蔣業(yè)文，于昕梅

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，廣東佛山 528000)

由于具有數(shù)據(jù)的稀疏性表示和高質(zhì)量信號的恢復(fù)性能，壓縮感知 (CS)理論目前成為圖像采樣和圖像重構(gòu)實(shí)現(xiàn)的研究熱點(diǎn)［1－5］?，F(xiàn)實(shí)自然圖像在某些變換域下幾乎總是可壓縮的，因此，結(jié)合圖像統(tǒng)計(jì)或結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識，CS算法如其他信號處理一樣能夠直接應(yīng)用于圖像數(shù)據(jù)處理，如圖像的采樣和重構(gòu)都可在離散DWT域通過利用小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型來實(shí)現(xiàn)［6－7］。

對于圖像數(shù)據(jù)的多維信號處理，CS技術(shù)應(yīng)用的最大挑戰(zhàn)是計(jì)算的復(fù)雜性問題。目前，解決此問題的主要方法是分塊CS采樣技術(shù)，而在重構(gòu)實(shí)現(xiàn)時利用了分塊CS的先驗(yàn)知識和平滑投影重構(gòu)(BCS-SPL)技術(shù)［8－9］。相對于圖像特征的CS全采樣技術(shù)，這種方法確實(shí)提高了計(jì)算開銷，解決了計(jì)算實(shí)時性問題。但是，一定程度上，BCS-SPL技術(shù)降低了重構(gòu)的圖像質(zhì)量。

為了兼顧圖像的重構(gòu)質(zhì)量和CS的計(jì)算開銷，借鑒DWT域的BCS-SPL實(shí)現(xiàn)技術(shù)，本文提出一種新的多尺度分塊CS實(shí)現(xiàn)技術(shù)。與文獻(xiàn) ［8］多尺度技術(shù)以及文獻(xiàn) ［10］通用的全變量TV-CS技術(shù)比較，本文的實(shí)現(xiàn)方法不但明顯地提高了重構(gòu)的圖像質(zhì)量，而且極大地節(jié)約了運(yùn)行時間。

1 分塊CS采樣與BCS-SPL技術(shù)

CS理論說明，假設(shè)信號x∈RN為從M個采樣信號中獲得的長度為N的信號，且M＜＜N。那么，我們可以從 (1)式中恢復(fù)信號x:

其中，y的長度為M，而A為M×N測量矩陣 (也稱為觀測矩陣)，且具有子采樣率S=M/N。如果x在某個變換矩陣Ψ(如DCT，DWT等)下是稀疏的，即有

這里，α為稀疏系數(shù)，‖α‖0表示0－范數(shù)，即稀疏系數(shù)非0的個數(shù)。這時，(1)式變?yōu)?/p>

可以證明［11－12］，當(dāng)測量維數(shù)滿足K＜M＜N時，信號x可以通過解決0－范數(shù)或1－范數(shù)下的優(yōu)化問題從M=O(KlogN)個測量數(shù)據(jù)中高概率重構(gòu)x。

對于一維信號測量矩陣A可采用高斯隨機(jī)矩陣或伯努利二值隨機(jī)矩陣等生成。但是，對于二維圖像信號，N的長度非常大，如128×128的圖像N的長度為104等級。因此，A的計(jì)算量很大且難以存儲。這樣，CS在2D圖像中應(yīng)用受到較大限制。為此，文獻(xiàn) ［13］提出一個分塊 CS技術(shù)(Block-based CS，BCS)。在BCS中，一個圖像被分成B×B塊，并使用一個近似大小的測量矩陣進(jìn)行采樣。假設(shè)xi表示通過Z行掃描輸入的第i個圖像塊的向量表示，那么有

其中，Ф為MB×B2大小的測量矩陣。因此，整個圖像的采樣子率為S=MB/B2。這時，(1)式中整個圖像的測量矩陣A具有對角型結(jié)構(gòu)性矩陣A=diag(Φ)，其形式為

