金 琦，孫 竹

(南京藝工電工設備有限公司，江蘇南京 211199)

塑料擠出機機筒壁厚設計的線性回歸模型

金 琦，孫 竹

(南京藝工電工設備有限公司，江蘇南京 211199)

基于力學理論和熱平衡原理，建立了塑料擠出機機筒壁厚設計的線性回歸模型，并從理論上論證了模型的合理性。利用一些成熟產(chǎn)品的設計給出了模型的解，且據(jù)此求得的產(chǎn)品設計參數(shù)與經(jīng)驗值高度吻合，明顯改進了文獻提供的參考值，表明模型在實踐中是有效的。

塑料擠出機;機筒壁厚;強度設計;加熱功率

擠出機機筒設計的關鍵是確定它的壁厚。過薄的機筒壁雖然溫升快、質(zhì)量輕，但因熱容量小，故難于取得穩(wěn)定的溫度條件。反之，過厚的機筒壁不僅浪費材料，還使得機體結構笨重，升溫慢，而且還會因熱慣性大，導致溫度調(diào)節(jié)滯后，影響性能。因此，合理的機筒壁厚是值得追求的。塑料擠出機機筒的壁厚取決于多方面的因素。除了滿足足夠的強度要求外，還必須符合塑化所需要的加熱功率配置面積的要求。除此之外，還有許多無法量化的因素影響著壁厚的設計。甚至，壁厚的設計還必須考慮成型工藝條件所帶來的影響。因此，經(jīng)驗在設計中起著重要作用。設計手冊給出了機筒壁厚的推薦值范圍，同時還給出了理論強度校核公式。但是按強度理論計算出的壁厚往往使機筒熱慣性太小，由此得出的參數(shù)沒有實際意義。市場上大多數(shù)擠出機機筒的實際壁厚遠高于理論值，這些產(chǎn)品在具備良好的安全性的同時也滿足了各種性能的要求。由于通過大量實驗尋找最理想的設計參數(shù)是不經(jīng)濟、不現(xiàn)實的，經(jīng)驗對于機筒設計就非常關鍵，因此將既往成功設計的經(jīng)驗量化，使之成為新的設計的參考依據(jù)，具有明顯的實際價值。本文的目的是根據(jù)力學原理和熱學原理，綜合考慮影響機筒壁厚的各種因素，建立數(shù)學模型，給出尋找有意義的壁厚參考值的方法。

1 擠出機機筒最大壓力的確定

無論采用經(jīng)驗統(tǒng)計法還是強度校核法確定機筒壁厚，都必須首先求得機筒內(nèi)的最大壓力值。

1.1 擠出機機筒的結構及工作狀態(tài)下的壓力和溫度

根據(jù)不同功能，擠出機機筒通?？梢詣澐譃槿缦聨讉€部分:

a．加料段。工作時，塑料隨著螺桿的旋轉被向前輸送，并通過機筒內(nèi)壁和螺桿表面的摩擦被壓實。塑料在加料段是以固體狀態(tài)向前輸送的。

b．熔融段。塑料被進一步壓實和塑化，使包圍在塑料內(nèi)的空氣壓回到加料口排出，并改善塑料的熱傳導性能。這一段的螺槽是壓縮型的。物料在該段呈固、液二相共存狀態(tài)。

c．均化段。塑料進一步被塑化和均勻化，并被定壓、定量和定溫地從機頭擠出。

在工作狀態(tài)下，塑料在機筒內(nèi)三段中的溫度、壓力和狀態(tài)是變化的，其變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 擠出機過程溫度和壓力的變化

從圖1可以看出，機筒內(nèi)壓力峰值在均化段末端出現(xiàn)，并延伸到機頭。溫度峰值是從加料段中間開始出現(xiàn)，平坦地延伸到機頭。下面是用流體力學的分析方法，導出的應用于擠出機均化段流率的計算公式:式中:Q表示擠出機生產(chǎn)能力;D指螺桿直徑;n指螺桿轉速;h指螺桿均化段螺槽深度;φ指螺桿的螺旋升角;e指螺桿軸向螺棱寬度;Li指螺桿均化段長度;δ指螺桿與機筒之間徑向間隙;E指螺桿偏心校正系數(shù)(通常取1．2);p指均化段末端壓力;η1指螺槽中熔融物料粘度;η2指螺桿與機筒間隙中物料粘度。

