付秀艷,劉蕾蕾，陶祥興,黃文禮

(1.寧波大學(xué) 理學(xué)院，浙江 寧波 315211；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，北京 102206;3.浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

基于分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型的保本基金定價(jià)研究

付秀艷1,劉蕾蕾2，陶祥興3,黃文禮3

(1.寧波大學(xué) 理學(xué)院，浙江 寧波 315211；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，北京 102206;3.浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

討論了在分?jǐn)?shù)金融市場(chǎng)環(huán)境下，與股票價(jià)格指數(shù)相關(guān)的分紅保本基金的定價(jià)原理和方法，并且通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖、隨機(jī)過(guò)程和偏微分方程的方法，推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型下與股指掛鉤的分紅保本基金定價(jià)公式，且給出了保本基金的顯式解。

保本基金;分?jǐn)?shù)金融市場(chǎng);風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖;偏微分方程;隨機(jī)利率模型

近年來(lái)，股票市場(chǎng)的不景氣促使投資者不得不開(kāi)辟新的投資渠道。投資者既想在一定比例上約束投資最低收益，又想使投資組合收益最大化，這就促成了保本基金的產(chǎn)生。保本基金(Segregated Fund)是指在一定投資期限內(nèi)，對(duì)投資者所投資的本金提供一定比例保證保本的基金，它是一種創(chuàng)新的基金品種。首先要清楚保本基金的設(shè)計(jì)理念，它是把利息或小部分資產(chǎn)投資于杠桿率比較高的金融產(chǎn)品，而這些金融產(chǎn)品雖然收益較高但風(fēng)險(xiǎn)也較大，如股票、衍生證券、期貨等；同時(shí)把大多數(shù)基金資產(chǎn)投資到低風(fēng)險(xiǎn)收益穩(wěn)定的金融產(chǎn)品如債券、國(guó)債等，這樣可以保證基金的大部分收益都是穩(wěn)定的，且不用承擔(dān)高風(fēng)險(xiǎn)。因此，即使市場(chǎng)不景氣，投資環(huán)境比較差，投資結(jié)果也會(huì)達(dá)到預(yù)期的保本作用，兌現(xiàn)當(dāng)初對(duì)投資者的承諾。

根據(jù)保本基金的設(shè)計(jì)原理可以看出，對(duì)于投資市場(chǎng)波動(dòng)比較大、走勢(shì)不容易判斷，或者風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的投資者，保本基金會(huì)是一個(gè)較為適合的投資選擇。它很好地抓住了投資者的心理，讓他們無(wú)后顧之憂(yōu)，不用擔(dān)心承擔(dān)很大的損失，因?yàn)橥ㄟ^(guò)投資保本基金既保證了一定比例本金的收取，又有機(jī)會(huì)獲得基金高風(fēng)險(xiǎn)部分的投資收益?；诖?，保本基金備受投資者的歡迎。尤其是在近幾年，股票市場(chǎng)行情不明朗且銀行存款利率又不理想的情況下，保本基金備受市場(chǎng)和投資者的追捧，它將成為一種新的理想避險(xiǎn)品種。然而，保本基金并不是無(wú)條件和絕對(duì)百分之百的保本，它存在期限上的約束。需要說(shuō)明的是保本基金有一個(gè)重要的特征——半封閉性，即如果投資者在基金沒(méi)有到期就解除合約，那么投資者將得不到當(dāng)初的保本比例及投資收益，而且還會(huì)承擔(dān)違約所造成的費(fèi)用。

基于近幾年中國(guó)股市的動(dòng)蕩，投資者急于尋求相對(duì)穩(wěn)定的投資途徑，保本基金一時(shí)間發(fā)展迅速，在投資市場(chǎng)所占份額日益增加。中國(guó)國(guó)內(nèi)第一只保本基金“南方避險(xiǎn)增值基金”于2003年5月發(fā)行，且行情看好，成交量不斷增加。2004年2月，“銀華保本增值基金”發(fā)行，隨后中國(guó)又連發(fā)3只保本型基金。在經(jīng)歷了2005年以后的停滯階段后，保本基金在2010年又迎來(lái)新的發(fā)展契機(jī)。根據(jù)《關(guān)于保本基金的指導(dǎo)意見(jiàn)》[1]的發(fā)布，可以看出保本基金深受?chē)?guó)家各有關(guān)部門(mén)的重視和支持，相信關(guān)于保本基金的相關(guān)法律法規(guī)將不斷被完善，它將會(huì)迎來(lái)更好的運(yùn)行環(huán)境。Wind數(shù)據(jù)顯示，截至2012年10月18日，市場(chǎng)上保本基金的數(shù)量已達(dá)33只，總規(guī)模超過(guò)600億元[2]。保本基金在國(guó)內(nèi)的基金行業(yè)占據(jù)了一定的地位。