這里分塊的大小B根據(jù)圖像重構(gòu)的速率和重構(gòu)的質(zhì)量要求綜合決定，按照經(jīng)驗(yàn)，一般地取B=16，32，64。同時，由于分塊之后測量矩陣Ф的維數(shù)相對降低，因此，各個塊的初始值xi0通過下式可以得到

在［5］中，提出的BCS算法中，圖像的采樣通過分塊基的隨機(jī)矩陣實(shí)現(xiàn)，而圖像的重構(gòu)結(jié)合平滑濾波器由投影Landweber(PL)算法實(shí)現(xiàn)。因此，它的整個實(shí)現(xiàn)技術(shù)稱為BCS-SPL。

BCS-SPL能夠?qū)崿F(xiàn)圖像的快速重構(gòu)，但重構(gòu)的圖像質(zhì)量取決于分塊測量矩陣Ф的具體實(shí)現(xiàn)形式。為此，本文基于BCS特性提出一種新的BCS-SPL技術(shù)，用以改進(jìn)圖像的重構(gòu)質(zhì)量，同時保持圖像重構(gòu)操作的實(shí)時性。

2 基于DWT的多尺度BCS-SPL實(shí)現(xiàn)技術(shù)

2.1 DWT多尺度BCS采樣技術(shù)

在DWT多尺度BCS-SPL算法研究中，我們把測量矩陣A被分成兩個部分:一個是DWT多尺度變換矩陣Ω，另一個是多尺度分塊測量矩陣Φ/，即A=Φ/Ω。因此，有

假設(shè)Ω為L級DWT分解。那么，在每一級，Φ/組成L個不同的分塊采樣實(shí)現(xiàn)矩陣。這時，圖像x的DWT變換形式為Ωx。則，在l級的子帶被分成Bl×Bl塊，并通過適當(dāng)大小的矩陣Φl進(jìn)行采樣(其中l(wèi)=L為最高級分辨率)。

假設(shè)是第l級子帶s上的第j塊圖像的向量表示，且滿足s∈{H，V，D}，1≤l≤L(H表示水平方向子帶，V為垂直方向子帶，D為對角方向子帶)。那么，CS的觀測值為

由于不同級的小波分解對圖像重構(gòu)有不同的重要性，因此，本文在每一個l級都會調(diào)整采樣過程以產(chǎn)生不同的采樣子率Sl。其中，設(shè)置DWT基帶子率為全采樣子率，S0=1。

設(shè)l級的子率Sl為

這里，Wl為l級的子率加權(quán)系數(shù)。則，整個圖像的采樣子率為

可見，當(dāng)已知圖像的目標(biāo)采樣率S和加權(quán)系數(shù)Wl后，由 (10)式很容易求出S/，由此再通過 (9)式得到l級的子率Sl。但是，這種處理會產(chǎn)生一個或多個Sl＞1的情況。所以，我們必須要對此進(jìn)行改進(jìn)并迫使所有l(wèi)級情況下Sl≤1。由 (9)和(10)式求得S/和S1后，我們檢查是否S1＞1。如果S1＞1成立，設(shè)置S1=1，代入 (10)式，可以得到

求出S/，再次通過 (9)式重新確定l=2，…，L情況下的子率Sl。重復(fù)此過程，直到所有l(wèi)級情況下Sl≤1。

特別地，經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，子率加權(quán)系數(shù)Wl通過下式確定:

表1說明了在各種不同的目標(biāo)子率下，L=3級DWT變換實(shí)現(xiàn)的各級子率統(tǒng)計(jì)。

表1 L=3級DWT變換實(shí)現(xiàn)的子率統(tǒng)計(jì)Table 1 The subrate statistics of three level DWT

