張麗娜， 李鳳臣， 彭必全， 袁青竹， 鄭喜亮

(1.東華理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西南昌 330013;2.中冶賽迪工程技術(shù)股份有限公司，重慶 400013)

對于給定的非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)的信號處理方法是基于Fourier變換的頻譜分析法，F(xiàn)ourier變換在任一頻點上的值是信號在整個時域上的統(tǒng)計平均值(應(yīng)懷樵，1985)，因此不能準(zhǔn)確反映非平穩(wěn)信號的時變特征，且要求分析信號是穩(wěn)態(tài)的、線性的。近年來，基于小波變換的時頻分析法受到了廣泛關(guān)注(Kareem et al.，1996，Hou et al.，2000，李洪泉等，2003)。小波分析能同時提供振動信號的時域和頻域的局部化信息，但小波分析法仍然以Fourier變換為基礎(chǔ)，是對Fourier變換的改進，在識別振動信號包含的非線性和非穩(wěn)態(tài)特性時，需假定先驗的小波基函數(shù)形式，同一信號采用不同的小波基函數(shù)可能導(dǎo)致分析結(jié)果差別較大，難以對信號做精確的時頻域分析。然而，在土木工程領(lǐng)域，環(huán)境激勵下的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號多為非線性、非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)的Fourier變換和小波分析所提供的時頻分析方法在實際應(yīng)用中存在一定的局限性(錢七虎，2004，孫占學(xué)等，2004)。目前發(fā)展的 Hilbert-Huang Transform(HHT)方法是由Huang等(1998)提出的一種全新的信號處理方法，能夠在時頻域內(nèi)對信號進行分析處理，其依據(jù)信號本身的局部特征信息進行自適應(yīng)分解，不需要預(yù)先設(shè)定參數(shù)。因此，克服了依賴預(yù)測人員主觀經(jīng)驗的問題，且具有較強的抵抗噪聲能力，能更好地反映信號的本質(zhì)特征。這一方法在此后短短幾年內(nèi)，便在地質(zhì)、海洋、醫(yī)學(xué)等工程領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。實踐表明，該方法是一種較為理想的非線性和非穩(wěn)態(tài)信號的分析工具(喻曉今，2004，楊恒山，2008)。

本文應(yīng)用HHT對沖擊荷載作用下結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的信號進行分析，觀察結(jié)構(gòu)的內(nèi)部物理特征，更加深入的了解結(jié)構(gòu)在荷載作用下的響應(yīng)。

1 Hilbert-Huang變換的基本原理

HHT包含兩大部分:經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)和 Hilbert譜分析(Hilbert Spectrum Analysis，HSA)，其核心是EMD分解(李鳳臣等，2012)。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解是建立在任何信號都包含不同的單一固有振動模態(tài)的假設(shè)上的。無論是線性還是非線性信號，每個固有模態(tài)都代表一個簡單的振動，即具有相同數(shù)目的極值和零點的振動。在任何給定時間內(nèi)，信號可能有很多共同存在的振動模態(tài)，一個個疊加在一起，結(jié)果就組成了復(fù)雜的信號數(shù)據(jù)。這些單一的振動模態(tài)就叫做固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)。

HHT處理非平穩(wěn)信號的基本過程是:首先利用EMD方法將給定的信號分解為若干固有模態(tài)函數(shù)(IMF)，然后對每一個IMF進行Hilbert變換，得到相應(yīng)的Hilbert譜，最后將所有IMF的Hilbert譜疊加就會得到原始信號的Hilbert譜。EMD分解過程是通過一種稱為篩選的計算步驟來實現(xiàn)。設(shè)x(t)代表需要分解的信號。首先找出x(t)上所有的極值點，用三次樣條曲線連接各極大值點形成x(t)的上包絡(luò)線，同樣連接各極小值點形成下包絡(luò)線，確保x(t)上的所有點在上下包絡(luò)線之間。定義上下包絡(luò)線之間的均值為m1，x(t)與m1的差定義為

