岳榮剛

（中國空間技術(shù)研究院 錢學森空間技術(shù)實驗室，北京 100094）

王少萍

（北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191）

爬壁機器人可以在地面、墻壁和天花板上運動，完成建筑物的清洗、噴漆、檢測等工作.紐約市立大學研制了數(shù)代爬壁機器人［1－2］，本文研究的機器人名為City-Climber.多數(shù)地面機器人在2D環(huán)境中運動，無人機在3D環(huán)境中運動，而爬壁機器人在一種受限的3D環(huán)境中運動，其運動被限制在三維空間中的平面上，如地面、墻壁和天花板等.這使得爬壁機器人的路徑規(guī)劃變得困難，要求機器人不僅能從一個平面運動到另一個平面，且要避免與其他機器人或障礙相撞.

混合整數(shù)線性規(guī)劃（MILP，Mixed Integer Linear Programming）對規(guī)劃和控制問題是一種強大的工具，它將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，并用AMPL和CPLEX等軟件求解.文獻［3］研究了爬壁機器人在三維工作環(huán)境中的全局路徑規(guī)劃，但未考慮避障因素；文獻［4］針對TSP（Traveling Salesman Problem）問題，介紹了立方體表面路徑規(guī)劃方法；文獻［5］針對圓柱形油罐焊接問題，提出了一種爬壁機器人路徑規(guī)劃方法.

本文在City-Climber動力學模型基礎上，研究基于MILP的爬壁機器人3D路徑規(guī)劃問題，并針對City-Climber的特點提出一種代價函數(shù).

1 City-Climber模型解耦和線性化

在文獻［6］中，建立了City-Climber機器人的動力學模型：

式中，（x，y）為機器人的幾何中心（質(zhì)心）；θ為機器人方位角；m為機器人的質(zhì)量；J為機器人的轉(zhuǎn)動慣量；d為履帶輪到City-Climber的中心距；ui（θ，t）＝Pi（θ）Ui（t）為控制輸入，i＝1，2，3.

當機器人在地面運動時，i＝1，有

當機器人在墻壁運動時，i＝2，有

當機器人在天花板運動時，i＝3，有

式中，fi1（i＝1，2，3）分別為地面、墻壁和天花板與一個履帶輪間的滾動摩擦力；U1＝Uu1／Umax，U2＝Uu2／Umax分別為兩個驅(qū)動電機的控制輸入，Uu1和Uu2分別為兩個驅(qū)動電機的實際輸入電壓，Umax為兩個驅(qū)動電機的最大輸入電壓；2fi1／αUmax（i＝1，2，3）相當于地面、墻壁和天花板對機器人的摩擦力輸入，α為電機常數(shù)，N／V；Mri（i＝1，2，3）分別為地面、墻壁和天花板對機器人的阻力矩.

City-Climber方位角θ的存在使得數(shù)學模型存在耦合和非線性，本文參考文獻［7］中的方法，通過設置一系列容許控制方程，對City-Climber的3個數(shù)學模型分別進行解耦和線性化.

1.1 地面模型的解耦和線性化

允許的最大輸入U＊1（t）為下式描述的正方形：

式（1）、式（2）、式（5）中的控制輸入P1（θ）U1（t）取決于City-Climber的方位角θ，本文用與θ無關(guān)的物理量將其代替.最大化所有容許控制的交集：

新的控制輸入u1（t）∈U∩1（t）就是本文要找的物理量，將其代替控制輸入可對方程進行解耦.下面給出U∩（t）的直觀描述，對于給定的θ，線性變換P1（θ）將正方形U＊1（t）映射到一個描述容許控制的錐體P1（θ）U＊1（t）上，而P1（θ）可以分解為旋轉(zhuǎn)矩陣Rz（θ）和一個與θ無關(guān)的矩陣P1（0）：

式中

P1（0）將正方形（t）映射到傾斜的正方形P1（0（t）（圖1），其對角線方向上滿足｜uθ｜≤2＋Mr1／αdUmax.Rz（θ）使斜正方形繞u1θ軸旋轉(zhuǎn)，得到實心錐體Rz（θ）P1（0（t）：

式中，半徑表達式為

得到的實心錐體如圖2所示，該錐體內(nèi)部的點即為允許的控制輸入取值.u1x，u1y和u1θ就是用來解耦的新的控制輸入量.

