張 毅，楊建國，李自漢

(上海交通大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，上海 200240)

0 引言

隨著制造業(yè)對加工精度要求的不斷提高，近年來針對如何進一步減小數(shù)控機床的誤差進行了一系列研究。研究表明：無論是傳統(tǒng)的三軸數(shù)控機床，還是引入了旋轉(zhuǎn)軸的多軸數(shù)控機床，機床定位誤差都是最重要的誤差來源。在機床實際加工過程中，定位誤差在最終形成的加工誤差中所占比例可高達70%［1］。尤其是在大、中型機床中，定位誤差對加工精度的影響更為顯著。因此，對定位誤差進行有效的測量、建模和補償，是提高機床運動性能和加工精度的首要途徑。

機床定位精度受到機床零部件加工精度、裝配精度以及機床溫度場變化引起的熱變形的綜合影響。傳統(tǒng)的螺距誤差補償只能進行恒溫條件下的定位誤差補償，并不考慮溫度變化對定位誤差的影響，因此，在機床的實際加工過程中，隨著機床溫度的不斷變化，補償精度會逐漸降低。國內(nèi)外學(xué)者對機床誤差和溫度場變化之間的關(guān)系做了大量研究。Pahk等人［2］用多元回歸分析方法建立了機床定位誤差預(yù)測模型，通過補償提高了機床定位精度。王維等人［3］對一臺立式加工中心的定位誤差進行了全溫度范圍內(nèi)的誤差建模和補償研究，取得了良好的補償效果。此外，楊建國［4］、Wu［5］和張琨［6］等人也在這方面進行了理論和試驗探索，研究了機床定位誤差的影響因素及其變化規(guī)律。

然而，以上模型基本都將機床熱誤差和溫度場的變化近似視為線性變化規(guī)律，沒有充分考慮到機床熱變形是一個復(fù)雜的、時變的非線性過程［7-8］，所以其模型預(yù)測精度有待于進一步提高。本文在對大量試驗數(shù)據(jù)進行分析的基礎(chǔ)上，提出了基于自然指數(shù)模型的機床定位誤差建模方法，建立了定位誤差與機床坐標(biāo)位置、環(huán)境溫度變量及機床關(guān)鍵構(gòu)件溫度變量之間的非線性預(yù)測模型，可以對不同溫度條件下的定位誤差做出預(yù)測，并在一臺機床上進行了實際誤差補償試驗，大幅提高機床定位精度。

1 滾珠絲杠傳動機構(gòu)及熱源分析

滾珠絲杠傳動機構(gòu)是數(shù)控機床的重要傳動部件，負(fù)責(zé)將伺服電機的旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為工作臺(或主軸)的平移運動。圖1所示為常見的機床平動軸滾珠絲杠傳動機構(gòu)，主要由伺服電機、聯(lián)軸器、前端軸承、絲杠螺母、絲杠和后端軸承構(gòu)成。通常來說，滾珠絲杠機構(gòu)的加工精度、裝配精度以及由溫度變化引起的熱誤差都是降低機床定位精度的主要誤差來源。其中，前兩種誤差來源不會在機床的加工過程中發(fā)生變化(或者變化相對較小)，可以視作幾何誤差，屬于靜態(tài)誤差的范疇;而由溫度變化引起的熱誤差則會在機床的加工過程中隨著溫度的變化而發(fā)生改變，屬于動態(tài)誤差范疇。因此在對機床定位誤差進行補償時，需要綜合考慮幾何誤差和熱誤差的影響。

圖1 滾珠絲杠傳動機構(gòu)

