湯慶輝，柯曾言

（中航工業(yè)洪都，江西南昌330024）

0 引言

在飛機(jī)的生產(chǎn)和使用過程中，結(jié)構(gòu)可能會(huì)因?yàn)槿藶楹头侨藶橐蛩爻霈F(xiàn)某些缺陷。這些缺陷主要包括凹陷、劃痕、腐蝕和雷擊燒傷及多余孔等等。對(duì)于這些缺陷，如果沒有進(jìn)行有效的修理和監(jiān)控，對(duì)飛機(jī)的飛行會(huì)帶來較大的安全隱患?？v觀國(guó)外，這些缺陷的疲勞和裂紋擴(kuò)展分析都得到了較好的論證。而在國(guó)內(nèi)，僅僅對(duì)其靜強(qiáng)度進(jìn)行了分析，而疲勞和裂紋擴(kuò)展分析還沒有過多的涉及。所以很有必要對(duì)這些缺陷進(jìn)行疲勞和裂紋擴(kuò)展分析。本文詳盡介紹了凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)的初步確定，為凹陷的疲勞分析提供必要的條件，進(jìn)而確定凹陷是否滿足疲勞壽命要求。

1 凹陷的形式和種類

圖1 凹陷的結(jié)構(gòu)形式

凹陷是由于重物墜落或與其他物體碰撞產(chǎn)生的，一般可假定其為球冠，用直徑和深度來表示凹陷的形式，如圖1所示，W為凹陷外形大小，D為凹陷深度，t為板的厚度。根據(jù)凹陷發(fā)生的部位可以定義凹陷的種類。

1）如果凹陷發(fā)生在外部蒙皮上，并且蒙皮內(nèi)部沒有與任何結(jié)構(gòu)相連，可以稱此種凹陷為柔性凹陷。

2）如果凹陷發(fā)生在外部蒙皮上，并且蒙皮內(nèi)部與長(zhǎng)桁相連(并且認(rèn)為凹陷不允許發(fā)生在與梁或框連接處)，可以稱此種凹陷為硬性凹陷。

2 凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)的初步確定

凹陷的疲勞分析可以采用名義應(yīng)力法，名義應(yīng)力法是根據(jù)危險(xiǎn)部位的名義應(yīng)力（最大主應(yīng)力）和應(yīng)力集中系數(shù)Kt，對(duì)照Kt下材料的S-N曲線，應(yīng)用線性累積損傷理論，估算出危險(xiǎn)部位的裂紋形成壽命。名義應(yīng)力法流程中主要的步驟是應(yīng)力集中系數(shù)的確定，本文利用有限元方法對(duì)凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)進(jìn)行初步確定。

2.1 凹陷應(yīng)力集中系數(shù)計(jì)算的有限元模型建立

設(shè)定一塊長(zhǎng)300 mm，寬200 mm的板中央有一凹陷。分別對(duì)某個(gè)參數(shù)進(jìn)行變化，而另外兩個(gè)參數(shù)不變化來分析凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)，共有三組情況，對(duì)應(yīng)于板的厚度、凹陷深度和寬度變化。在模型中一邊施加固支約束，另一邊均勻施加2000 N的受拉載荷，用于模擬最大主應(yīng)力。有限元模型見圖2。

圖2 應(yīng)力集中系數(shù)分析的有限元模型圖

2.2 應(yīng)力集中系數(shù)計(jì)算結(jié)果

各組有限元應(yīng)力結(jié)果及根據(jù)結(jié)果計(jì)算出的應(yīng)力集中系數(shù)見表1，各參數(shù)與應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系見圖3至圖5。

表1 各組情況凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)結(jié)果

續(xù)表1

圖3 應(yīng)力集中系數(shù)隨板厚t的變化情況

2.3 應(yīng)力集中系數(shù)結(jié)果分析

依據(jù)表1中數(shù)據(jù)和圖3至圖5，可以看出凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)隨板厚的增大而減小、隨凹陷深度的增大而增大、隨凹陷寬度的增大而增大。