圖1 City-Climber在地面運動的映射P1（0）

圖2 容許控制約束的實心錐體

City-Climber地面運動的動力學方程簡化為

該方程被線性化并已解耦，需滿足下式：

1.2 墻壁模型的解耦和線性化

與1.1節(jié)相同的方法，對City-Climber在墻壁運動的模型進行解耦和線性化，得到與式（12）類似的動力學方程，約束條件為

1.3 天花板模型的解耦和線性化

與1.1節(jié)相同的方法，對City-Climber在天花板運動的模型進行解耦和線性化，得到與式（12）類似的動力學方程，約束條件為

City-Climber的物理結(jié)構(gòu)決定了只要得到其速度和，就可以求得其方位角θ值.本文后續(xù)部分只考慮City-Climber動力學微分方程中的前2個方程，即控制機器人平移自由度的方程，而不求解代表機器人方位角的第3個方程.

2 MILP的數(shù)學描述

MILP是線性規(guī)劃的一種，符合線性等式或不等式的約束條件，并要求線性約束中的一部分變量必須是整數(shù).

2.1 基于MILP方法的控制輸入問題描述

City-Climber平動的動力學微分方程為

滿足：

式中，umax代表控制輸入的最大值.

式（16）可以寫為狀態(tài)空間的形式：

離散化控制輸入，規(guī)定在兩個時間點之間，輸入量為常數(shù)，可得一系列線性離散時間控制方程.本文用下標u表示控制輸入有關(guān)的變量，Nu為對控制輸入進行離散化的步數(shù)，tu［k］為第k步的時間，Tu［k］＞0為第k步到k＋1步的時間間隔，k∈｛0，1，…，Nu－1｝.離散時間控制方程表述為

［8］，可得式（19）的解，［k］和yu［k］的值可用相同方法求得.

式（17）定義的控制輸入是非線性的，不能用MILP方法描述，但可用一系列線性不等式來逼近，這些不等式可定義為正多邊形，用于近似描述一個圓，邊數(shù)越多越精確.參考文獻［9］，本文用Mu個線性不等式約束定義一個正Mu邊形：

以上附加約束為線性變量，計算量增加有限.

2.2 用于爬壁機器人路徑規(guī)劃的新型代價函數(shù)

式中，w代表權(quán)值.

為將代價函數(shù)中的絕對值形式轉(zhuǎn)化為線性形式，引入輔助連續(xù)變量zx［k］和zy［k］及不等式約束：

將zx［k］最小化，并滿足ux［k］≤zx［k］和ux［k］≥ －zx［k］，即相當于最小化｜ux［k］｜（對｜uy［k］｜同理）.既然機器人在地面、墻壁和天花板運動時能耗不同，可將代價函數(shù)寫為以下形式：

式中，i＝1，2，…，6為方形房間6個面的編號（見圖3）.

City-Climber在地面運動時（即i＝1），權(quán)值wx＝wf；在墻壁運動時（即i＝2～5），權(quán)值wx＝ww；在天花板運動時（即i＝6），權(quán)值wx＝wc.其中wf，ww和wc分別為機器人在地面、墻壁和天花板運動的權(quán)值.

圖3 方形房間

當City-Climber從一個面運動到另一個面時，需越過房間的棱邊，是相對困難和危險的，本文提出一種適用于爬壁機器人的新型代價函數(shù)：

式中，N1，N2，N3分別為地面型棱邊e1i、墻壁型棱邊e2i、天花板型棱邊e3i（i＝1，2，3，4）的條數(shù).（見圖3）；w1，w2，w3分別為地面型棱邊e1i、墻壁型棱邊e2i、天花板型棱邊e3i的權(quán)值.

