何漢林，孟愛華*，祝甲明，宋紅曉

（1.杭州電子科技大學 機械工程學院，浙江 杭州 310018；2.杭州浙大精益機電技術工程有限公司，浙江 杭州 310000）

0 引 言

由于GMM具有輸出力大、機電耦合系數(shù)大、能量密度高、響應速度快和應用頻率寬等優(yōu)點，使得在精密驅(qū)動技術中，GMM的應用非常廣泛。但是，由于磁性材料的磁滯非線性，使得由GMM制成的超磁致伸縮執(zhí)行器（GMA）的輸入和輸出存在著一定的滯后，給GMA的精確控制帶來了一定困難。因此，怎樣去擬合磁滯環(huán)已成為各國學者研究的熱點。目前，國際上通用的磁滯模型主要有3種：一種是基于數(shù)學的唯像模型，典型代表為Preisach模型；一種是基于材料內(nèi)部機理的物理模型，典型代表為J-A模型；還有一種是基于自由能和統(tǒng)計學分布理論的自由能磁滯模型。其中，運用preisach模型時，需要測出大量的一階折返曲線，但是折返曲線的測量非常繁瑣，對實驗器材的精度要求也比較高，工作量龐大；運用J-A模型來反映GMM磁滯特性時，需要辨識和調(diào)整大量的物理參數(shù)；自由能磁滯模型兼顧了Preisach模型和J-A模型的部分優(yōu)點，但是該模型的運算量很大，而且沒有考慮渦流損失的影響[1]。除此之外，最近幾年新興起來的還有神經(jīng)網(wǎng)絡模型。神經(jīng)網(wǎng)絡模型中最常用的為誤差逆向傳播的前饋BP網(wǎng)絡，理論證明，BP網(wǎng)絡可以以任何給定的精度去擬合強非線性的連續(xù)函數(shù)或者映射關系，不過BP算法的誤差曲面上存在高頻分量，而且存在局部極小問題[2-6]。而徑向基網(wǎng)絡無論是在逼近能力、分類能力還是在學習速度等方面均優(yōu)于BP網(wǎng)絡。李貴存等[7]用混合徑向基函數(shù)網(wǎng)絡去擬合磁滯曲線，有效克服了BP神經(jīng)網(wǎng)絡和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡在擬合磁滯回線各方面的缺點，效果比較理想。不過該方法程序復雜，而且徑向基函數(shù)的擴展系數(shù)采用默認值，并不是最佳值。

在此，筆者提出一種基于徑向基網(wǎng)絡的變化形式—廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡（GRNN）去擬合磁滯非線性，并對傳統(tǒng)的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡進行優(yōu)化，利用交叉驗證方法訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，使得訓練后的樣本值能夠更好地預測輸出；同時，采用循環(huán)算法找出最佳的徑向基函數(shù)的擴展系數(shù)，以構建最佳的GRNN網(wǎng)絡，并與BP網(wǎng)絡擬合進行對比分析。

1 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡非線性逼近

1.1 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的理論基礎

GRNN的理論基礎主要是非線性回歸，計算非獨立輸出變量Y相對于獨立的輸入變量X的非線性回歸，主要是得出概率最大的y。設f(x,y)為隨機變量x和隨機變量y的聯(lián)合概率密度函數(shù)，X為x的觀測值，則條件均值為[8]：

式中：X—輸入，Y—輸出，—Y的預測輸出。

式中：n—樣本容量；Xi，Yi—隨機變量x和y的樣本觀測值；p—隨機變量x的維數(shù)；σ—光滑因子。

如果用估算密度函數(shù)去代替f(X,y)，代入式（2）中并交換積分次序，則上式變?yōu)椋?/p>

樣本Xi與X之間Euclid距離平方的指數(shù)即為相應的觀測值Yi的權重因子，估計值Y∧(X)為所有的Yi的加權平均。當光滑因子σ比較大的時候，估計值Y∧(X)近似為所有樣本值的均值；當σ趨向于0時，Y∧(X)近似為訓練樣本，這時，如果被預測點包含在訓練樣本中，則預測值會和樣本中的值非常接近，如果被預測點不包含在訓練樣本中，則預測誤差可能會比較大。只有當σ取值適中時，所有的訓練樣本才都被考慮進去。