隨后，將x(t)與C1的差:r1(t)=x(t)－C1作為新的數(shù)據(jù)重復(fù)上述篩選過程，可得第二階IMF分量C2。當(dāng)IMF分量Cn或余量rn小于預(yù)先設(shè)定的值，或者余量已經(jīng)成為單調(diào)函數(shù)時，則整個篩選過程結(jié)束。經(jīng)過上述步驟后，x(t)可分解為n階IMF分量及余量rn的和，即

對任意一個時間函數(shù) x(t)，其Hilbert變換y(t)定義為

其中PV為柯西主值。則對應(yīng)于x(t)的解析信號z(t)為

其中a(t)稱為信號x(t)的瞬時振幅，θ(t)稱為信號的瞬時相位，兩者按下式計算

由瞬時相位可以得到信號的瞬時頻率

對原始信號的每一階IMF進行Hilbert變換后，原始信號可以表達(dá)成一下形式

其中R代表函數(shù)的實部。此處，原始信號x(t)的表達(dá)式中，已經(jīng)去除了rn，因為rn是一個單調(diào)函數(shù)或者常數(shù)。

式(7)中既有瞬時振幅ai(t)，又有瞬時頻率ωi(t)，且都是隨時間變化的。而信號x(t)的傅立葉變換為

其中振幅ai和頻率ωi都是常數(shù)。所以，同傅立葉變換相比，HHT中的IMF是一種廣義的模態(tài)，具有隨時間變化的振幅和頻率。

根據(jù)式(7)，可將信號x(t)表示在一個三維圖中，在聯(lián)合的時間-頻率平面上，將瞬時振幅ai(t)的輪廓畫出來。信號x(t)的這種時頻表示即為其Hilbert譜，H(t，ω)，其定義為

2 Hilbert-Huang變換有效性驗證

下面舉個簡單的例子，來說明HHT的有效性。兩個頻率不同的正弦信號疊加在時域的圖形如圖1所示。

圖1 正弦混和信號Fig.1 mixed sine signal

其表達(dá)式為

取信號從0～20 s的數(shù)據(jù)進行HHT變換，得到EMD和Hilbert譜分別如圖2和圖3所示。

圖2 信號的EMD分解Fig.2 EMD decomposition of signal

圖3 信號的Hilbert譜Fig.3 Hilbert spectrum of signal

由圖2可以看出，EMD分解將原始信號中所含的兩個不同頻率的正弦信號完整的分離了出來，達(dá)到了很好的濾波效果。圖3則反映了原始信號中能量隨時間和頻率的分布，其中可以清楚的看到兩個IMF分量c1(t)和c2(t)，所占能量比重很高。其他幾個是經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解時的誤差，所占能量很少。所以，可以看出HHT是一種十分有效的信號分析方法。

3 應(yīng)用HHT處理MRRM計算梁瞬態(tài)響應(yīng)的數(shù)據(jù)

梁在沖擊荷載作用下的瞬態(tài)響應(yīng)為非平穩(wěn)信號，具有頻率隨時間變化的特性，可以用HHT方法對其進行分析，看其在時間和頻率域內(nèi)能量的分布情況，研究結(jié)構(gòu)自身頻率與響應(yīng)頻率之間的關(guān)系。

現(xiàn)在就對一兩端固定的Timoshenko單跨梁瞬態(tài)響應(yīng)信號進行分析。如圖4所示，兩端固定的單跨低碳鋼梁幾何物理參數(shù)為:梁高h(yuǎn)=0.5 m，梁寬b=0.04 m，梁長度 L=2 m，密度 ρ=7 850kg/m3，截面積 A=0.002m2，彈性模量 E=206 GPa，剪切模量G=79 GPa，剪切因子κ=0.833 3。其沖擊荷載為

圖4 兩端固定的Timoshenko單跨梁Fig.4 Single-span Timoshenko beam with two end fixed

通過Matlab軟件編程，利用MRRM法進行單跨Timoshenko梁的動力響應(yīng)計算，對其動力響應(yīng)分別進行快速傅立葉變換(FFT)和HHT變換?，F(xiàn)取其跨中加速度信號進行分析，原始數(shù)據(jù)a21的數(shù)據(jù)結(jié)果如圖5所示。

