焦健，楊志華，顧術(shù)實(shí)，周潔，張欽宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055）

1 引言

近年來，LT碼作為一種能夠以任意概率逼近香農(nóng)極限的無碼率糾刪碼，受到分組通信業(yè)務(wù)的廣泛關(guān)注[1]。它將帶有檢錯(cuò)機(jī)制的分組交換信道等效為刪除信道，將傳統(tǒng)糾刪編碼的處理對(duì)象拓展到了數(shù)據(jù)分組，形成了一種無需反饋鏈路、高效可靠的前向糾刪機(jī)制。尤其是碼長(zhǎng)較短的LT碼(103數(shù)量級(jí))，適用于節(jié)點(diǎn)運(yùn)算能力受限的容遲網(wǎng)絡(luò)場(chǎng)景的信息糾錯(cuò)(如物聯(lián)網(wǎng)、深空探測(cè)等)。LT碼的編譯碼算法的漸近性能取決于輸出度分布的選擇[2,3]，度的平均值是衡量編碼冗余與編譯碼復(fù)雜度的關(guān)鍵參數(shù)，目前采用的經(jīng)典輸出度分布是魯棒孤波分布及其優(yōu)化解。Luby設(shè)計(jì)了一種低復(fù)雜度的消息傳遞(BP,belief propagation)譯碼算法，譯碼的復(fù)雜度與編碼Tanner圖的關(guān)聯(lián)邊數(shù)成正比，當(dāng)輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)量較大時(shí)，BP譯碼算法對(duì)符合泊松分布輸入度分布的譯碼性能最優(yōu)[4,5]。但是，LT碼的隨機(jī)編碼方式以及生成矩陣的稀疏特性，使其在碼長(zhǎng)較短時(shí)無法保證對(duì)輸入節(jié)點(diǎn)的全選覆蓋，需要較大的編碼冗余才能保證恢復(fù)所有的輸入節(jié)點(diǎn)。

針對(duì)這個(gè)問題，通過引入修正的期望可譯集(ERS)可得到短碼長(zhǎng)LT碼的離散密度進(jìn)化度分布[6]，但該分布只能保證恢復(fù)出盡量多的原始數(shù)據(jù)分組，而不是恢復(fù)出整個(gè)原始文件。Hyytia引入馬爾科夫過程進(jìn)行建模，通過較高復(fù)雜度的算法設(shè)計(jì)，給出了極短碼長(zhǎng)條件下(小于 100)LT碼的最優(yōu)解[7]。Zhu提出了一種度分布優(yōu)化算法[8]，該算法給出了中短碼長(zhǎng)的次優(yōu)LT碼度分布。而Huang等人利用混沌算法和Logistic映射改進(jìn)短碼長(zhǎng)LT碼的編碼算法，在編碼冗余較大時(shí)(0.37～0.45)獲得了性能優(yōu)化[9,10]。Gong提出了LT碼的Tanner圖展開PEG(progressive edge-growth)算法[11]，盡可能選擇具有最小度數(shù)的未被覆蓋的信息節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)相連，并試圖獲得輸入節(jié)點(diǎn)的泊松分布，該算法對(duì)于構(gòu)造實(shí)用短碼長(zhǎng)的LT碼提供了有益的探索。在LT碼譯碼研究方面，許多研究把 Turbo、LDPC碼的似然譯碼技術(shù)引入到噴泉碼的譯碼算法中，以解決BP譯碼算法效率不高的問題。Sarwate提出了類似最大似然的譯碼算法[12]，充分利用信道狀態(tài)信息等軟信息設(shè)計(jì)了似然譯碼算法。Heo提出了一些改進(jìn)算法降低了譯碼復(fù)雜度[13]，但實(shí)現(xiàn)起來較為困難。Kim提出了Raptor碼的漸增高斯譯碼算法[14]，通過設(shè)計(jì)類似高斯譯碼矩陣求逆的方式進(jìn)行譯碼，獲得譯碼性能與譯碼算法復(fù)雜度較好的折衷，為噴泉碼的改進(jìn)提供了一種可借鑒的思路。以上分析表明，隨機(jī)編碼方式使得短碼長(zhǎng)LT碼需要較高的編碼冗余才能保證接收端能夠恢復(fù)所有的原始信息。而目前普遍采用的BP譯碼算法啟動(dòng)門限較高，需要收到絕大部分的編碼分組才能進(jìn)入譯碼瀑布區(qū)。本文綜合考慮上述短碼長(zhǎng)LT碼的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出了基于隨機(jī)置換展開與停止集的聯(lián)合編譯碼算法，限制編碼過程中節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)連接性，充分利用 BP譯碼過程的剩余信息，有效地提高了短碼長(zhǎng) LT碼的編譯碼性能。