當用GRNN網(wǎng)絡擬合磁場強度和GMM應變曲線時，以磁場強度作為自變量，則GMM的應變ε關于磁場強度H的預測輸出為：

利用該公式，根據(jù)輸入磁場強度樣本H，便能得到GMM應變ε的預期輸出。

1.2 基于GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的磁滯曲線擬合

GRNN為3層神經(jīng)網(wǎng)絡，第2層為徑向基隱層，輸出層為一個特殊的線形層。其結構如圖1所示。

圖1 GRNN網(wǎng)絡結構

其中：

式中：P—輸入，W—權重，b1—閾值，R—輸入向量元素的數(shù)目，Q—輸入目標樣本數(shù)目。

在GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡中，閾值b1=0.832 6/SPREAD，第1層神經(jīng)元的網(wǎng)絡輸入即為加權輸入與相應閾值的乘積，然后通過式（5）計算就可以得到第1層神經(jīng)元的網(wǎng)絡輸出。從上面計算閾值的公式中，可以看出徑向基函數(shù)的擴展系數(shù)SPREAD值對網(wǎng)絡的閾值有很大影響，而閾值對網(wǎng)絡的性能又有很大影響。通常情況下GRNN網(wǎng)絡中SPREAD值的選用原則為使得第1層輸入向量與神經(jīng)元權值向量之間的距離為0.5，該距離可以通過Mtalab中dist函數(shù)計算得到，默認值為1.0。不過1.0只是一個經(jīng)驗值，在該SPREAD值下，網(wǎng)絡的預測誤差未必最小。為了提高網(wǎng)絡的預測精度，設置合理的SPREAD值是關鍵。同時，由于所取的訓練數(shù)據(jù)較少，為了擴大樣本容量，筆者采用交叉驗證方法來訓練GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡，并用循環(huán)方法找出最佳的SPREAD值和輸入、輸出，在該條件下構建最佳GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡。為了便于觀察神經(jīng)網(wǎng)絡的預測效果，本研究將網(wǎng)絡預測的曲線與J-A模型仿真曲線進行了對比。對比所用的J-A模型曲線來自于Calkins和Smith所建[9-11]，該模型的工作條件為：偏置磁場為0 kA/m，頻率為1 Hz，負載等效剛度系數(shù)Kl為5.67×105N/m。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡只能逼近任意單值映射函數(shù)，而磁滯曲線是非線性多值映射關系，本研究中將磁滯曲線分為外加磁場強度增加階段和磁場強度減小階段兩部分，分別用神經(jīng)網(wǎng)絡去逼近，再把兩部分合在一起。為了便于分析BP網(wǎng)絡和GRNN網(wǎng)絡的擬合效果，筆者分別用BP網(wǎng)絡和GRNN網(wǎng)絡去擬合磁滯曲線。

實驗方案設計如下：從Calkins實驗曲線上磁場強度增加的那一部分隨機的取得47組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡的訓練數(shù)據(jù)，隨機的取得46組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡的預測數(shù)據(jù)。從實驗曲線上磁場強度減小的那一部分隨機的取得47組數(shù)據(jù)作為訓練數(shù)據(jù)，再隨機地取47組數(shù)據(jù)作為預測數(shù)據(jù)。采用Matlab中crossvalind函數(shù)來交叉驗證訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，SPREAD最佳值從0.1～2之間循環(huán)求解，可得最佳SPREAD值為0.1。

