馬 靜，王 彤，王增平，楊奇遜

（華北電力大學 新能源電力系統國家重點實驗室，北京 102206）

0 引言

區(qū)間振蕩多存在于聯系較薄弱的互聯電力系統中，波及范圍廣，持續(xù)時間長，且難以利用局部信息加以抑制[1]，已成為困擾電網安全穩(wěn)定運行的最突出的問題之一。常規(guī)的控制方法多基于傳統控制理論[2]，包括相位補償法、極點配置法、靈敏度分析法等。隨著現代控制理論的日益成熟，許多新型控制方法也逐漸被引入到電力系統阻尼控制設計中，如線性最優(yōu)控制[3]、自適應控制[4-5]、魯棒控制[6-7]等方法。其中線性最優(yōu)控制將狀態(tài)量和控制量的平方和作為性能指標，通過求解黎卡梯方程獲取該指標的極值，以實現最優(yōu)控制。自適應控制則根據系統運行條件的變化，不斷調整控制規(guī)律，從而保證系統的性能指標接近于參考模型的性能指標。上述2種方法在精確獲取系統和擾動模型的情況下，均具有較好的阻尼特性，但一旦模型具有不確定性時，將很難保證阻尼效果。相比較而言，魯棒控制方法在應對電力系統參數和外界擾動等不確定性方面具有不可比擬的優(yōu)勢[8]。 其中，混合 H2／H∞控制理論更是由于綜合考慮了系統的穩(wěn)定性及魯棒性等因素，受到眾多專家和學者的青睞[9-11]。 在設計混合H2／H∞控制器的過程中，為了保證閉環(huán)系統的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，需要將系統的振蕩模式轉移到左半平面或預先設定的穩(wěn)定區(qū)域，傳統方法是利用Gutman定理[12]進行振蕩模式的轉移，但由于該定理求解的穩(wěn)定區(qū)域必須是凸區(qū)域，因此在某種程度上限制了振蕩模式轉移的范圍。

針對區(qū)間振蕩模式頻率低、阻尼小、持續(xù)時間長的特點，本文首先利用特征值轉移因子對穩(wěn)定區(qū)域進行拓展，定義了可使系統迅速進入穩(wěn)定狀態(tài)的非凸穩(wěn)定區(qū)域。在此基礎上，考慮系統和擾動的不確定性，設計了基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的混合H2／H∞多目標魯棒控制策略。最后，以4機2區(qū)域系統作為測試系統，分別進行時域和頻域仿真，結果表明該方法不僅具有更好的阻尼性能，而且具有更強的魯棒性能。

1 基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制策略

引理 1[13]李雅普諾夫第一法，對于系統Σ：（A，B，C，D）有：

其中，x為系統狀態(tài)向量，u為控制輸入向量，y為輸出向量，A為系統狀態(tài)矩陣，B為控制輸入矩陣，C為輸出矩陣，D為前饋矩陣。

平衡狀態(tài)xe=0的情況下，系統漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征根均具有負實部。

引理 2[14]矩陣 A?Rn×n的所有特征根均具有負實部，等價于存在對稱矩陣X＞0，使得AX+XAT＜0。

利用引理1和引理2，可將系統的振蕩模式轉移到左半平面的穩(wěn)定區(qū)域，但該方法無法保證所有的振蕩模式都具有足夠的阻尼。為此，Gutman定理[12]提出只要存在正定對稱矩陣X滿足式（2），那么矩陣A的所有特征根都將位于由式（3）描述的穩(wěn)定區(qū)域M中。

其中，z為復平面任意一點，M為實對稱矩陣，ckl為矩陣M中第k行第l列元素，m為矩陣M的階數。

Gutman定理將穩(wěn)定區(qū)域由左半平面推廣到可預先設定的區(qū)域，不僅改善了系統的阻尼性能，還在一定程度上提高了穩(wěn)定區(qū)域選擇的靈活性。但應注意，該定理僅適用于求解凸區(qū)域，對于非凸區(qū)域，由于不存在正定對稱矩陣X滿足式（2），因此無法確定該區(qū)域是否為穩(wěn)定區(qū)域。針對該問題，本文提出利用特征值轉移因子對穩(wěn)定區(qū)域進行拓展，在圖1（a）的λ平面上設計了一個非凸區(qū)域R1，如圖1（a）中陰影部分所示，該區(qū)域對應的集合MR1可表示為：