本文第2節(jié)針對(duì)編碼Tanner圖，設(shè)計(jì)了針對(duì)短碼長(zhǎng)LT碼的隨機(jī)置換展開(RPEG, random permute edge-growth)算法，給出了算法的可譯碼概率與所需的編碼冗余理論表達(dá)式。第3節(jié)針對(duì)BP譯碼算法效率不高的問題，設(shè)計(jì)了停止集高斯譯碼(SSGE,stopping set gaussian elimination)算法。第4節(jié)針對(duì)所設(shè)計(jì)的聯(lián)合編譯碼算法進(jìn)行了仿真分析和結(jié)果討論。最后給出了本文的結(jié)論。

2 基于隨機(jī)置換展開的編碼算法

給定 LT碼的輸入分組數(shù)據(jù)向量 S: S={S1,S2,… ,Sk}，輸出數(shù)據(jù)向量D:D ={ D1, D2,… ,Dn,…}和輸出度分布生成函數(shù)Ω(x):Ω(x) =，?i為重量為 i的輸出分組在全體輸出中的歸一化比例，則LT碼的編碼過程可表示為

其中，G為表征編碼關(guān)系的k×n階生成矩陣。根據(jù)式(1)及矩陣?yán)碚摽芍?，?dāng)且僅當(dāng)矩陣 G行滿秩，接收端才可能譯碼成功，即輸入節(jié)點(diǎn)全選是其必要條件。

定義隨機(jī)編碼方式的LT碼參數(shù)(k, n, ?)，輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為k，輸出編碼分組數(shù)為n，以概率?i產(chǎn)生一個(gè)重量為i的輸出分組(即Tanner圖中與該輸出分組連接的邊數(shù)量為i)，則一個(gè)輸出分組的平均關(guān)聯(lián)邊數(shù)量為=Ω'(1)，因此 Tanner圖共有nΩ' (1)條連接邊。而一個(gè)特定輸入節(jié)點(diǎn)在一次隨機(jī)編碼過程中未被選中的概率為(1- 1 k)，則影響LT碼可譯碼性能的輸入節(jié)點(diǎn)漏選概率 P可由下式計(jì)算

以具有稀疏特性的魯棒孤波分布(RSD, robust soliton distribution)為例，設(shè)不可譯概率參數(shù)δ，譯碼算法可靠性參數(shù) c，定義R =(k δ)，則度分布生成函數(shù)?(x)為[15]

將式(3)代入式(2)可計(jì)算出保證 LT碼可譯碼概率達(dá)到 10?4時(shí)，編碼端的輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)量與對(duì)應(yīng)的最少編碼分組個(gè)數(shù)，表1給出了碼長(zhǎng)為1000以下的計(jì)算結(jié)果(取c=0.03，δ=0.05)。由表1可以看出，對(duì)于103及更小碼長(zhǎng)的LT碼，使用隨機(jī)編碼方式的LT碼不可避免地需要增加編碼冗余以保證譯碼可靠性。