2012年以來(lái)A股市場(chǎng)震蕩劇烈，投資者叫苦不迭，從而紛紛將資金轉(zhuǎn)向低風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品。受此影響，以“攻守兼?zhèn)洹敝Q(chēng)的保本基金悄然擴(kuò)容，迎來(lái)了新的發(fā)展契機(jī)。Wind數(shù)據(jù)顯示，截至2012年10月份，年初以來(lái)成立的13只保本基金，首募總規(guī)模達(dá)237.83億元，平均單只募集規(guī)模為18.29億元[2]。而旗下已擁有3只保本基金的南方基金上演“保本不斷檔”，近期推出了第四只該類(lèi)產(chǎn)品——南方安心保本基金。在A股震蕩筑底而債市水漲船高的情況下，保本基金擴(kuò)容之勢(shì)將延續(xù)。

在當(dāng)前保本基金蓬勃發(fā)展的大趨勢(shì)下，對(duì)其合理設(shè)計(jì)與公正定價(jià)是應(yīng)形勢(shì)之需，對(duì)金融市場(chǎng)的發(fā)展具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。本研究基于分?jǐn)?shù)Vasicek金融市場(chǎng)模型，考慮與股票價(jià)格指數(shù)相關(guān)的分紅保本基金的設(shè)計(jì)原理和定價(jià)方法，推導(dǎo)得出了定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識(shí)

1940年Kolmogorov[3]首次在Hilbert空間中定義、研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),命名為Wiener。1968年，Mandelbrot和Van Ness第一次提出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念,以下是本研究要用到的相關(guān)定義和引理，可為后面保本基金的定價(jià)公式推導(dǎo)做理論鋪墊。

定義1.1[4]設(shè)概率空間(Ω,F,P)，具有Hurst參數(shù)為H∈(0,1)(H為一個(gè)常數(shù))的分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)的高斯過(guò)程BH={BH(t)∶t≥0}={BH(t,ω)∶t≥0,ω∈Ω}，且滿(mǎn)足以下條件：

1)BH(0)=E(BH(t))=0,(t≥0);

式中，E是關(guān)于概率測(cè)度P的期望；且當(dāng)H=1/2時(shí)，BH(t)就為標(biāo)準(zhǔn)型布朗運(yùn)動(dòng)。

分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)為自相似過(guò)程，且當(dāng)H∈(1/2,1)時(shí)具有長(zhǎng)期依賴(lài)性，即對(duì)所有n=1,2,…，有

分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的這些性質(zhì)在應(yīng)用數(shù)學(xué)及金融工程方面都是非常有用的工具。本研究假設(shè)H∈(1/2,1)。

對(duì)于一個(gè)恒定的H∈(1/2,1)，定義φ(t,s)=H(2H-1)|t-s|2H-2,t,s∈。

設(shè)BH(t)為概率空間(S′(R),F,P)中的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其中Ω:=S′(R)為R上的減速函數(shù)Schwarz空間S(R)的對(duì)偶空間。

根據(jù)定義1.5不難證明如下引理:

引理1.21)BH(t)是擬鞅；

(1)

因?yàn)棣?s)不是隨機(jī)的，故式(1)就等價(jià)于

(2)

綜上，就得到了式(2)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 基本假設(shè)

1) 金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。

2) 金融市場(chǎng)無(wú)摩擦，無(wú)稅收，無(wú)交易費(fèi)。

3) 資產(chǎn)的構(gòu)成為每份基金面值1元人民幣。針對(duì)中國(guó)的實(shí)際情況，特設(shè)以下條款：

a.基金到期時(shí)的保底收益是每份α元，對(duì)于超額收益部分將進(jìn)行分紅，且比例是β(0≤β≤1)；

b.基金全部投資于指數(shù)基金，如股票價(jià)格指數(shù)。

4) 此處，假設(shè)指數(shù)基金的凈值服從分?jǐn)?shù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即：

(3)

另外，采用服從分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率模型作為這里的市場(chǎng)利率模型，即：

5) 設(shè)保本基金的價(jià)值C是與時(shí)間t、利率rt和指數(shù)基金價(jià)值St有關(guān)的函數(shù)，即Ct=C(St,rt,t)。

2.2 數(shù)學(xué)模型建立

現(xiàn)在假設(shè)(ΩF,Ft,P)是具有σ-流的一個(gè)概率空間，BH={BH(t),t≥0}是(Ω,F,P)上的分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)t是由F所生成的σ-代數(shù)流，P是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。假設(shè)It型分?jǐn)?shù)Black-Scholes市場(chǎng)上只有三類(lèi)證券,即有風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)、標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)與零息票債券，并且記在T時(shí)刻到期的零息票債券的價(jià)格為Pt=P(r,t;T)。

