李 宏，巴 諾，吳向堯，劉曉靜，張斯淇，王 婧，馬 季，董 赫

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平 136000）

基于量子理論的電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)＊

李 宏，巴 諾，吳向堯，劉曉靜，張斯淇，王 婧，馬 季，董 赫

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平 136000）

用薛定諤方程求解電子在縫中的衍射波函數(shù)，用路徑積分方法求解電子在縫外的衍射波函數(shù)，最終推導(dǎo)出衍射強(qiáng)度的關(guān)系式.理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)符合相當(dāng)好，驗(yàn)證了量子理論方法能夠精確解釋電子的衍射現(xiàn)象.

薛定諤方程；雙縫衍射；路徑積分

從19世紀(jì)中期至今，物質(zhì)波在物理學(xué)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，波動(dòng)性的假說(shuō)由德布羅意提出，已經(jīng)有很多實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)［1］.由于粒子具有波粒二象性，所以人們用經(jīng)典模型研究物質(zhì)波的衍射和干涉不是嚴(yán)格精確的.精確求解粒子的衍射和干涉，必須用量子理論［2－7］.筆者采用量子理論方法研究電子雙縫衍射，通過(guò)對(duì)薛定諤方程的求解得到電子在縫中的衍射波函數(shù)，電子在縫外的衍射波函數(shù)可由路徑積分方法嚴(yán)格求解，最終推導(dǎo)出衍射強(qiáng)度的關(guān)系式.理論計(jì)算的結(jié)果和測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合相當(dāng)好，從而用量子理論更好地解釋了電子衍射這一物理現(xiàn)象.由于實(shí)驗(yàn)的衍射圖樣會(huì)受到退相干機(jī)制影響，所以用退相干機(jī)制對(duì)干涉強(qiáng)度進(jìn)行修正，從而得到更好的理論結(jié)果［8－9］.

1 求解縫中電子波函數(shù)φ（r，t）

取a為縫寬，b為縫長(zhǎng)，c為縫厚，d為兩縫之間距離，縫長(zhǎng)方向?yàn)閤軸，縫寬方向?yàn)閥軸，縫厚方向?yàn)閦軸，如圖1所示.

在t時(shí)刻有一質(zhì)量為M的電子沿z軸正方向入射，其波函數(shù)表示為

其中A為常矢量.含時(shí)薛定諤方程為

圖1 電子雙縫結(jié)構(gòu)示意

其中：E為電子的能量；M為電子的質(zhì)量.

左縫中的勢(shì)能為

其中c是縫的厚度.在縫中V＝0.則不含時(shí)薛定諤方程可寫(xiě)為

求解（1）式并通過(guò)分離變量法求解縫內(nèi)波函數(shù)可得

其滿足的邊界條件為

通過(guò)分離變量φ（x，y，z）＝X（x）Y（y）Z（z）可得（2）式的一般解為

則含時(shí)薛定諤方程的一般解為

由波函數(shù)在z＝0處連續(xù)可得

通過(guò)二重傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)求得

其中m，n＝0，2，3，....

同理，可求得右縫中的波函數(shù)為

2 求解電子在縫后衍射波函數(shù)ψr，（t）

電子衍射示意圖如圖2所示.

圖2 電子在縫外衍射示意

設(shè)任意一點(diǎn)p0點(diǎn)在縫面上，任意一點(diǎn)p點(diǎn)衍射屏上，粒子到達(dá)z＝c平面p0點(diǎn)的時(shí)間為t0，由（4）式得

觀察屏上t時(shí)刻的波函數(shù)由路徑積分公式得

其中：M為粒子質(zhì)量；R為p0點(diǎn)到p點(diǎn)之間的距離；（t－t0）為粒子從p0點(diǎn)飛行到p點(diǎn)的時(shí)間.將（7）式代入（6）式可得

其中dr0＝dx0dy0.由圖2可知

（8）式中的x20，y20和c2為二階無(wú)窮小量，可忽略，則

其中：α為r與yz平面的夾角；β為r與xz平面的夾角；θ為r與z軸的夾角.

將（9）式代入（8）式化簡(jiǎn)得到左縫縫外衍射波函數(shù)為

把（11）至（13）式代入（10）式得到衍射屏上的波函數(shù)為

同理，右縫在衍射屏上的波函數(shù)為

其中cos2θ＋sin2α＋sin2β＝1.

雙縫衍射總的波函數(shù)為

3 修正屏幕上相對(duì)干涉強(qiáng)度

由文獻(xiàn)［8］可知干涉波函數(shù)為

其中Imax為中間衍射強(qiáng)度的最大值，Imin為與中間最大值相鄰的第1個(gè)最小值為.由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的兩縫衍射波函數(shù)ψo(hù)ut1（r，t）和ψo(hù)ut2（r，t）可以通過(guò)量子力學(xué)方法嚴(yán)格求解得到.

4 數(shù)值分析

圖3 電子雙縫衍射理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

5 結(jié)論

文中采用量子理論方法研究了電子的雙縫衍射，得到了電子衍射強(qiáng)度解析式，理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)符合相當(dāng)好，從而證明了可以用量子理論方法精確描述電子的干涉、衍射現(xiàn)象.

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（責(zé)任編輯 陳炳權(quán)）

Quantum Theory of Electronic Double－Slit Diffraction

LI Hong，BA Nuo，WU Xiang－yao，LIU Xiao－jing，ZHANG Si－qi，WANGJing，MA Ji，DONG He
（Institute of Physics，Jilin Normal University，Siping 136000，Jilin China）

The electronic wave function in the slits is obtained by the Schrodinger equation，and electron diffraction wave function outside the slits by the strict solutions of path integral method.The diffraction intensity is proportional to the square of diffraction wave function.Then，the formula of electronic double－slit diffraction intensity can be obtained.It is found that the theoretical calculation result of quantum theory and the experimental measurement data tally pretty well.So，the method of quantum theory can explain electron diffraction phenomenon precisely.

Schrodinger equation；double－slit diffraction；path integral

O413.1

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.03.006

1007－2985（2013）03－0025－06

2013－03－10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11247201）；吉林師范大學(xué)研究生創(chuàng)新科研計(jì)劃資助項(xiàng)目

李 宏（1989－），男，吉林公主嶺人，吉林師范大學(xué)物理學(xué)院碩士研究生，主要從事量子理論物理學(xué)研究.

吳向堯（1965－），男，安徽安慶人，吉林師范大學(xué)物理學(xué)院博士，教授，主要從事凝聚態(tài)理論物理研究.E－mail：wuxy2066＠163.com.