表1 魯棒孤波度分布譯碼失敗概率10?4所需編碼分組數(shù)量

針對(duì)此問題，本文提出基于隨機(jī)置換展開(RPEG)編碼算法，該算法通過限制LT碼隨機(jī)編碼方式的隨機(jī)性，提高碼字距離，以較小的編碼冗余達(dá)到輸入節(jié)點(diǎn)的全選覆蓋。設(shè) RSD度分布的重量為?w，定義LT編碼分組Di,j，其中，i≤N表示編碼分組的數(shù)量，j表示第j個(gè)RPEG的置換展開區(qū)間；{Di,j}表示 Di,j中包含的原始分組；在第 j個(gè)RPEG置換展開區(qū)間的編碼向量選擇空間為Sj，且累計(jì)的原始編碼分組個(gè)數(shù)為Wj，具體算法流程如圖1所示。

Tanner圖如圖2所示，由算法步驟及圖2(a)可知，Tanner圖的輸入節(jié)點(diǎn)是近似于均勻分布的，而輸出節(jié)點(diǎn)度分布仍維持所選取的魯棒孤波分布，RPEG算法在沒有改變度分布和編碼復(fù)雜度的前提下，提高了碼字距離，保證了編碼分組對(duì)原始信息的隨機(jī)均勻覆蓋，圖2(b)直觀地體現(xiàn)了其優(yōu)化效果。Tanner圖中小環(huán)的存在嚴(yán)重影響LT碼的譯碼性能，本文提出的RPEG編碼算法盡力抑制編碼過程中小環(huán)的產(chǎn)生。但在抑制小環(huán)的同時(shí)，需要注重保留碼字之間的一定相關(guān)性，避免BP譯碼過程提前終止，以保證對(duì)完全無環(huán)的Tanner圖的譯碼可靠性。

通過小環(huán)產(chǎn)生概率的推導(dǎo)給出對(duì)此問題的分析。給定隨機(jī)編碼方式的LT碼參數(shù)(k, n, ?)，則k×n階編碼生成矩陣G中度為i的列向量生成概率為

圖1 隨機(jī)置換展開編碼算法流程

而生成矩陣G中存在環(huán)長(zhǎng)為4即存在另一列與該列在2個(gè)相同的行位置為1，設(shè)該列的度為j，顯然有i, j＞1，則這兩列具有4環(huán)的概率Pgirth4(i,j)為

圖2 隨機(jī)置換展開編碼算法的Tanner圖

則對(duì)于k×n階編碼生成矩陣G存在4環(huán)的概率Pgirth4為

由RPEG編碼算法可知，構(gòu)造的k×n階編碼生成矩陣GRPEG近似地分為nΩ'(1)k個(gè)隨機(jī)置換展開區(qū)間，通過設(shè)置可在同區(qū)間內(nèi)完全避免4環(huán)的產(chǎn)生。設(shè)α=k Ω'(1)，根據(jù)式(6)可近似地推導(dǎo)出RPEG編碼的4環(huán)生成概率Pgirth4_RPEG為

由式(7)可以看出，控制參數(shù)α可以實(shí)現(xiàn)性能改進(jìn)，即通過降低輸出節(jié)點(diǎn)的平均度'(1)Ω來降低環(huán)的生成概率，并且不會(huì)對(duì)式(2)計(jì)算漏選概率產(chǎn)生影響。以編碼復(fù)雜度為常數(shù)的弱魯棒分布(WRSD)為例，其生成函數(shù)為[3]

3 面向隨機(jī)置換展開編碼算法的BP譯碼算法改進(jìn)

針對(duì)隨機(jī)置換展開編碼的LT碼，本文采用具有較低計(jì)算復(fù)雜度的BP譯碼算法進(jìn)行譯碼。如果想要保證BP算法的譯碼過程順利進(jìn)行，必須滿足每一步譯碼之后譯出新的度為 1的分組，否則 BP譯碼中止。因此，譯碼過程中每一步的失敗概率是衡量BP譯碼算法的重要性能指標(biāo)。

定義1 LT碼的BP譯碼狀態(tài)為(u, r, c)，u為此刻未譯碼的輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)量(u≤k)，r為該時(shí)刻BP譯碼傳遞波紋算子(即譯碼緩存中度為 1的包)，c為該狀態(tài)下緩存中度大于1的分組。則譯碼器對(duì)于一個(gè)度為i的輸出分組Di進(jìn)行譯碼，在該譯碼狀態(tài)下能夠成功恢復(fù)出一個(gè)新的輸入節(jié)點(diǎn)的概率p(i, u)為[2]