原始信號中有幾個明顯的波動，主要是波經(jīng)過兩端支座反射，經(jīng)過一定時間后，回傳至該觀察點發(fā)生疊加的結(jié)果。

圖5 跨中加速度a12響應(yīng)信號Fig.5 Acceleration response signal of a12 at mid-span

加速度響應(yīng)信號a21的Fourier譜如圖6所示。從圖6中可以看出，波峰所對應(yīng)的頻率值是結(jié)構(gòu)的各階自振頻率，主要是結(jié)構(gòu)在外荷載激勵下，其自振頻率與外荷載發(fā)生共振，導(dǎo)致該點處幅值增大，從圖6中可以粗略的得到結(jié)構(gòu)的自振頻率。

圖6 a21信號的Fourier譜Fig.6 Fourier spectrum of a21

原始信號a12經(jīng)過EMD分解后的結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，前三階IMF分量有比較明顯的波動現(xiàn)象，后面幾階IMF分量趨于平緩，這表明前幾階IMF分量反映了結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的高頻部分的特性，而后幾階IMF則反映了低頻部分的特性。EMD分解能夠?qū)⑿盘栔懈哳l和低頻的部分分離出來，并能夠簡潔明了的將低、高頻信號反映在IMF圖中。

接下來對原始信號進行Hilbert變換，得到響應(yīng)的Hilbert譜，更能夠看到信號能量在低頻和高頻段的分布情況(圖8)。從圖8中可以看出，頻率較低且較為平直的幾條線為結(jié)構(gòu)的自振頻率，其數(shù)值與圖6中的自振頻率相等。當(dāng)結(jié)構(gòu)不受外界荷載沖擊時，表現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)自身的自振頻率;當(dāng)受外界脈沖作用時，表現(xiàn)出來的頻率比較豐富，即圖中三處起伏明顯的地方。這表明結(jié)構(gòu)受外界荷載作用后，產(chǎn)生波動，其高頻的部分被激起，且隨時間變化，所以在Hilbert譜中會出現(xiàn)高頻的特性，這個特點是Fourier譜無法展示的。

同時，對于圖5中跨中加速度a12的響應(yīng)，在無量綱時間5處，信號出現(xiàn)大幅度波動，表明卸除荷載過程，出現(xiàn)一個脈沖。波經(jīng)過兩端支座反射后，回傳到跨中經(jīng)疊加后產(chǎn)生了兩個明顯的波動。在EMD分解中，也可以看到三處明顯的波動現(xiàn)象，在Hilbert譜中則表現(xiàn)在三處有高頻出現(xiàn)的地方。同樣可以看出，高頻波動所占比例不大，主要還是以低頻波動為主，體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)本身自振頻率的特性。

圖7 a21信號的EMD分解Fig.7 EMD decomposition of a21

圖8 a21信號的Hilbert譜Fig.8 Hilbert spectrum of a21

4 結(jié)論

本文重點利用HHT對回傳射線矩陣法計算的梁的瞬態(tài)響應(yīng)信號進行了分析處理，并得出以下結(jié)論:

(1)HHT方法的基函數(shù)具有自適應(yīng)性，比以往的各種方法更適合非平穩(wěn)信號的分析和處理。

(2)HHT方法不僅可以將瞬態(tài)信號中低頻和高頻的部分通過EMD分解分離出來，還可以通過Hilbert譜展示信號能量在時頻域內(nèi)的分布，可以更為清楚地了解信號中低高頻部分的分布情況，更為深入的了解信號的本質(zhì)。

(3)通過分析梁瞬態(tài)響應(yīng)信號，發(fā)現(xiàn)梁在受到外界突加荷載時，在短時間內(nèi)產(chǎn)生高頻震動，即所謂的波動現(xiàn)象;當(dāng)荷載作用一段時間后，結(jié)構(gòu)才產(chǎn)生頻率相對較低的振動現(xiàn)象。

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