從圖1中可以看出，滾珠絲杠傳動機構(gòu)主要有四大熱源：伺服電機功率損耗產(chǎn)生的熱量、絲杠前、后端軸承的摩擦發(fā)熱，以及螺母在絲杠上來回運動的摩擦發(fā)熱。要研究機床熱誤差與溫度場分布之間的關(guān)系，就必須對這四個主要熱源的溫度數(shù)據(jù)進行實時采集，這里分別用 Tmotor、Tb1、Tb2和 Tnut來表示。此外，機床所處環(huán)境溫度也會對機床熱誤差造成一定影響，所以需要測量環(huán)境溫度Tamb。幾個主要熱源產(chǎn)生的大量熱量會在機床零部件內(nèi)部進行熱傳導(dǎo)，也會和周圍空氣之間發(fā)生對流傳熱，形成復(fù)雜的溫度場分布情況，引起滾珠絲杠的熱膨脹變形，并最終導(dǎo)致不同溫度條件下的定位誤差各不相同。相關(guān)文獻表明［7-8］，機床的熱變形(誤差)和溫度場之間存在復(fù)雜的非線性變化規(guī)律，下面將對定位誤差的變化規(guī)律和影響因素做進一步研究。

2 定位誤差變化規(guī)律分析及建模

2.1 機床關(guān)鍵構(gòu)件溫度對定位誤差的影響

為了全面了解機床定位誤差在不同溫度條件下的變化規(guī)律，本試驗以五軸機床的X軸為例，首先在機床冷態(tài)時，用激光干涉儀測量定位誤差，然后讓機床以一定的進給速度進行熱機，每隔30min重新測量定位誤差，直到機床達到熱平衡狀態(tài)。與此同時，通過溫度傳感器實時測量各關(guān)鍵測點的溫度變化。圖2所示為從機床冷態(tài)開始到熱平衡過程中不同時刻的各關(guān)鍵測點的溫度變化曲線。圖3所示為不同時刻的X軸定位誤差曲線。

圖2 不同時刻的機床關(guān)鍵測點的溫度變化曲線

圖3 不同時刻的機床X軸定位誤差曲線

從圖2可以看出，在機床開始運行階段，各測點的溫度增長速率較快，說明機床產(chǎn)熱量大于散熱量;隨著機床的不斷運行，各部件的產(chǎn)熱量和散熱量基本趨于相等，溫度增長速率減緩，并在約135min之后基本穩(wěn)定在某一溫度值左右波動。其中，絲杠螺母，前、后端軸承均表現(xiàn)出了這樣的變化規(guī)律，當(dāng)?shù)竭_熱平衡時，各自的溫度分別穩(wěn)定在33℃、38℃和36℃左右。然而，在240min的運行過程中，伺服電機的溫度一直保持較快增長，且沒有明顯的變緩和到達熱平衡的趨勢，最高溫升將近35℃。不同于滾珠絲杠和前后軸承的摩擦生熱，伺服電機的熱量主要來源于功率損耗，和伺服電機的配置參數(shù)、負(fù)載等有關(guān)，而且電機與滾珠絲杠之間存在一定的距離，可以認(rèn)為電機生熱對絲杠的熱膨脹影響不是很大，從測量得到的溫度和定位誤差數(shù)據(jù)分析來看，兩者之間的確不存在明顯的數(shù)學(xué)關(guān)系，所以在誤差模型中，可以不考慮伺服電機溫度的影響。

本組測量試驗是在ISO 230-3［9］推薦的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度(20℃)下進行的，因此在0min時(機床處于冷態(tài)時)測量得到的定位誤差，可以認(rèn)為是與溫度無關(guān)的幾何誤差，主要由機床構(gòu)件的加工精度和裝配精度決定，屬于靜態(tài)誤差。隨著機床運行時間的增長，各部件的溫度逐漸升高，使得X軸的定位誤差也發(fā)生了改變。從圖3中可以看出，不同時刻的定位誤差曲線形狀基本相同，但是誤差曲線的整體變化趨勢(可用誤差曲線的一次擬合斜率來描述)隨著溫度的升高而逐漸變大，因此所有的定位誤差曲線構(gòu)成一個“扇形圖譜”，即：以進給軸原點為中心，隨著機床的不斷熱機，定位誤差曲線尾部逐漸上翹，從而形成一簇形狀相似的誤差曲線。

