黃 祥

基于改進(jìn)單純形法的零件幾何誤差評(píng)定

黃 祥

（安徽國(guó)防科技職業(yè)學(xué)院實(shí)訓(xùn)中心，安徽，六安 237011）

在建立幾何誤差評(píng)定規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，以軸類(lèi)零件圓度的評(píng)定為例，應(yīng)用改進(jìn)單純形法對(duì)幾何誤差規(guī)劃模型進(jìn)行優(yōu)化求解，并給出了詳細(xì)的求解進(jìn)程。將評(píng)定結(jié)果與現(xiàn)有的優(yōu)化算法結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明基于改進(jìn)單純形法的幾何誤差評(píng)定，具有精度高和計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際生產(chǎn)中有較好的實(shí)用性。

幾何誤差；改進(jìn)單純形法；誤差評(píng)定；規(guī)劃模型

0 引言

在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，不但要求零件保證其尺寸精度，對(duì)它的形狀和位置精度也有很高的要求。準(zhǔn)確地評(píng)定零件的幾何誤差，為提高零件加工精度和裝配精度提供可靠的依據(jù)。隨著近代科學(xué)的迅速發(fā)展和生產(chǎn)水平的不斷提高，零件的制造精度和檢驗(yàn)儀器的計(jì)量精度也隨之有了較大的提高，因而對(duì)幾何誤差的評(píng)定方法、評(píng)定理論、解算方法等問(wèn)題的研究，便成為計(jì)量學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。

零件幾何誤差的優(yōu)化評(píng)定是一件比較復(fù)雜的工作，目前評(píng)定大多數(shù)采用最小二乘法，該評(píng)定方法計(jì)算簡(jiǎn)單快捷，但僅能近似評(píng)定，不能滿(mǎn)足幾何誤差最小條件評(píng)定原則[1]。嚴(yán)格的按照最小條件進(jìn)行評(píng)定的方法是最小區(qū)域法[2]，其本質(zhì)在于按不同的準(zhǔn)則求出相應(yīng)的理想要素，在數(shù)學(xué)上屬于極大值極小化問(wèn)題或極小值極大化問(wèn)題[3]。在建立典型幾何誤差評(píng)定規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，探討將改進(jìn)單純形法應(yīng)用于幾何誤差的優(yōu)化評(píng)定中，以求對(duì)形狀誤差的評(píng)定能夠在精度與速度上有所突破，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法結(jié)果精確、運(yùn)算速度快，且在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)智能判定和結(jié)果可視化。

2 典型幾何誤差規(guī)劃模型的建立

幾何誤差是實(shí)際要素對(duì)其理想要素的變動(dòng)量，理想要素的位置是決定誤差大小的重要因素。依據(jù)理想要素的位置和幾何誤差之間的關(guān)系，通過(guò)誤差變換，建立典型幾何誤差優(yōu)化評(píng)定模型如下。

①平面度評(píng)定模型

式中為目標(biāo)函數(shù)，和為特征參量，分別表示理想外接圓最大半徑和理想內(nèi)接圓最小半徑。

②圓度誤差評(píng)定模型

用兩個(gè)理想同心圓包容實(shí)際要素為最小時(shí)，包容域的寬度即為圓度誤差，為雙包容擬合，圓度最小區(qū)域評(píng)定規(guī)劃模型為：

被測(cè)點(diǎn)以 (θ,R)來(lái)表示，其中θ為轉(zhuǎn)角參數(shù)， R為采樣點(diǎn)處測(cè)得的半徑值。

③圓柱度誤差評(píng)定模型

用兩個(gè)同軸的理想圓柱包容實(shí)際要素，當(dāng)包容域最小時(shí)，包容域?qū)挾燃礊閳A柱度誤差，為雙包容擬合，圓柱度最小區(qū)域評(píng)定規(guī)劃模型為：

被測(cè)點(diǎn)以 (θ,z,R)來(lái)表示，其中θ為轉(zhuǎn)角參數(shù)，z為軸向坐標(biāo)，R為采樣點(diǎn)處測(cè)得的半徑值。

④平行度（面對(duì)面）評(píng)定模型

用兩個(gè)與基準(zhǔn)平面平行的平面，去包容實(shí)際要素（平面），當(dāng)包容為最小時(shí)達(dá)到定向最小，包容域?qū)挾燃礊槠叫卸日`差。平行度最小區(qū)域規(guī)劃模型為：

