜合水平比較

如果再?gòu)奈⒂^層面看，即涉及具體知識(shí)點(diǎn)的綜合程度來(lái)作比較，則還可將綜合性分為四類(lèi)水平：水平Ⅰ—只和導(dǎo)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)綜合；水平Ⅱ—和數(shù)學(xué)中其他的領(lǐng)域綜合；水平Ⅲ—和其他學(xué)科（如物理、生物等）相關(guān)知識(shí)的綜合；水平Ⅳ—和具有現(xiàn)實(shí)生活背景的問(wèn)題綜合.圖2反映了兩國(guó)版本在例習(xí)題方面的不同綜合水平.圖2例習(xí)題綜合水平比較

從圖2中可明顯看出，人教版教材更多地注重導(dǎo)數(shù)和生活、導(dǎo)數(shù)與其他學(xué)科的聯(lián)系等，而直接純粹在導(dǎo)數(shù)或數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較少.這也符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：“力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系”，[3]尤其是在與其他學(xué)科的聯(lián)系中，涉及與化學(xué)、物理、生物、經(jīng)濟(jì)等各學(xué)科的知識(shí)，綜合水平很高.相反英國(guó)的ASA版本大多數(shù)集中在與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)上，與其他學(xué)科的綜合水平很低，它更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本身的背景，因而數(shù)學(xué)味很濃，這就體現(xiàn)了兩國(guó)編寫(xiě)者的不同理念.

3.34信息技術(shù)的融入比較

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)化的普及，一些新的教育技術(shù)要在教材和教學(xué)中有所體現(xiàn).在這方面兩國(guó)的教材編寫(xiě)者的理念基本相同，因?yàn)樵谌私贪嬷杏?處融入了信息技術(shù)，平均一節(jié)一處，而ASA版教材中安排了兩處，也是平均一節(jié)一處，所以基本持平.這反映了大家都在關(guān)注這股新興力量，并能發(fā)揮出其優(yōu)勢(shì)為教學(xué)所用.所以課標(biāo)中提出的“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合”的理念還是與時(shí)俱進(jìn)的.4結(jié)論

4.1兩國(guó)教材的編寫(xiě)具有宏觀上的相似性

從宏觀層面觀察，兩國(guó)教材對(duì)“導(dǎo)數(shù)概念”的編寫(xiě)方面具有較多的相似性.比如在導(dǎo)數(shù)概念的引入和得出方面，其結(jié)構(gòu)路徑大致相似，都是按照從特殊到一般的編排思路；在導(dǎo)數(shù)概念的描述上都不涉及嚴(yán)格的連續(xù)性與極限的概念，而是從圖形上直觀感知；在例習(xí)題的編寫(xiě)上也是高度相似，在概念引出前都安排探究思考題，在例題后緊跟習(xí)題，題量較多難度適中；都注重信息技術(shù)的融入等.這說(shuō)明兩國(guó)編寫(xiě)者在框架結(jié)構(gòu)和形式等宏觀方面的理念上具有極大的相似性.

4.2兩國(guó)教材的編寫(xiě)具有微觀上的差異性

從具體的微觀層面觀察，又可發(fā)現(xiàn)兩國(guó)編寫(xiě)者在處理細(xì)節(jié)上有較大的差異.

4.21導(dǎo)數(shù)概念的引入與得出方式不同

人教版在導(dǎo)數(shù)概念的引入上花了較多篇幅，并以日常生活中的例子為研究討論對(duì)象.先從代數(shù)角度分析，然后再回歸到幾何角度去審視導(dǎo)數(shù)的意義，側(cè)重于代數(shù)，再輔以幾何解釋?zhuān)欢鳤SA版則開(kāi)門(mén)見(jiàn)山就開(kāi)始討論曲線的切線，來(lái)得更直接，也更接近于數(shù)學(xué)知識(shí)的起源和本質(zhì)要求，比較側(cè)重于幾何，也更注重于純數(shù)學(xué)味.這表明兩國(guó)的教學(xué)理念存在著差異.

4.22例習(xí)題編寫(xiě)的綜合程度不同

人教版無(wú)論是在引入和探究，還是例題或習(xí)題，都更注重于數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，綜合性程度強(qiáng)，綜合水平高，很好地展現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求.相反ASA版教材更多注重于數(shù)學(xué)問(wèn)題本身，與實(shí)際生活的綜合或跨學(xué)科綜合程度不高.這也反映了兩國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用在觀念上存在著差異.

4.3編寫(xiě)教材的啟示

兩國(guó)教材在宏觀上的相似性與微觀上的差異性為我國(guó)人教版教材在以后的編寫(xiě)中帶來(lái)了啟示.一方面要繼續(xù)傳承兩國(guó)教材中的共同點(diǎn)，編寫(xiě)出更符合學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)的教材，如導(dǎo)數(shù)概念在宏觀上的編排結(jié)構(gòu)、表述形式和例習(xí)題的設(shè)計(jì)思路及信息技術(shù)的融入方面仍要繼承，因?yàn)檫@是兩國(guó)都認(rèn)同的觀點(diǎn)；另一方面也要取長(zhǎng)補(bǔ)短，吸收英國(guó)教材中好的方面為我所用.比如人教版教材在注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的生活化方面太多了些，從而使數(shù)學(xué)味淡了，有“去數(shù)學(xué)化”之嫌疑，故可借鑒ASA版，適當(dāng)中和一下，兩者兼顧；另外在導(dǎo)數(shù)概念的引入方面是否也可以像英國(guó)教材一樣，直接回歸到當(dāng)年數(shù)學(xué)家在得出導(dǎo)數(shù)時(shí)研究的原始問(wèn)題——切線問(wèn)題，這樣也符合數(shù)學(xué)史的發(fā)展規(guī)律，事實(shí)上我國(guó)的蘇教版在導(dǎo)數(shù)概念的引入上就是這樣處理的.

總之，比較兩國(guó)教材在某知識(shí)點(diǎn)上的異同是一種方法，目的是能認(rèn)清我國(guó)教材的優(yōu)缺點(diǎn)，能揚(yáng)長(zhǎng)避短，吸取他國(guó)之精華，從而編寫(xiě)出更符合學(xué)生學(xué)習(xí)的好教材.

參考文獻(xiàn)

[1][2]汪曉勤.數(shù)學(xué)文化透視[M].上海：科學(xué)技術(shù)出版社，20131

[3]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2006