1.2 機筒內(nèi)最大壓力值的確定

在式(1)右端的第一項是正流流率，第二項是壓力流流率，第三項是漏流流率。當擠出機機頭模板被異物堵塞、螺桿被熔融物料包住時，擠出機呈現(xiàn)斷流擠出狀態(tài)。此時，流率Q=0。如果把式(1)中第三項這一微量忽略不計，則可導出機頭的最大壓力理論值的計算公式:由此可以看出，機頭壓力 P 與 η1，Li，D，n成正比，與h2，tanφ成反比。此外，機頭結構形式對機頭壓力有明顯的影響。由圖1的壓力曲線可以看出，均化段末端的壓力與機頭壓力相等。在公式(2)右端，除η1以外，其余各參數(shù)都由螺桿設計給出，因此只要測出η1的值，就可求得機頭的最大壓力(也即機筒最大壓力)。

從圖1還可以看出，機筒內(nèi)各點物料沿螺桿軸線方向的壓力值是不同的，其峰值出現(xiàn)在均化段末端與機頭的連接處。對于同一種機頭結構，在各種因素中，螺桿和機筒的結構對機頭壓力的影響最大，因此最大機頭壓力值即為機筒的設計壓力值。用機頭測壓裝置確定機筒內(nèi)的最大壓力值雖然很直觀，但它畢竟不同于擠出機正常工作壓力的測定，其測量是相當困難的。即使是同一臺擠出機，在同一點、同一品種的物料，在不同時間測出來的數(shù)值也不會完全一致，會有波動。理論計算結果只能提供最大機頭壓力值的參考值，實際經(jīng)驗對最大機頭壓力值的確定也起著重要作用。

2 擠出機機筒的彈性應力學分析

2.1 機筒的受力分析

擠出機機筒屬于兩端開口的厚壁圓筒，但又不同于普通的厚壁圓筒，因為擠出機機筒還要考慮適應于塑化加熱功率的配置要求。擠出機在擠出過程中，機筒內(nèi)壁有高壓熔體，使筒壁上任一點都處于應力狀態(tài)，即周向應力σθ、徑向應力σr和軸向應力σz，如圖2所示。

圖2 機筒壁厚上的應力分布

根據(jù)文獻［1］，它們可以用下述公式計算:式中:pi，po分別指內(nèi)壓載荷及外壓載荷;Ri，Ro分別指圓筒內(nèi)半徑及外半徑;r表示圓筒壁內(nèi)任一點半徑。

對于擠出機機筒而言，僅有內(nèi)壓作用，即po=0。若記，則前述公式可以簡化如下:

由此可以看出:(1)當r=Ri時，σθ為最大，最大值為(2)當r=Ri時，σr為最大，最大值為 －p;當r=Ro時，σr為最小，最小值為0。(3) 當 r=Ri時，σz=

以上分析表明，周向應力和軸向應力均為正值，是拉應力，徑向應力為負值，是壓應力。數(shù)值規(guī)律如圖3所示。

圖3 機筒受力斷面圖

由上述公式還可以知道:

a．機筒內(nèi)壁周向應力σθ為所有應力中的最大值，其值為，內(nèi)外壁所受壓力之差為p;徑向應力內(nèi)壁為σr=－p，機筒外壁處σr=0。

應力沿壁厚的不均勻程度與徑比K的值有關。以σθ為例，機筒內(nèi)壁與外壁的，因此K的值愈大，應力不均勻程度也愈嚴重，當K的值接近1時，其比值接近1，此時機筒的周應力沿壁厚接近于均布。

以上分析還表明，機筒內(nèi)壁徑向應力最大并呈壓應力。軸向應力σz沿機筒全長方向不變，而且其絕對值通常要比周向壓力σθ小得多，所以機筒的強度主要是由σθ和σr決定的。

2.2 機筒的失效及強度計算

機筒設計應根據(jù)不同材料選用不同強度理論計算壁厚或進行校核。目前機筒多數(shù)采用彈性材料制造，因此可按第三或第四理論計算。通常采用的是第四理論及最大變形能量理論。

根據(jù)最大變形能量理論［2］，機筒強度條件為:

同樣，將 σθ，σr，σz代入式(1) 得到機筒強度條件:。令機筒壁厚為δ，機筒內(nèi)徑為 D，則 D =D外－2δ，因此 δ=

3 擠出機機筒的熱平衡分析

擠出機機筒壁厚設計不僅需要考慮機筒的疲勞強度性能，而且必須符合塑化所需的加熱功率配置面積的要求。機筒的長度是已經(jīng)確定的參數(shù)，外徑是可變的。兩者是確定機筒壁厚的主要因素，其他因素還包括機筒結構、擠出工藝等。