上述僅討論了常見(jiàn)典型幾何誤差的評(píng)定模型，實(shí)際上，通過(guò)研究理想要素的位置和幾何誤差之間的關(guān)系即誤差變換，諸多幾何誤差評(píng)定問(wèn)題都可以歸結(jié)為形如以上的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)目標(biāo)約束優(yōu)化的過(guò)程。

2 規(guī)劃模型的改進(jìn)單純形法求解

誤差評(píng)定規(guī)劃模型求解實(shí)際上是復(fù)雜線(xiàn)性規(guī)劃的求解。標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性規(guī)劃的可行域是凸多面體，若非空，則必有基本可行解；若有最優(yōu)解，則必有最優(yōu)基本可行解。由此看來(lái)，只須進(jìn)行基本可行解的疊代。單純形法的尋優(yōu)過(guò)程可以通過(guò)基本可行解來(lái)描述：①把線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的約束方程組表達(dá)成典范型方程組，找出基本可行解作為初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即約束條件有矛盾，則問(wèn)題無(wú)解。③若基本可行解存在，從初始基本可行解作為起點(diǎn)，根據(jù)最優(yōu)性條件和可行性條件，引入非基變量取代某一基變量，找出目標(biāo)函數(shù)值更優(yōu)的另一基本可行解。④按步驟③進(jìn)行迭代，到對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)數(shù)滿(mǎn)足最優(yōu)性條件，即得到問(wèn)題的最優(yōu)解。

對(duì)于典范型線(xiàn)性規(guī)劃模型表示為[4]：

與其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值是

1）將把一般線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題化為典范型；

3 實(shí)例分析

圖1為一階梯軸[5]，現(xiàn)要對(duì)零件某段進(jìn)行圓度誤差評(píng)定，其圓度公差值為t=0.008mm，采用六截面等間距周線(xiàn)測(cè)量法進(jìn)行數(shù)據(jù)的提取，利用改進(jìn)單純形法評(píng)定某截面處圓度誤差，并與其它評(píng)定方法進(jìn)行比較。

圖1 被測(cè)軸

表1為改進(jìn)單純形法、最小二乘法、最小外接圓法、最大內(nèi)切圓法圓度評(píng)定結(jié)果，規(guī)劃模型求解方法采用改進(jìn)單純形優(yōu)化算法，由表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，改進(jìn)單純形法評(píng)定結(jié)果最小，可以用來(lái)對(duì)零件圓度合格性進(jìn)行仲裁。

表1 圓度評(píng)定結(jié)果單位(μm)

4 結(jié)論

依據(jù)幾何誤差特征建立了典型幾何誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型，并將規(guī)劃模型歸為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。提出了將改進(jìn)單純形法應(yīng)用于幾何誤差模型的優(yōu)化求解中，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)測(cè)，驗(yàn)證了幾何誤差評(píng)定的正確性、可行性和較好的實(shí)用性,這為實(shí)際工程中幾何誤差的快速而準(zhǔn)確的評(píng)定提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持。

[1] ISO/TS 17450-1:2000(E) Geometrical Product Specification (GPS) —General concepts—Part 2:Model for geometrical specification and verification [S].

[2] 李秀明,石照耀.基于凸多邊形的直線(xiàn)度誤差的評(píng)定[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2008,27 (6):736-738.

[3] 鄭鵬,張琳娜. 形狀誤差目標(biāo)函數(shù)單谷性的分析與研究[J].計(jì)量與測(cè)試技術(shù), 2007, 34(11):16-18.

[4] 粟時(shí)平,李圣怡,王貴林.基于鞍點(diǎn)規(guī)劃法的形位誤差計(jì)算機(jī)評(píng)定[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2003,24(1):26-28.

PART GEOMETRIC ERROR EVALUATION BASED ON MODIFIED SIMPLEX METHOD

HUANG Xiang

( Centre of Training Anhui Vocational, College of Defence Technology Liuan, Liuan, Anhu 237011, China)

We proposed the modified simplex method on solving optimization programming model of geometric errors based on the establishment of geometric error evaluation planning model. We also present a detailed solving process. The assessment results are compared with the results of existing optimization algorithm. The results show that the geometric error evaluation based on the modified simplex method has the advantages of high accuracy and fast calculation speed, which has the good practicality in actual production.

geometric error; modified simplex method; error verification; programming model

TH124; TG801

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.03.015

1674-8085(2013)03-0063-03

2012-05-15；

2013-03-06

2013年度安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2013B047)

黃 祥(1969-)，男，安徽六安人，副教授，碩士，主要從事數(shù)控技術(shù)與測(cè)控技術(shù)方面研究(E-mail:ahhx6902@163.com).