在式(9)中，度為i的編碼分組Di所連接的輸入節(jié)點(diǎn)包括:1) 1個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，是第(k?u)次BP譯碼中即將譯出的輸入節(jié)點(diǎn)；2) 1個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，包含在u個(gè)未譯碼的輸入節(jié)點(diǎn)集中；3) (i?2)個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，包含在已被譯碼的(k?u?1)個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)集中。結(jié)合LT碼的度分布?，可獲得此狀態(tài)下譯碼器能夠譯出一個(gè)新的輸入節(jié)點(diǎn)的概率。

式(10)僅包含了此狀態(tài)下被譯碼的編碼分組，其所連接的輸入節(jié)點(diǎn)的一種組成情況。

對(duì)于度為i的編碼分組Di所連接的另外一種輸入節(jié)點(diǎn)組成:1) 1個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，在第(k?u)次BP譯碼時(shí)即將被譯出的輸入節(jié)點(diǎn)；2) (i?1)個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，包含在已被譯碼的(k?u)個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)集中，概率為

同時(shí)，還存在著編碼分組Di所連接的第3種輸入節(jié)點(diǎn)組成，即該編碼分組中所有的輸入節(jié)點(diǎn)都已經(jīng)在第(k?u)次BP譯碼之前被譯出的情況

聯(lián)立式(10)～式(12)即可獲得 BP譯碼的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pu[15]

給定譯碼器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pu，可以推出譯碼器各個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到BP譯碼停止?fàn)顟B(tài)(u＞0, r=0, c＞0)的概率，此概率即為BP譯碼在每一步譯碼過程中可能的失敗概率。

針對(duì)BP譯碼過程的提前中止問題，本文充分利用BP譯碼過程中的剩余信息，采用高斯消去(GE,gaussian elimination)譯碼算法重新啟動(dòng)譯碼過程，保證譯碼的順利完成，該算法既解決了BP譯碼停止問題，也降低了全局采用GE譯碼的譯碼復(fù)雜度。

圖3 RSD分布隨機(jī)編碼的BP停止集

圖4 RSD分布RPEG編碼的BP停止集

圖5 WRSD分布RPEG編碼的BP停止集

定義2 給定編碼冗余下，BP譯碼提前終止時(shí)剩余的所有度大于1的編碼節(jié)點(diǎn)集合稱之為停止集H。圖3～圖5給出了原始分組數(shù)量分別100, 300, 500,800, 1000條件下，運(yùn)行10000次BP譯碼(迭代20次)在不同編碼冗余下的歸一化停止集大小?？梢钥闯?，1000以下的短碼長(zhǎng)LT碼運(yùn)用BP譯碼算法，譯碼停止集在編碼冗余接近0.25之后才逐漸消失，在編碼冗余為0.1～0.2區(qū)間里，歸一化的停止集接近0.2左右，采用停止集高斯譯碼算法(SSGE)，存在很大的可利用空間。

基于BP譯碼的停止集，下面給出具體的算法模型，設(shè)接收端正確收到的編碼分組構(gòu)成的生成矩陣為G，則流程如圖6所示。

圖6 停止集高斯譯碼算法流程

相對(duì)于采用全局高斯譯碼算法，本算法的譯碼開銷與前半段BP譯碼過程能恢復(fù)的原始節(jié)點(diǎn)數(shù)量有關(guān)。由圖3可知，隨著BP譯碼能恢復(fù)絕大部分的原始節(jié)點(diǎn)，譯碼失敗時(shí)G中剩余的停止集H較小，所帶來后續(xù)高斯譯碼的譯碼開銷相對(duì)較小。若歸一化停止集比例設(shè)為η，對(duì)于采用 RSD分布編碼的SSGE譯碼開銷為O( nlog(k)+(η k)3)，而采用WRSD分布的 SSGE譯碼開銷為O( n log(+(ηk)3)，對(duì)于特定的編碼冗余(如0.25)，則增加的譯碼復(fù)雜度幾乎可忽略。