基于以上分析，可以將定位誤差分成兩個組成部分，如式(1)所示，一部分為幾何誤差EG，用來描述定位誤差曲線的基本形狀;另外一部分為熱誤差ET，用來描述定位誤差曲線隨溫度的整體變化趨勢。EG和ET分別可由式(2)和式(3)來表達。

式中：δ表示X軸的定位誤差;x表示X軸的坐標(biāo)位置;T表示與X軸有關(guān)的關(guān)鍵溫度測點構(gòu)成的溫度向量;n表示幾何誤差擬合多項式的階次;kT表示與溫度向量T有關(guān)的熱誤差系數(shù)。

對于幾何誤差部分，一個重要的問題是確定擬合多項式的階次。階次太低，擬合精度不高;階次太高，會帶來較大的計算負(fù)擔(dān)，不利于誤差的實時補償，同時也容易形成過擬合現(xiàn)象，影響模型的魯棒性。表1列出了不同階次的多項式對0min時的定位誤差的擬合精度對比，不難看出，多項式階次越高，擬合精度越好，但是由于四次多項式和三次多項式的擬合精度已經(jīng)非常接近，為了簡化誤差模型，這里選取n=3作為X軸定位誤差幾何部分的最終擬合階次。*SSE：誤差平方和;RMSE：均方根誤差

表1 定位誤差幾何部分多項式擬合精度對比

對于熱誤差部分，kT是唯一需要確定的模型參數(shù)，它決定了定位誤差曲線的整體變化趨勢。需要注意的是，這里將0min時測量得到的定位誤差曲線作為基準(zhǔn)曲線(kT=0)，其余時刻定位誤差曲線的熱誤差系數(shù)kT都是相對于基準(zhǔn)曲線而言的。通常來講，環(huán)境溫度對機床的熱變形影響是統(tǒng)一的、均勻的，該部分試驗主要研究的是不同機床構(gòu)件局部熱變形對熱誤差的影響，因此在計算各關(guān)鍵測點的溫度變化時應(yīng)該以當(dāng)前環(huán)境溫度作為基準(zhǔn)，具體定義為：

表2列出了不同時刻定位誤差曲線的熱誤差系數(shù)和關(guān)鍵測點的溫度變化情況。從圖2和表2不難看出：絲杠螺母與前、后端軸承的整體溫度變化趨勢基本相同，而且絲杠螺母與滾珠絲杠通過螺旋運動副直接接觸，兩者之間的溫度變化情況存在較大的關(guān)聯(lián)性，為了簡化模型，可以考慮只用ΔTnut來描述整個滾珠絲杠運動機構(gòu)的溫度變化趨勢。

表2 定位誤差曲線熱誤差系數(shù)和各關(guān)鍵測點溫度變化

圖4 熱誤差系數(shù)隨絲杠螺母溫度變化測量值及擬合曲線

式中：kT表示隨ΔTnut變化的X軸定位誤差曲線的熱誤差系數(shù);表示其初始值表示達到熱平衡狀態(tài)時的穩(wěn)定值;

表示影響X軸定位誤差的溫度常量，該常量通常與滾珠絲杠的材料特性、裝配結(jié)構(gòu)及散熱條件等有關(guān)。

利用最小二乘法可以確定式(5)中的各項模型參數(shù)。通過計算結(jié)果和圖4可知：當(dāng) ΔTnut=τ=4.6℃時，kT可增長到熱變形穩(wěn)定狀態(tài)時的63%，隨著機床的不斷升溫，kT可最終達到0.0549。

2.2 環(huán)境溫度對定位誤差的影響

如上所述，機床內(nèi)部熱源引起的熱變形通常是局部的、時變的和非線性的，而環(huán)境溫度對機床的熱變形影響則是整體的、相對穩(wěn)定的和線性的。為了研究不同的環(huán)境溫度對機床定位誤差的影響，該部分試驗仍以X軸為例進行研究。

圖4顯示了不同時刻定位誤差曲線的熱誤差系數(shù)隨絲杠螺母溫度變化的曲線。從圖中可以看出：在機床升溫的初始階段，熱誤差系數(shù)kT增長速度較快，隨著機床的不斷熱機運動，kT增長速度逐漸放緩，并趨于穩(wěn)定，當(dāng)ΔTnut增長到約12℃時，kT基本維持在0.05左右波動，即達到熱變形平衡狀態(tài)。