現(xiàn)有這樣的一個(gè)投資組合，它包括一份價(jià)值為C(S(t),r,t)保本基金、Δ1t份的標(biāo)的資產(chǎn)S(t)，以及Δ2t份零息債券P(t)，則該資產(chǎn)組合在t時(shí)刻的價(jià)值為

Πt=Ct-Δ1tSt-Δ2tPt

應(yīng)用多維分?jǐn)?shù)型It公式，得到如下公式

且有

(4)

在[t,t+dt]內(nèi)有

dΠt=dCt-Δ1tdSt-Δ2tdPt

(5)

為了消除式(5)中的隨機(jī)項(xiàng),分別取[8]:

代入式(5)， 得

dΠt=dCt-Δ1tdSt-Δ2tdPt

由無(wú)套利原理可知

E(dΠt)=r(t)Πdt=r(Ct-Δ1tSt-Δ2tPt)dt，

結(jié)合式(5), 得到了分?jǐn)?shù)Vasicek隨機(jī)利率下分紅保底基金的價(jià)值Ct所滿(mǎn)足的定價(jià)方程

由于有銀行提供擔(dān)保，因此這里就不存在違約的可能性，于是，這里的定解就轉(zhuǎn)化為

經(jīng)過(guò)運(yùn)算，最終可以得到

其中

3 結(jié) 語(yǔ)

本研究雖然推導(dǎo)得到了分?jǐn)?shù)Vasicek金融市場(chǎng)下保本基金的顯式解，但是在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，模型中的假設(shè)條件并不能完全滿(mǎn)足，比如交易費(fèi)用；另外一個(gè)值得考慮的問(wèn)題是，保本基金的擔(dān)保，中國(guó)目前發(fā)行的保本基金是需要第三方進(jìn)行擔(dān)保的，當(dāng)無(wú)擔(dān)保時(shí)，若基金投資市場(chǎng)低迷，發(fā)生損失，則基金發(fā)起人要兌現(xiàn)當(dāng)初的保本收益承諾就必須以自有資金來(lái)承擔(dān)投資損失，否則也是對(duì)保本基金的違約，在這種情況下，之前的設(shè)計(jì)條款就不再適用，需要重新設(shè)計(jì)，再建立新的模型對(duì)保本基金定價(jià)。

[1] 中國(guó)證券監(jiān)督管理委員會(huì).證監(jiān)會(huì)公告[2010]30號(hào)——關(guān)于保本基金的指導(dǎo)意見(jiàn)[EB/OL].(2010-06-20)[2012-11-26].http://www.csrc.gov.cn/pub/zjhpublic/G00306201/201011/t20101101_186102.htm.

[2] 葉子.保本基金悄然擴(kuò)容 南方基金上演“保本不斷檔”[N].中山商報(bào)，2012-10-23(B2).

[3] Kolmogorov A N. Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum[J].Comptes Rendus(Doklady)de L′Académie Des Science de L′URSS,1940,26:115-118.

[4] Black F, Scholes M S. The pricing of option and corporate liabilities[J].Journal of Political Economics,1973,81:637-659.

[5] Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure[J].Journal of Financial Economics,1997,5:177-188.

[6] Lando D. Credit Risk Modeling: Theory and Applications[M].New Jersey: Princeton University Press,2004:119-121.

[7] 黃文禮，陶祥興，李勝宏.分?jǐn)?shù)維Vasicek利率模型下的歐式期權(quán)定價(jià)公式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012,55(2):199-230.

[8] Necula C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J].Mathematical Reports,2004,6(3):259-273.

PricingresearchforsegregatedfundunderfractionalVasicekstochasticratemodel

FU Xiuyan1, LIU Leilei2, TAO Xiangxing3, HUANG Wenli3

(1. Faculty of Science, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2. School of Finance, Central University of Finance and Economics, Beijing 102206,China; 3. School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

We propose the design principle and pricing method about dividend segregated fund related to stock index under the background of fractional financial market.We have the pricing formula of dividend segregated fund related to stock index under fractional Vasicek stochastic rate model, making use of risk hedging,stochastic process and partial differential equation,and obtain explicit solution finally.

segregated fund; fractional financial market; risk hedging; partial differential equation model; stochastic rate model

O211.5;F224.0

A

1671-8798(2013)01-0001-05

10.3969/j.issn.1671-8798.2013.01.001

2013-01-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171306)

付秀艷(1987— )，女，安徽省阜陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)。

陶祥興，教授，博士，主要從事調(diào)和分析與偏微分方程研究。