其中，r為圓半徑，（c0，0）為圓心坐標，為非凸區(qū)域與虛軸的交點。

圖1 復平面映射示意圖Fig.1 Schematic diagram of complex plane mapping

系統調節(jié)時間與閉環(huán)特征根的實部成反比，特征根距虛軸越遠，系統的調節(jié)時間越短[15]；同時，區(qū)間模式的頻率越低，參與機組越多，能量越集中于聯絡線，振幅越明顯。為此，本文選用非凸區(qū)域R1，一方面，可以保證頻率越低的區(qū)間模式距虛軸越遠，獲得的阻尼越大，調節(jié)時間越短，越容易進入穩(wěn)定狀態(tài)；另一方面，對于頻率較高的區(qū)間振蕩模式，其阻尼比雖然有所降低，但仍能滿足阻尼控制的要求。一般情況下，區(qū)間振蕩模式的頻率為0.1～0.8 Hz，為了保證頻率較高的0.8 Hz振蕩模式滿足阻尼控制的要求，由 d=2πf及 h=r-c0，可計算出 d=7.6，h=0.9。 此時，可保證0.8 Hz的振蕩模式對應的邊界阻尼比為0.1，符合振蕩模式的阻尼比不小于0.1～0.3[13]的要求。

多目標魯棒H2／H∞混合控制問題的線性時不變系統可描述為：

其中，w為外部擾動輸入向量，z∞和z2分別為與H∞和H2性能指標相關的被控向量，B1為w輸入的增益矩陣，C1、D11和D12分別為與H∞性能指標相關的狀態(tài)變量、擾動輸入和控制輸入的權矩陣，C2、D21和D22分別為與H2性能指標相關的狀態(tài)變量、擾動輸入以及控制輸入的權矩陣。

建立基于特征值轉移因子的反饋控制律：

其中，考慮到F起權重系數作用，同時與映射有關系，本文將其定義為特征值轉移因子。

將式（6）代入式（5），可得閉環(huán)系統方程如下：

該閉環(huán)系統對應的特征根方程為：

考慮到閉環(huán)特征根滿足在非凸區(qū)域R1穩(wěn)定的約束條件下很難在λ平面獲取，本文將區(qū)域R1映射到β的左半平面R2上，如圖1（b）中陰影部分所示。區(qū)域R1和區(qū)域R2之間的映射關系如下：

由式（9）的映射關系，可得β平面上的閉環(huán)系統特征方程：

其中，U（F）和V（F）都是以F為變量的系數矩陣，U（F）=（r+c0）I-（A+BFBT），V（F）=-（r-c0）I-（A+BFBT）。

由式（9）可知，λ平面的振蕩模式位于區(qū)域R1的充要條件是β平面對應的振蕩模式位于左半平面R2。而在β平面中，由引理1可知，系統穩(wěn)定的充要條件是所有特征根的實部均為負數，即存在非負定的特征值轉移因子矩陣F滿足：

因此，滿足閉環(huán)系統是漸近穩(wěn)定的條件可以表示為：

其中，“‖”表示邏輯關系“或”。

由引理2可得式（12）的等價條件為存在對稱矩陣X＞0，使得下式成立：

其中，G1=VX+XVT，G2=UX+XUT。

需要注意的是，圖1（a）中圓弧范圍外虛軸上的點對應于無阻尼的區(qū)內振蕩模式。文中發(fā)電機采用詳細模型，因此區(qū)內振蕩模式都具有一定的阻尼并滿足穩(wěn)定要求。再者，本文主要針對區(qū)間振蕩進行廣域阻尼控制，對于頻率較高的區(qū)內振蕩模式，可結合當地控制器（如PSS）加以抑制。因此，不需要考慮圖1（a）中圓弧范圍外虛軸上的點，即圖 1（b）中穩(wěn)定區(qū)域僅對應圖1（a）中圓弧的部分以虛軸為界。

對系統進行多目標魯棒控制，除了滿足系統漸近穩(wěn)定的條件式（13）外，還需要使閉環(huán)系統滿足以下條件。

a．H∞性能：當w被看作是一個具有有限能量的擾動信號時，從 w 到 z∞的閉環(huán)傳遞函數 Twz∞（s）的H2范數不超過給定的上界 γ，即‖Twz∞（s）‖＜γ，以保證閉環(huán)系統具有魯棒穩(wěn)定性。

b．H2性能：當w被看作是一個具有單位譜密度的白噪聲信號時，從w到z2的閉環(huán)傳遞函數Twz2（s）的 H2范數不超過給定的上界 η，即‖Twz2（s）‖＜η，以保證用H2范數度量的系統性能處于良好的水平。

滿足目標a和b的充要條件為：

其中，Acl=A+BFBT，Trace（Q）為矩陣 Q 的跡。

由式（13）—（16）可將基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制問題轉換為式（17）的線性不等式組的優(yōu)化問題，其指標 αγ+βTrace（Q）為 H2性能和 H∞性能的加權組合，α和β分別表示性能指標中H2性能和H∞性能的權重。

其中，G1=-2（r-c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT，G2=2（r+c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT。

令FBTX=NBT，MBT=BTX，利用上述不等式的約束條件可算出N和X，進而可得M=BTXB（BTB）-1，以及特征值轉移因子F=NM-1。將F代入式（6），最終可推導出反饋控制向量 u（t）=NM-1BTx（t）。