程序工作流程圖如圖2所示。

圖2 程序工作流程圖

在此擴展系數(shù)下的網(wǎng)絡預測如圖3～圖6所示。

圖3 磁場強度增加階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出

圖4 磁場強度增加階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差

圖5 磁場強度減小階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出

圖6 磁場強度減小階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差

從圖3～6中可以看出，相對于J-A模型理論曲線來說，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出曲線和實驗的實際輸出曲線還是比較接近的，磁場強度增加階段的網(wǎng)絡預測誤差最大為-1.38×10-5，下降階段的網(wǎng)絡預測誤差最大為-2.39×10-5，這個精度還是比較高的，在實際工程應用中，可以將GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出用作GMM的期望輸出。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡非線性逼近

2.1 BP網(wǎng)絡算法理論基礎

假設一個含有隱含層的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡，輸入層節(jié)點為xi，隱層節(jié)點為yj，輸出節(jié)點為zl，θ為閾值函數(shù)，f為輸入和輸出之間的傳遞函數(shù)，輸入節(jié)點與隱層節(jié)點間的網(wǎng)絡權值為wj i，隱層節(jié)點與輸出節(jié)點間的網(wǎng)絡權值為vl j，輸出節(jié)點的期望值為tl，則模型的計算公式為：

其中：

輸出節(jié)點的輸出為：

其中：

輸出節(jié)點的誤差為：

假設輸入為磁場強度H，輸出為GMM應變ε，則式（7）可變?yōu)椋?/p>

其中：

式（11）變?yōu)椋?/p>

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡磁滯曲線擬合

在該部分，筆者同樣將磁滯曲線分為磁場強度增加階段和磁場強度減小階段兩部分，網(wǎng)絡所用訓練數(shù)據(jù)、測試數(shù)據(jù)與1.2節(jié)相同，網(wǎng)絡的隱含層節(jié)點個數(shù)為5，輸出層節(jié)點個數(shù)為1，網(wǎng)絡的輸出如圖7～圖10所示。

圖7 磁場強度增加階段BP網(wǎng)絡預測輸出

圖8 磁場強度增加階段BP網(wǎng)絡預測誤差

圖9 磁場強度減小階段BP網(wǎng)絡預測輸出

圖10 磁場強度減小階段BP網(wǎng)絡預測誤差

從圖7～10中可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出和實驗實際輸出相比，還是存在一定誤差的，磁場強度增加階段的最大網(wǎng)絡預測誤差為-7.18×10-5，磁場強度減小階段網(wǎng)絡的最大預測誤差為-5.83×10-5，預測精度比GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡略差。不過和J-A模型仿真曲線相比，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出還是更接近于實驗曲線，因此，在精度要求不是非常高的場合，可以用BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出來代替GMM的期望輸出。

3 GRNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡的對比分析

為了便于觀察最佳擴展系數(shù)下的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡和BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測效果，本研究對GRNN和BP網(wǎng)絡進行預測對比分析，結果如圖11所示。

圖11 GRNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測對比分析

從圖11中可以看出，總體上來講GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡和BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測效果還是令人滿意的，和J-A模型理論曲線相比，兩種網(wǎng)絡的預測都更接近于試驗曲線。不過在磁場強度比較大的部分，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測還存在較大誤差。

為了更好地區(qū)別BP神經(jīng)網(wǎng)絡和優(yōu)化后的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡間的擬合能力，這里再給出另一張Calkins試驗曲線的擬合圖，如圖12、圖13所示。

從圖12、圖13中可以看出，優(yōu)化后的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的預測能力明顯好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡。

圖12 BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出

圖13 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出

4 結束語

本研究用優(yōu)化的廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡GRNN和前饋神經(jīng)網(wǎng)絡BP分別對GMM的磁滯曲線進行了非線性擬合，并對兩種擬合方法進行了對比，從對比中可以看出，兩種網(wǎng)絡的預測都取得了令人滿意的效果。另外，采用循環(huán)算法求解SPREAD值的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡精度要略高些，不管是在加磁階段，還是在退磁階段，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的預測誤差都要低于BP神經(jīng)網(wǎng)絡，該研究可以為GMM的廣泛應用提供很好的指導。

不過，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡的光滑性能（內(nèi)退和外插能力）略差，因此，筆者將在未來的研究中，繼續(xù)探索怎樣更進一步優(yōu)化和改進GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡。

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