計算機筒加熱功率的依據(jù)是塑化原理和塑化平衡原理。擠出過程中存在熱平衡的問題。加熱器供給的熱能量和剪切摩擦能量是相互聯(lián)系的，只要改變一種能量的供給速率，對另一種能量的需求就會發(fā)生變化。這是因為物料的溫度升高時黏度就降低，它對螺桿的阻力就減小，剪切摩擦熱也變小，即消耗電動機所供給螺桿的機械功就小;相反，若剪切摩擦愈強烈，即螺桿所供給物料的機械能量愈大，則物料從加熱器所獲取的能量就愈小。它們的相互關系如圖4所示。

圖4 擠出機熱能供給情況

從圖4中可看到，當螺桿達到一定轉速時，物料所需要的熱能將完全從螺桿轉動的機械能獲得，而不需要外部加熱，這就是所謂“自然擠出”。圖中第二組曲線與橫坐標的交點A和B就是自然點。加熱器供給的熱量和因摩擦剪切而產(chǎn)生的熱量部分地用于使塑料產(chǎn)生物態(tài)的變化，另一部分是損失掉的。損失的這部分包括機筒機頭和周圍介質(zhì)的熱交換、冷卻介質(zhì)帶走的熱量以及加熱元件本身的熱量損失和制品帶走的熱量。有如下熱平衡方程式:

式中:H外熱是加熱系統(tǒng)所供給的能量;H內(nèi)熱表示傳動系統(tǒng)的機械能通過螺桿對塑料的擠壓、剪切和摩擦等而轉換成的能量;H塑化表示塑料在擠出過程中所得到的熱能;H損失表示塑料在擠出過程中的熱損失。

擠出機的加熱功率雖然可以用式(2)表示，但因為影響熱平衡的因素很多，所以目前塑料擠出機機筒加熱功率為

式中:H是機筒加熱功率，kW;L指機筒加熱部分的長度，cm;A表示單位面積加熱功率，W/cm2。A值根據(jù)經(jīng)驗決定，一般取A≈4W/cm2。如果以D外表示機筒外徑(cm)，η1表示加熱器加熱效率，η表示加熱器有效加熱面積效率，則有 D外=

4 計算壁厚的線性回歸模型

機筒失效強度及機筒塑化所需的加熱功率配置面積是機筒壁厚設計最重要的理論根據(jù)。此外，諸如機頭的結構、材料的性能、工藝方法等不易量化的因素也影響到機筒的厚度。設計教科書均會提供各種型號擠出機機筒壁厚參數(shù)的推薦值。出于安全考慮，多數(shù)推薦值過大，以此生產(chǎn)的機筒壁厚太厚，既費材料，加熱時間且長，很不經(jīng)濟。因此，這些推薦值均有較大的修正余地。

企業(yè)通過強度試驗確定機筒壁厚是不現(xiàn)實的，多數(shù)機筒壁厚的設計參數(shù)都是憑經(jīng)驗確定的，因而設計者的個人判斷就極其重要，常常不免帶有明顯的主觀色彩。

為了盡可能減少每次設計中主觀因素的影響，根據(jù)最大變形能量理論、熱平衡原理，下面建立確定壁厚參數(shù)的線性回歸模型。

用δ1表示根據(jù)最大變形能量理論得出的機筒壁厚度，用δ2表示根據(jù)機筒塑化所需的加熱功率配置面積得出的機筒壁厚度。假設實際機筒壁厚是δ1和 δ2的線性函數(shù):

其中:a，b≥0。

這樣的假設是合理的。由于δ1和δ2是影響機筒壁厚的最重要的參數(shù)，可以認為，機筒壁厚是關于δ1和δ2的光滑函數(shù)。從數(shù)學分析的角度來講，足夠光滑的函數(shù)一定可以展開成自變量的泰勒級數(shù)。如果將高階項舍掉，就可以將之近似地看作是關于自變量的線性函數(shù)。其中a，b≥0的要求表示理論值與實際設計參數(shù)的正相關性，c也具有明確的物理含義，即表示其他因素對于壁厚參數(shù)的影響。因此，建立壁厚參數(shù)的數(shù)學模型如下:

其中:a，b≥0。

這一模型以機筒壁厚設計的力學原理和熱平衡原理為依據(jù)，將專家以及既往成功設計的經(jīng)驗量化，為以后擠出機機筒壁厚的設計提供有意義的參照。實踐表明，根據(jù)這一模型獲得的機筒壁厚比教課書上提供的推薦值更經(jīng)濟、更合理，更具參考意義。

