劉明靜，李日杰，劉傳云

(中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064)

0 引言

隨著電子計算機技術在船舶設計領域中的應用，用Bezier曲線、B樣條曲線來表達船體幾何外形的研究已取得很大進展［2］。在Bezier曲線和B樣條曲線曲面的基礎上又開展了非均勻有理B樣條 (nonuniform rational B-spline，NURBS)表達物體幾何外形方法的研究［3］。1991年，國際標準組織 (ISO)還把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何外形的唯一數(shù)學表達方法。于是，有人就把用Bezier曲線、B樣條及NURBS表達的船型稱為“數(shù)學船型［4］”。嚴格地說，這種需要用原始型值或中間控制點來進行逼近，并應用計算機進行光順而得到的船型，并不能算作真正意義上的數(shù)學船型。

其原因在于以下3點:一是基于原始型值或中間控制點用樣條函數(shù)進行表達的船體外形設計，在原理上并沒有擺脫傳統(tǒng)的由人工干預型值或中間控制點的經(jīng)驗設計本質(zhì)，設計出的船型性能好壞，在很大程度上仍依賴設計者掌握知識的多寡及設計經(jīng)驗的豐富程度，很難得出優(yōu)良的船型;二是盡管可以用K×1次NURBS曲面函數(shù)來表達船體曲面［5］，但只是粗略地表達船 (艇)體幾何形狀的離散函數(shù)表達式，既不反映船 (艇)型參數(shù)，如主尺度、排水量、系數(shù)、浮心位置等對船體形狀的影響，也不便于自動生成形狀各異的多方案船 (艇)型;三是僅是描述船體形狀的一個統(tǒng)一的離散表達式，要生成三維船型還需要借助計算機分別對各型線進行擬和、光順，最終給出型線圖和型值表。由此可以看出，基于原始型值或中間控制點的船型并不是真正意義上的“數(shù)學船型”，只是一種采用逼近函數(shù)而得出的 “數(shù)值船型［6］”。

本文針對潛艇開展數(shù)學艇型研究，建立艇體三維曲面形狀函數(shù)［7］，并將SUBOFF的主要參數(shù)作為背景參數(shù)來擬合SUBOFF艇體曲線［8-9］，以驗證本文所建立方法的有效性，從而為今后開展?jié)撏Э傮w方案自動生成和優(yōu)化奠定基礎。

1 數(shù)學潛艇線型表達推導

隨著潛艇的發(fā)展，現(xiàn)代潛艇的幾何外形多呈軸對稱的回轉(zhuǎn)體或非軸對稱的橢圓形柱體［10］。本文選擇軸對稱回轉(zhuǎn)體進行推導。

1.1 具有平行中體的流線型回轉(zhuǎn)體的形狀特征

回轉(zhuǎn)體潛艇是軸對稱幾何體，其三維幾何形狀可用二維圖形來表達。二維圖形如圖1所示。由圖中可以看出其艇體的幾何形狀特征，具體如下:艇體分首進流段、平行中體段和尾去流段3段，段長分別用L1，L2，L3表示，總長為L=L1+L2+L3，直徑D=2R。各段的幾何形狀特征為:首端肥鈍，呈長半軸為L1的半個橢球體;平行中體段是半徑為R、長度為L2的圓柱體;尾去流段的長度為L3，尾部尖瘦，是剖面素線呈上拋的半拋物線。

圖1 帶平行中體的回轉(zhuǎn)體潛艇外形示意圖Fig.1 The revolution submarine with parallel

1.2 艇體形狀的數(shù)學描述

根據(jù)上述從尾到首由上拋物線、直線和半橢圓曲線構成的二維平面曲線的幾何形狀特征，分段來構造其數(shù)學表達式。圖1所示的二維平面曲線是1條半徑r(x)沿艇長變化的平面曲線，應用平面橢圓方程、上拋物線函數(shù)，這條半徑曲線R(x)應滿足表1和表2的條件。

表1 半徑曲線的幾何性狀Tab.1 The geometrical properties of radius function r(x)

表2 半徑曲線的端邊條件Tab.2 Boundary condition of radius function r(x)

根據(jù)表1和表2，獲得的軸對稱回轉(zhuǎn)體半徑函數(shù)統(tǒng)一表示為:

其中:α1與α3為參變量，表征了首、尾段的豐滿程度，與艇體排水量▽及浮心縱向坐標xc密切相關，也可以說參變量α1和α3與主尺度L，D，菱形系數(shù)Cp，中橫剖面系數(shù)CM以及浮心縱向坐標位置xc密切相關。由于排水體積▽ =CpCMLBT(=CpCMLD2)(D=2R為艇的直徑)。不同的▽和xc將對應不同的α1與α3;對給定的▽和xc來說，參變量α1和α3將是1對固定值。