4 仿真結(jié)果討論

本文中把譯碼失敗次數(shù)占總仿真次數(shù)的比例，即譯碼失敗概率(decoding failure rate)作為衡量LT碼性能的重要指標(biāo)，通過仿真對(duì)比分析提出的RPEG編碼算法，SSGE譯碼算法以及采用聯(lián)合編譯碼算法的性能，表2給出仿真參數(shù)配置。

表2 蒙特卡洛仿真參數(shù)配置

4.1 RPEG編碼方案對(duì)于BP譯碼算法可譯碼性能的改善

圖7給出了RPEG編碼方式下RSD和WRSD 2種度分布在原始數(shù)據(jù)數(shù)量為 k=100, 300, 500,800, 1000時(shí)，隨著編碼冗余變化所對(duì)應(yīng)的譯碼失敗概率曲線。結(jié)果表明，碼長(zhǎng)為1000和800的LT碼采用RPEG編碼算法后，以增加一個(gè)可選輸入節(jié)點(diǎn)緩存空間的代價(jià)，只需0.3的編碼冗余即可達(dá)到10?4的譯碼失敗概率。與表1中所需編碼冗余比較，明顯提高了103及以下碼長(zhǎng)的BP譯碼性能。因此，RPEG編碼方案可以充分保證輸出編碼數(shù)據(jù)的可解性，對(duì)于編譯碼緩存空間受限和實(shí)時(shí)性要求較高的可靠傳輸業(yè)務(wù)具有廣泛的應(yīng)用前景。

RSD的編碼開銷為O(nlog(k))，WRSD的編碼開銷為O(nlog(1/ε))，表3進(jìn)一步給出了對(duì)應(yīng)碼長(zhǎng)的RSD與WRSD的平均度，其中，WRSD的平均度由參數(shù)ε唯一確定，而RSD的平均度隨著輸入節(jié)點(diǎn) k的增加以log(k)增加。而圖7(a)的WRSD與圖5(b)RSD的BP譯碼性能非常接近，甚至在某些編碼冗余點(diǎn)上較 RSD的譯碼性能稍好，驗(yàn)證了式(7)描述:通過降低LT編碼分組的平均度，能增大RPEG編碼過程中置換展開的空間，從而降低小環(huán)產(chǎn)生的機(jī)率，獲得BP譯碼性能的提升。

圖7 RPEG編碼的BP譯碼性能

表3 RSD與WRSD不同碼長(zhǎng)的平均度

4.2 RPEG編碼算法在不同信道條件下的譯碼性能

給定發(fā)送端輸出n=2k數(shù)量的LT編碼分組，以隨機(jī)刪除信道的分組丟失率作為信道參數(shù)，接收端能接收的分組數(shù)量從 k增加到 1.6k，圖 8給出了RPEG編碼的LT碼在不同信道參數(shù)條件下(分組丟失率變化)的譯碼性能?？梢钥闯?，在信道逐漸變差時(shí)，RPEG算法的編碼輸出分組仍然能保持LT碼接收到一定數(shù)量編碼分組后，以較高的概率恢復(fù)全部原始信息。這是RPEG編碼算法與類LDPC編碼結(jié)構(gòu)或PEG技術(shù)相比，其優(yōu)勢(shì)所在。后2種類似固定編碼結(jié)構(gòu)的算法在高分組丟失率的環(huán)境下，無法應(yīng)付信道中的突發(fā)差錯(cuò)，譯碼性能急劇下降。而RPEG編碼算法具有隨機(jī)編碼特點(diǎn)，在面臨信道條件變差時(shí)性能上更趨穩(wěn)定[16,17]。進(jìn)一步對(duì)比圖8(a)與圖 8(b)可發(fā)現(xiàn)，WRSD在分組丟失率大于0.25時(shí)，已無法達(dá)到10?4的譯碼失敗概率，而相同條件下 RSD可對(duì)抗 0.325左右的分組丟失率。這是由于RSD的平均度較高，比WRSD分布通過RPEG編碼置換展開的區(qū)間更多，因此發(fā)生分組丟失時(shí)，仍有相當(dāng)數(shù)量的展開區(qū)間維持完整以保護(hù)譯碼性能的頑健性。