以SJ－150×25單螺桿擠出機為例來說明如何校核機筒壁厚。先利用數(shù)學模型分析計算，并考慮結構、材料、工藝等各方面的因素進行修正，最終確定機筒壁厚參數(shù)。實踐表明，這樣的的設計完全符合實際要求。表1中的數(shù)據(jù)是已有機型相關參數(shù)。多年的生產(chǎn)經(jīng)驗及實際使用效果表明，這些機型機筒壁厚的設計完全符合生產(chǎn)和使用的要求，從來沒有因為壁厚的變薄而發(fā)生任何安全問題和熱容量不夠等現(xiàn)象。因此可以認為，這些設計都是成功的，相關參數(shù)可以作為未來設計參數(shù)的參考依據(jù)。

表1 擠出機機筒壁厚對比表 cm

從表中數(shù)據(jù)可以看出，表中所列各種不同機型壁厚均符合力學原理和熱平衡原理的要求，但實際參數(shù)往往比推薦值小很多。

根據(jù)最小二乘法的原理及上述數(shù)據(jù)以及LINGO 軟件，求得模型參數(shù) a=0，b=1．209 7，c=－0．420 1。計算結果顯示，均方差為0.044 1。因此，這一模型是可以接受的。

SJ－150×25單螺桿擠出機的機筒加熱功率H=88.2kW，機筒加熱長度L=279cm，許用應力［σ］=2.77×104N，機頭最高壓力 p=4.41×103N，機筒內(nèi)徑D=15cm，加熱器加熱效率η1=0.7，加熱器有效加熱面積效率η=0.95。經(jīng)計算得δ1=1.30cm，δ2=3.28cm。由模型計算得δ=3.547 71cm。用模型計算所得的機筒壁厚完全符合強度理論和熱平衡理論的要求，并且與經(jīng)驗值高度吻合。綜合各種因素，SJ－150×25單螺桿擠出機的機筒的實際壁厚確定為3.05cm，比教材推薦值4.50cm小了1cm。實際使用結果表明，這款機型機筒壁厚完全符合生產(chǎn)的安全要求。

5 結束語

上述例子中參數(shù)a=0的結果完全符合直觀的預想，因為在大部分情形下，機筒壁厚的設計中，熱平衡原理的要求是決定性的，凡符合熱平衡原理要求的壁厚一定符合機筒失效強度的要求，所以擠出機機筒加熱功率設計必須建立在塑料塑化所需熱能的基礎上，而不是根據(jù)機械強度設計的機筒的表面積去考慮設計加熱功率。在這一點上，數(shù)學分析的結果與經(jīng)驗判斷是一致的。

由于材料疲勞強度的復雜性，以及新工藝、新材料、新技術的應用使得難以給出一個普遍適用的設計準則，對目前的設計準則也很難作出絕對正確的檢驗。如果單憑經(jīng)驗或類比的辦法確定相關參數(shù)，則難免會因個人的主觀臆斷而產(chǎn)生設計上的偏差。上述模型提供了將經(jīng)驗量化的方法，從而可以有效減少設計的盲目性。實踐證明，用這種方法最終確定機筒壁厚是可行的。量化的模型則可以提供相對來說既經(jīng)濟且安全的參考。從這個意義上講，不論模型是否最優(yōu)，這一想法是有意義的。

［1］李志義，丁信偉.厚壁圓筒形構件的疲勞性能［J］.化工裝備技術，1996(4):41－46.

［2］北京化工學院，華南工學院.塑料機械設計［M］.北京:中國輕工業(yè)出版社，1994.

The Linear Regression Models for Barrel Wall Thickness Design of Plastic Extruder

JIN Qi，SUN Zhu
(Nanjing Yigong Electrical Equipment Co.，Ltd.，Jiangsu Nanjing，211199，China)

Based on the mechanical theory and the principal of thermal equilibrium，it establishes a mathematical model for the barrel wall thickness design of the plastic extruder，proves the rationality of the model mathematically.According to parameters in the designs of some successful products，it obtains the solution of the mode，the design parameters includes the empirical value.The result improves considerably the reference value provided by the literature.This illustrates the validity of the model in practice.

Plastic Extruder;Barrel Wall Thickness;Strength Design;Heating Power

TH12

B

2095－509X(2013)11－0097－05

10.3969/j.issn.2095－509X.2013.11.025

2013－09－18

金琦(1963—)，女，江蘇南京人，南京藝工電工設備有限公司工程師，主要從事電工機械設計工作。