系統(tǒng)進行底層模塊的注冊時，智能節(jié)點首先廣播下發(fā)問詢數(shù)據(jù)包，各底層模塊接收后根據(jù)ID號延時反饋注冊數(shù)據(jù)包，智能節(jié)點上發(fā)底層模塊注冊信息至監(jiān)控終端，等待用戶確認底層模塊是否屬于該節(jié)點，用戶在監(jiān)控終端輸入底層模塊涂層的驗證密碼進行確認。智能節(jié)點的Flash開辟了兩塊區(qū)域，對底層模塊的ID信息進行存儲，用戶確認的底層模塊屬于該智能節(jié)點，云服務器下發(fā)確認信息至智能節(jié)點，底層模塊ID信息存入Flash第一區(qū)域，用戶未確認的底層模塊不屬于該節(jié)點，云服務器下發(fā)未確認信息，模塊ID信息存入Flash第二區(qū)域，智能節(jié)點接收到不屬于該節(jié)點的底層模塊反饋的數(shù)據(jù)時濾除不再上發(fā)至云服務器，無線自組織網(wǎng)絡建立完成。

1.3 形狀函數(shù)表達式

應用圓方程，得到艇的形狀函數(shù)為:

1.4 形狀參數(shù)的確定

式(2)中有2個表達半徑曲線和艇體形狀變化的未知因子nf與nα需要確定。這需要補充艇的水下排水量D和水下縱傾均衡條件xG=xc這2個條件方程來確定。因只涉及到坐標變量x=Lξ，故用式(2)來構建條件方程。

排水量約束條件:

浮心縱坐標約束條件:

上述2式為1個方程組，在所有的參數(shù)都給定的情況下，2個方程有2個未知數(shù)α1與α3，方程組有唯一解;當解開1個約束參數(shù)，如xc，則方程組為不定方程，具有無數(shù)解，方程組解的含義為滿足排水量和3段長度要求下的“小小系列”;當解開2個約束條件，如xc與▽，則方程組所形成的循環(huán)稱為“小系列”;當解開更多的約束條件，以此類推可形成“中系列”甚至“大系列”等。為便于闡述整個優(yōu)化原理，本文中后面的算例以變化xc為例，進行闡述。

2 算例

為對回轉(zhuǎn)體“數(shù)學艇型”進行實用性檢驗，本文選取SUBOFF-8潛艇模型作為比較對象。SUBOFF艇型是美國經(jīng)過長期試驗研究而得出的優(yōu)良回轉(zhuǎn)體艇型系列，其試驗結果被許多國家用來作為檢驗現(xiàn)代潛艇線型優(yōu)劣的標準。

為便于與SUBOFF艇型對比，本數(shù)學艇型計算實例選取與SUBOFF-8艇體模型相同的主尺度、排水量與浮心縱向坐標位置。SUBOFF-8模型參數(shù)示于表3。

表3 SUBOFF-8主要參數(shù)表Tab.3 The main parameters of SUBOFF-8

實例演算過程如下:

1)應用表3中的參數(shù)，代入排水量和浮心縱向坐標位置約束條件方程組，解出未知參數(shù)α1與 α3。

2)將解出的α1與α3代入回轉(zhuǎn)艇體形狀函數(shù)式(2)，便得到滿足SUBOFF-8艇參數(shù)要求的函數(shù)表達式如下:

將表3中▽ =0.699，L=4.356，R=0.254，xc=0.078代入式(5)后，可解出2個未知參變量，得α1=0.439 5，α3=1.415 6。代入半徑函數(shù)公式，得SUBOFF的半徑函數(shù)為:

圖2 由數(shù)學潛艇模型得出的SUBOFF近似艇Fig.2 The Comparison of calculated and SUBOFF form

由于參考浮心縱向位置xc精度不高，式(6)計算結果所得的剖面形狀函數(shù)見圖2。圖中實線為根據(jù)本文方法計算的剖面線，虛線為根據(jù)文獻發(fā)布的SUBOFF型值而繪制的剖面線。從圖中可見，二者圖形大部分重合，計算誤差很小。在浮心縱向位置精度足夠的情況下，二者的線型可完全重合。這一結果表明本數(shù)學潛艇模型完全能夠準確地描述SUBOFF潛艇的外形形狀。根據(jù)式(6)，求得的SUBOFF艇的形狀函數(shù)為:

3)系列艇型。解除浮心縱向位置坐標的約束，則形成的艇型約束方程為

在其他參數(shù)都約束的情況下，式(8)為不定方程，具有無數(shù)解，即“小小系列”艇型。在α1取值范圍內(nèi)任取幾個值，則可得出相應的艇型，如圖3所示。

上述各艇型對應的三維圖形如圖4所示。從圖中可見，本文采用的方法可表示形狀各異的艇體外形。艇體首部為減函數(shù)，即α1越小，首部越豐滿。

3 結語

本文建立的數(shù)學艇型三維艇體函數(shù)，將設計參數(shù)和形狀參數(shù)聯(lián)系起來，構建了滿足設計要求的艇體模型自動生成體系。通過在體系中改變約束參數(shù)個數(shù) (本文中僅改變浮心縱向位置)，可以得到不同等級的系列艇型，如“小小系列”、 “小系列”等，從而為總體方案的自動生成奠定基礎。該方法建立了艇型設計與總體方案設計的聯(lián)系［11］，大大減少了艇型設計中的循環(huán)次數(shù)，可獲得具有實用價值的艇型，對潛艇總體設計具有很大的指導作用。

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