基于以上分析，可以發(fā)現(xiàn)kT與ΔTnut的變化情況基本符合“先快后慢再穩(wěn)定”的自然指數(shù)模型增長規(guī)律，因此可由式(5)來描述兩者間的數(shù)學(xué)關(guān)系：

首先在標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度中測量X軸的定位誤差，然后環(huán)境溫度每升高或降低2℃，用激光干涉儀進行一次全行程范圍內(nèi)的定位誤差測量。在18℃ ～26℃的環(huán)境溫度變化范圍內(nèi)，共測得5條定位誤差曲線，如圖5所示。其中，環(huán)境溫度的變化量定義為：

圖5 不同環(huán)境溫度下的X軸定位誤差曲線

表3 定位誤差曲線熱誤差系數(shù)和環(huán)境溫度變化對應(yīng)關(guān)系

從圖5中可以得出以下結(jié)論：

(1)環(huán)境溫度的改變能引起機床定位誤差的顯著變化。如果需要控制或提高機床定位精度，就必須嚴(yán)格控制環(huán)境溫度(如：放置在恒溫室內(nèi))或者對由環(huán)境溫度變化引起的熱誤差進行預(yù)測和補償。在實際加工環(huán)境中，控制環(huán)境溫度通常會帶來較大的開銷，因此對這部分誤差進行補償具有重要意義。

(2)當(dāng)環(huán)境溫度變化時，沿X軸線各點的定位誤差變化趨勢基本一致，只是變化量大小有所不同。

(3)所有不同環(huán)境溫度條件下的定位誤差曲線同樣構(gòu)成“扇形圖譜”，而且環(huán)境溫度的變化量和定位誤差曲線的熱誤差系數(shù)kT基本呈線性關(guān)系。這是因為環(huán)境溫度對于整個機床而言是均勻溫度場，對每個機床構(gòu)件的影響基本相同，所以環(huán)境溫度導(dǎo)致的熱膨脹變形可近似看作線性變化過程。

表3列出了定位誤差曲線熱誤差系數(shù)和環(huán)境溫度變化測量值的對應(yīng)關(guān)系。通過最小二乘法可以確定二者之間如式(7)所示的數(shù)學(xué)擬合模型，擬合曲線如圖6所示。

圖6 熱誤差系數(shù)隨環(huán)境溫度變化測量值及擬合曲線

式中：kT表示隨ΔTamb變化的X軸定位誤差的熱誤差系數(shù);kamb表示擬合模型的一次項系數(shù);pamb表示擬合模型的常數(shù)項。

2.3 基于自然指數(shù)模型的定位誤差建模

通過上述不同溫度條件下的定位誤差測量試驗，掌握了機床定位誤差的變化規(guī)律和影響因素，將式(1)～式(7)進行綜合，可以得出X軸定位誤差的數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)測量得到的定位誤差數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)，采用最小二乘法對上式的所有參數(shù)進行求解，可以得到該機床X軸定位誤差的具體模型。

3 誤差模型對比及實時補償試驗驗證

為了驗證本文提出的基于自然指數(shù)模型的機床定位誤差建模方法的有效性，下面將和傳統(tǒng)的多元回歸分析方法進行模型預(yù)測精度的對比，并在如圖7所示的機床上進行實時誤差補償試驗。

圖7 激光干涉儀測量X軸定位誤差

在多元回歸分析模型中，也將X軸的定位誤差分為兩個部分：幾何誤差EG和熱誤差ET。對于EG，采用X軸坐標(biāo)位置的多項式進行擬合;對于ET，則采用多元線性回歸的方法進行建模。選取環(huán)境溫度變化量ΔTamb、絲杠螺母溫度變化量ΔTnut及前端軸承溫度變化量ΔTb1作為影響熱誤差的主要溫度變量，可以建立如式(9)所示的定位誤差模型：