2 應用算例

2.1 測試系統

以4機2區(qū)域的系統[16]為例，利用可控串補TCSC（Thyristor Controlled Series Capacitor）設計基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器，并對其阻尼性能和魯棒性能進行分析。如圖2所示，發(fā)電機采用6階暫態(tài)模型，勵磁系統采用快速勵磁，基準模型下的負荷采用50%的恒阻抗和50%的恒電流混合模型，TCSC位于聯絡線8-9之間，補償度為40%。TCSC附加控制器采用圖3所示的控制結構[16]，其中τ=0.05 s為一階慣性常數，τa=0.4 s為超前時間常數，τb=0.02 s為滯后時間常數，Xmax=3和Xmin=-3分別輸出最大值和最小值。本文針對區(qū)間低頻振蕩，利用TCSC實現基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制，以4號機組為參考機組，TCSC的廣域反饋信號采用各發(fā)電機相對于4號機組的轉速差。

圖2 4機2區(qū)域系統結構圖Fig.2 Structure of 4-machine 2-area system

圖3 TCSC附加控制器結構Fig.3 Structure of supplementary controller of TCSC

在系統中的附加控制器處于開環(huán)運行狀態(tài)下，利用模態(tài)分析方法對此系統進行分析，得到低頻振蕩的主導模式及其阻尼。從表1中得到，4機系統中存在2個區(qū)內模式和1個具有弱阻尼的區(qū)間模式，在系統受到干擾時，系統不能快速恢復到穩(wěn)定狀態(tài)。如不加以有效抑制，會對系統造成嚴重危害。本文利用MATLAB中的PST（Power System Toolbox）進行仿真驗證。

表1 未加控制器時4機系統主導模式Tab.1 Dominate modes of 4-machine system without controller

2.2 仿真結果及分析

在以下各類擾動中，通過與傳統的H2／H∞控制器進行對比，驗證本方法的有效性和優(yōu)越性。

a.穩(wěn)態(tài)時聯絡線傳輸功率為421 MW，擾動為0.1 s時，線路4-13的母線4側發(fā)生瞬時性三相短路，0.2 s后故障消失。

b.穩(wěn)態(tài)時聯絡線傳輸功率為421 MW，擾動為0.1 s時，線路4-13的母線4側發(fā)生永久性三相短路，0.2 s后將故障線路切除。

c.負荷采用60%的恒阻抗和40%的恒電流，擾動為0.1 s時，線路9-10的母線10側發(fā)生瞬時性三相短路，0.15 s后故障消失。

d.負荷采用40%的恒阻抗和60%的恒電流，擾動為0.1 s時，線路9-10的母線10側發(fā)生瞬時性三相短路，0.15 s后故障消失。

分別對基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器和傳統的魯棒H2／H∞阻尼控制器進行閉環(huán)控制，得到振蕩模式如表2所示。由表2可以看出，2種控制器均能將阻尼比不足的振蕩模式轉移到穩(wěn)定區(qū)域，但需要注意的是，控制器1對系統的阻尼效果要遠優(yōu)于控制器2。這表明，基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制在抑制區(qū)間低頻振蕩過程中具有明顯的優(yōu)勢。在以上4種擾動情況下，閉環(huán)系統的特征根均分布在非凸穩(wěn)定區(qū)域中，如圖4所示，其中空心圓為開環(huán)系統特征根，星花為利用控制器1得到的閉環(huán)系統特征根。

表2 開環(huán)系統和閉環(huán)系統下的區(qū)間振蕩模式Tab.2 Inter-area oscillation mode of open-loop and closed-loop systems

圖4 開環(huán)和閉環(huán)系統特征根分布圖Fig.4 Eigenvalue distribution of open-loop and closed-loop systems

2區(qū)域發(fā)電機之間的功角差和聯絡線功率在4種擾動下的時域仿真波形如圖5—8所示?？梢钥闯?，在不同運行狀態(tài)下，發(fā)生不同擾動時，基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器均能快速有效地抑制區(qū)間低頻振蕩，且阻尼性能和魯棒性能均明顯優(yōu)于傳統的H2／H∞阻尼控制器。

圖5 擾動1下的系統動態(tài)響應Fig.5 System dynamic response to disturbance 1

圖6 擾動2下的系統動態(tài)響應Fig.6 System dynamic response to disturbance 2

圖7 擾動3下的系統動態(tài)響應Fig.7 System dynamic response to disturbance 3

圖8 擾動4下的系統動態(tài)響應Fig.8 System dynamic response to disturbance 4

3 結論

a.針對區(qū)間振蕩模式頻率低、所需阻尼大的特點，利用特征值轉移因子對穩(wěn)定區(qū)域進行推廣，定義了可使系統迅速進入穩(wěn)定狀態(tài)的非凸穩(wěn)定區(qū)域。

b.在此基礎上，考慮到系統和擾動的不確定性，設計了基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的混合H2／H∞多目標魯棒控制器。

c.以4機2區(qū)域系統作為測試系統，分別進行時域和頻域仿真，結果表明相比于傳統的H2／H∞阻尼控制策略，該控制策略具有更好的控制效果和更強的魯棒性。