2.2 多尺度BCS圖像重構(gòu)算法

在圖像DWT稀疏變換域內(nèi)，結(jié)合圖像邊緣的3×3維納濾波和稀疏提升閾值處理，表2說明了本文多尺度BCS圖像重構(gòu)實(shí)現(xiàn)算法的流程。其中，維納濾波在空間域?qū)崿F(xiàn)，而平滑和閾值操作在變換域進(jìn)行，Landweber實(shí)現(xiàn)步驟形式為x←x+ΦT(y－Φx)。實(shí)現(xiàn)時，在DWT分解的每一級中的每個塊都使用了適當(dāng)大小的Φl采樣矩陣和Landweber迭代步驟。

表2 多尺度BCS 2D圖像重構(gòu)算法Table 2 The 2D image reconstruction algorithm based multiscale BCS

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對512×512的幾幅灰度圖像進(jìn)行基于DWT的多尺度BCS采樣并且重構(gòu)，同時與文獻(xiàn) ［8］提出的BCS-SPL算法、文獻(xiàn) ［10］提出的TV算法以及文獻(xiàn) ［9］描述的多尺度GPSR算法進(jìn)行比較。其中，本文算法和 BCS-SPL算法均使用雙樹DWT(DDWT)作為稀疏基Ψ，采樣時使用9/7雙正交3級DWT作為多尺度變換矩陣Ω。Ω進(jìn)行l(wèi)級分解時，大小為Bl×Bl圖像塊采樣使用文獻(xiàn) ［11］提出的隨機(jī)DCT SRM觀測矩陣進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。而TV算法使用文獻(xiàn) ［10］的擾亂塊Hadamard SRM作為觀測矩陣，多尺度GPSR算法使用Gaussian尺度混合模型進(jìn)行采樣。其他實(shí)驗(yàn)條件相同。當(dāng)l=1，2，3時，塊的大小分別為Bl=16，32，64，每一級的采樣子率都使用表1的計(jì)算結(jié)果。圖1說明了幾種算法重構(gòu)Lena圖像的部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由圖可見，當(dāng)采樣子率S=0.1時，本算法提出的小波域分塊采樣和多尺度重構(gòu)的圖像質(zhì)量優(yōu)于BCS-SPL算法約3 dB。同時，本算法也優(yōu)于TV算法和多尺度GPSR算法約1－2 dB。表3說明了幾種算法對Lena圖像、Barbara圖像以及Pepper圖像重構(gòu)質(zhì)量(以PSNR為衡量標(biāo)準(zhǔn))的對比結(jié)果。某些情況下，當(dāng)采樣子率較高時，對于重構(gòu)的Barbara圖像，TV算法性能優(yōu)于其它算法。但是，TV算法的實(shí)時性能最差。

4 結(jié)論

在DWT域內(nèi)，利用分塊CS采樣技術(shù)，本文提出了一種圖像多尺度分塊壓縮感知采樣與重構(gòu)圖像算法。相比BCS-SPL算法，由于本文的算法在DWT每級分解的每個子帶上都使用多尺度重構(gòu)Landweber技術(shù)并結(jié)合了維納濾波技術(shù)，使重構(gòu)的圖像質(zhì)量大約提高了1～3 dB。同時，本文的算法降低了實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性，并具有較高的實(shí)時性能。相對于常用的DWT圖像處理算法，由于分塊CS圖像處理算法在每個子帶上利用了DWT的多分辨率和多尺度特性，所以，其觀測結(jié)果能充分表示圖像的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。因此，本文提出的算法重構(gòu)的圖像質(zhì)量也更好，且需要的數(shù)據(jù)量更少。但它比常用的DWT圖像處理算法復(fù)雜性要高，且實(shí)時性較差。這也是提高圖像重構(gòu)質(zhì)量帶來的必然結(jié)果。未來，我們將進(jìn)一步研究該算法對圖像特征采樣的稀疏性和實(shí)現(xiàn)的有效性。

圖1 CS圖像重構(gòu)算法的實(shí)現(xiàn)比較 (S=0.1)Fig.1 The performances comparison based CS image reconstruction algorithm

表3 幾種算法重構(gòu)圖像的PSNR(dB)對比結(jié)果Table 3 Comparison Results of PSNR(in dB)for several image reconstruction algorithm

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