2.3.1 擬合曲線的確定

依據(jù)圖3至圖5，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及工程判斷可以獲得Kt與各參數(shù)之間的趨勢(shì)如下：

圖4 應(yīng)力集中系數(shù)隨凹陷深度D的變化情況

圖5 應(yīng)力集中系數(shù)隨凹陷寬度W的變化情況

1） 根據(jù)圖3（b）能夠得出Kt與板厚的倒數(shù)（1/t）有對(duì)數(shù)關(guān)系；

2）根據(jù)圖4能夠得出Kt與凹陷深度（D）有對(duì)數(shù)關(guān)系；

3）根據(jù)圖5能夠得出Kt與凹陷寬度 （W）有線性關(guān)系。

按以上Kt與凹陷參數(shù)的趨勢(shì)關(guān)系，可以初步確定出應(yīng)力集中系數(shù)與凹陷參數(shù)之間的表達(dá)式：， 公 式 中 a0、a1、a2為常量。

2.3.2 最小二乘法確定a0、a1、a2常量對(duì)于應(yīng)力集中系數(shù)與凹陷參數(shù)之間的公式，設(shè)定W為x，為y，Kt為f(x，y)。 則Kt用公式表示為：f(x,y)=a0+a1·x+a2·y，公式是二元多項(xiàng)式，可以利用曲線擬合的二元最小二乘法確定系數(shù)a0、a1、a2。對(duì)于二元最小二乘法就是根據(jù)離散點(diǎn)集{(xi，yi，zi)，i=1，m}與要擬合出的函數(shù)f(xi,，yi)的誤差平方和I(a0，a1，a2)最小而確定擬合函數(shù)f(x，y)。誤差平方和：

化成矩陣：

利用表1中的數(shù)據(jù)和以上公式可計(jì)算出(a0,a1,a2)=(2.12403,0.01295,0.90101)，因此凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)可表達(dá)為：

2.3.3 擬合公式的檢驗(yàn)與誤差分析

Kt的回歸平方和殘差平方和分別定義如下：

離差平方和：

離差平方和Syy為殘差平方和U和回歸平方和V之和：Syy=U+V

這時(shí)V的計(jì)算公式為 V=Syy–U

根據(jù)線性回歸理論知V愈大（或U愈?。﹦t表示Kt與這些自變量的線性關(guān)系愈密切，回歸的規(guī)律愈強(qiáng)，回歸出的結(jié)果可信度愈高。

為了表征這一特點(diǎn)，定義復(fù)相關(guān)系數(shù)R為

顯然，R越接近于1，表明y與x1，x2，…，xn的線性關(guān)系越密切，也就是說回歸出的回歸方程的系數(shù)矩陣有較好的精度。

本文經(jīng)計(jì)算得出U=0.00756，Syy=1.33741，V=Syy-U=1.32985

R的值較接近于1，系數(shù)矩陣(a0，a1，a2)精度較好。

除了用R進(jìn)行線性檢驗(yàn)外，還要利用F值對(duì)整個(gè)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。F值如下定義：

式中給出的F也服從自由度為k，n-k-1的F分布，如令α=0.05，將由計(jì)算出的F值與相應(yīng)的臨界值作比較，如F大于臨界值，則表明所建立方程是良好的。本文的自由度為2，共有29組數(shù)據(jù)，

F0.05(2,26)=3.37，由于F?F0.05(2,26)，故認(rèn)為線性回歸得出的凹陷的應(yīng)力集中系數(shù)方程式是顯著的。

3 結(jié)論

本文根據(jù)有限元分析方法初步確定的凹陷應(yīng)力集中系數(shù)公式，在經(jīng)過R和F檢驗(yàn)后，公式的精度較好，同時(shí)，對(duì)于凹陷來說，有限元分析難于考慮一些工藝參數(shù)和其他因素的影響，在經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)本文的公式進(jìn)行修正后，可用于實(shí)際工程的應(yīng)用，從而為凹陷的疲勞壽命分析提供必要的依據(jù)。

[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析第5版.北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[2]數(shù)理統(tǒng)計(jì)編寫組編.數(shù)理統(tǒng)計(jì).西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1999.