仍然采用以上測量試驗的數(shù)據(jù)確定式(9)中的各項系數(shù)。為了驗證兩種誤差模型在任何溫度條件下的預(yù)測精度，試驗選擇環(huán)境溫度為23℃，并且經(jīng)過一段時間的熱機運動，X軸絲杠螺母溫度升溫約5℃，在此溫度條件下測量得到如圖8所示的定位誤差曲線，并和兩種模型的誤差預(yù)測曲線進行對比?？梢钥闯觯夯谧匀恢笖?shù)模型的機床定位誤差模型比多元線性回歸模型具有更高的預(yù)測精度。表4所示為兩種模型的預(yù)測殘差數(shù)據(jù)統(tǒng)計，從中也可看出基于自然指數(shù)的定位誤差模型預(yù)測精度更高。

圖8 誤差測量值及兩種誤差模型預(yù)測值對比曲線

表4 誤差模型預(yù)測殘差統(tǒng)計數(shù)據(jù)對比/μm

圖9 補償前后X軸定位誤差曲線對比

本試驗用自行研發(fā)的機床誤差實時補償系統(tǒng)通過數(shù)控系統(tǒng)提供的外部機械原點偏移功能［4］對定位誤差進行實時補償，補償前后的定位誤差曲線如圖9所示。值得注意的是，補償后的X軸定位誤差值和圖8及表4中的自然指數(shù)模型預(yù)測值殘差略有不同，這是因為補償精度不僅取決于誤差模型的預(yù)測精度，還和機床的伺服系統(tǒng)控制參數(shù)、運動部件的慣性、部件間的摩擦系數(shù)等因素密切相關(guān)。盡管如此，通過誤差補償也可將X軸定位精度提高約91%，補償前定位誤差絕對值的最大值為29.9μm，補償后最大值僅為2.5μm。因此誤差實時補償試驗證明：該誤差模型及其補償方案具有較高的應(yīng)用價值。

4 結(jié)束語

本文通過對機床定位誤差進行測量、建模和補償研究，可以得到如下結(jié)論：

(1)機床定位誤差不僅受到機床零部件加工精度、裝配精度等因素的影響，而且受到機床溫度場變化的影響。

(2)基于自然指數(shù)模型的機床定位誤差建模方法可以描述熱誤差和溫度場之間的非線性變化規(guī)律，在從機床冷態(tài)開始到熱平衡的整個過程中均具有較高的預(yù)測精度。該模型可以根據(jù)不同的環(huán)境溫度和絲杠螺母溫度對定位誤差做出預(yù)測，通過實時誤差補償能夠大幅提高機床運動精度。

［1］Mayr，J.，Jedrzejewski，J.，Uhlmann，E.，etc.Thermal issues in machine tools［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology.2012.

［2］Pahk，H..Lee，S.Thermal error measurement and real time compensation system for the CNC machine tools incorporating the spindle thermal error and the feed axis thermal error［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology.2002，20(7)：487 －494.

［3］王維，楊建國，姚曉棟，等.數(shù)控機床幾何誤差與熱誤差綜合建模及其實時補償［J］.機械工程學(xué)報，2012(7)：165 －170，179.

［4］楊建國.數(shù)控機床誤差綜合補償技術(shù)及應(yīng)用［D］.上海：上海交通大學(xué)，1998.

［5］Wu，C.W.，Tang，C.H.，Chang，C.F.，etc.Thermal error compensation method for machine center［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology.2012，59(5)：681 －689.

［6］張琨.CK6430數(shù)控車床幾何與熱誤差實時補償研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2012.

［7］Yang，H..Ni，J.Dynamic neural network modeling for nonlinear，nonstationary machine tool thermally induced error［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture.2005，45(4 －5)：455 －465.

［8］Ramesh，R.，Mannan，M.A..Poo，A.N.Error compensation in machine tools-a review：Part II：thermal errors［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture.2000，40(9)：1257 －1284.

［9］ISO230-3：Test code for machine tools-Part 3：Determination of thermal effects［S］，2007.