至此，本文建立了控制輸入優(yōu)化問題的MILP表達式，即最小化式（23）和式（24），使其滿足式（19）、式（20）和式（22），以及相關(guān)的邊界條件.

3 方形房間描述

方形房間有6個內(nèi)表面（1個地面、4個墻壁和1個天花板）、12條棱邊（地面與墻壁的相交邊e11～e14，墻壁與墻壁的相交邊e21～e24，墻壁與天花板的相交邊e31～e34）和8個頂點（見圖3）.本文根據(jù)各表面的關(guān)系，建立圖4所示的連通樹，機器人可以沿一條線從一個表面（節(jié)點）運動到另一個表面（節(jié)點）.當起點和終點分別位于兩個表面時，根據(jù)該連通樹，共有15種不同的組合情況：

圖4 連通樹

4 City-Climber路徑規(guī)劃仿真

路徑規(guī)劃問題本質(zhì)上是優(yōu)化問題，本文用AMPL建立數(shù)學模型，結(jié)合CPLEX求得最優(yōu)解，最后用Matlab軟件繪制最終路徑.本文所有仿真均基于無量綱動力學模型，要得到實際的物理參數(shù)，需將參數(shù)乘以所除的常數(shù).

仿真中房間尺寸設置為1.6×1.2×1.0（x×y×z）.本文將City-Climber進行壁面切換運動的權(quán)值設置為：地面與墻壁間權(quán)值為1，墻壁與墻壁間權(quán)值為2，墻壁與天花板間權(quán)值為3.下面結(jié)合本文提出的路徑規(guī)劃算法，介紹在房間里進行路徑規(guī)劃的過程.

1）搜尋最小代價節(jié)點路徑：在圖4連通樹基礎上運行A＊算法（一種靜態(tài)節(jié)點樹中求解最低代價的算法），由于地面到墻壁1的路徑被障礙物阻斷，找到的兩條最小代價節(jié)點路徑：地面→墻壁2→墻壁1，地面→墻壁4→墻壁1.

2）全局路徑規(guī)劃：分別將兩組壁面展開成為兩個平面，建立統(tǒng)一坐標，再分別在這兩個平面上進行兩次全局路徑規(guī)劃（圖5），然后在兩條全局路徑上各找到一組關(guān)鍵點：P1和P2，P3和P4.

圖5 全局路徑規(guī)劃

3）局部路徑規(guī)劃：根據(jù)關(guān)鍵點坐標，分別進行兩組局部路徑規(guī)劃：“地面→墻壁2→墻壁1”（見圖6），“地面→墻壁4→墻壁1”（篇幅所限未給圖）.由于地面上較長的障礙物與墻壁2和墻壁4發(fā)生了接觸，在局部路徑規(guī)劃中，該障礙也被視為墻壁2和墻壁4上的障礙，圖5a、圖5b中可以看到該障礙在墻壁2和墻壁4的位置.在圖5b中，關(guān)鍵點P3位于緩沖地帶內(nèi)部，它作為起始點在墻壁4上進行局部路徑規(guī)劃時，AMPL無法求解，這時將關(guān)鍵點定義為緩沖線與房間棱邊的交點，而不再是全局路徑與房間棱邊的交點.

圖6 “地面→墻壁2→墻壁1”局部路徑規(guī)劃

4）代價計算：節(jié)點路徑“地面→墻壁2→墻壁1”的總代價C＝7.532，節(jié)點路徑“地面→墻壁4→墻壁1”的總代價C′＝9.982.由于C＜C′，選擇“地面→墻壁2→墻壁1”中的路徑作為最終結(jié)果，圖7為3D環(huán)境中的最終路徑規(guī)劃結(jié)果.

圖7 “地面→墻壁2→墻壁1”3 D路徑規(guī)劃

5 結(jié) 論

本文以方形房間為環(huán)境，進行了3D路徑規(guī)劃仿真，結(jié)果表明：基于MILP的路徑規(guī)劃新算法能使City-Climber有效避開所有障礙，在3D房間環(huán)境內(nèi)完成從一個表面到另一表面的路徑規(guī)劃.

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