圖8 隨分組丟失率變化的RPEG編碼BP譯碼性能

4.3 隨機(jī)編碼方式下SSGE譯碼算法的性能比較

圖7對(duì)比了在碼長(zhǎng)k≤1000的LT碼采用RSD隨機(jī)編碼方案下，不同譯碼算法的譯碼失敗概率。從圖9(a)可以看出，BP譯碼算法需要0.5以上的編碼冗余，才能達(dá)到10?4的譯碼失敗概率。隨著碼長(zhǎng)降低，所需的冗余進(jìn)一步加大。而圖9(b)的GE譯碼算法，在相同的編碼冗余下能達(dá)到稍低的譯碼失敗概率，相比于BP算法更接近可譯碼極限。圖9(c)的SSGE譯碼性能曲線與圖9(b)幾乎一致，證明第3節(jié)給出的SSGE算法在BP譯碼算法的基礎(chǔ)上通過增加有限的譯碼復(fù)雜度，使得LT碼的譯碼性能逼近最大似然譯碼的性能。

圖9 RSD分布隨機(jī)編碼的BP、GE、SSGE的譯碼性能比較

4.4 RPEG編碼算法與 SSGE譯碼算法的聯(lián)合編譯碼性能

在以上實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，聯(lián)合采用RPEG編碼算法與SSGE譯碼算法，分析其對(duì)短碼長(zhǎng)LT碼性能的改善作用。圖10給出了短碼長(zhǎng)LT碼采用RPEG編碼與SSGE譯碼算法后的譯碼失敗概率。對(duì)比圖10與圖7、圖9可以看出，聯(lián)合編譯碼算法在沒有改變度分布的前提下，通過對(duì)Tanner圖連接邊過程的隨機(jī)性進(jìn)行部分限制，提高了碼字距離，獲得對(duì)原始信息的隨機(jī)均勻覆蓋，提高了短碼長(zhǎng)下生成矩陣G的行滿秩概率。聯(lián)合算法隨著輸入節(jié)點(diǎn)的增加迅速地提高了LT碼的譯碼性能，對(duì)于800和1000的碼長(zhǎng)只需要不超過0.1的編碼冗余，就能達(dá)到10?4的譯碼成功概率。而對(duì)于500和300碼長(zhǎng)也降低了20%的編碼冗余開銷，算法的計(jì)算復(fù)雜度與直接使用GE相比降為O(η3)。

圖10 RPEG編碼與SSGE譯碼的聯(lián)合算法

5 結(jié)束語

針對(duì)短碼長(zhǎng)(103以下)LT碼設(shè)計(jì)中，在保證較穩(wěn)定的譯碼恢復(fù)概率時(shí)，需要增加編碼冗余的問題，本文設(shè)計(jì)了RPEG算法以限制編碼矩陣Tanner圖連接邊的部分隨機(jī)性，使得輸入節(jié)點(diǎn)變?yōu)榻凭鶆虻亩确植?，提高了碼長(zhǎng)為103以下短碼長(zhǎng)噴泉碼的可譯碼性能。在此基礎(chǔ)上，充分利用了BP譯碼算法的剩余信息，設(shè)計(jì)了基于停止集的SSGE譯碼算法，實(shí)現(xiàn)了在接收編碼冗余0.2以上的條件下，以約等于GE譯碼開銷O(η3)的計(jì)算復(fù)雜度獲得最大似然的譯碼性能。仿真結(jié)果表明，在保留LT碼無碼率特點(diǎn)的情況下，采用上述聯(lián)合編譯碼算法，相對(duì)于傳統(tǒng)的 LT碼編譯碼算法具有較大的性能優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了短碼長(zhǎng)LT碼設(shè)計(jì)中編碼冗余與譯碼性能之間的折衷。未來將從理論分析角度深入研究LT碼字中小環(huán)與BP譯碼的關(guān)系，以探明LT碼BP可譯的充分條件，并進(jìn)一步提高RPEG算法編碼性能。

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