劉 敏，趙 彬

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710062）

偏序集理論在數(shù)學(xué)以及相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．但由于分明偏序僅能刻畫(huà)元素之間的大小關(guān)系而不能反映其相對(duì)大或小的程度，因此自從Zadeh提出模糊集的概念以來(lái)許多學(xué)者致力于將分明的序關(guān)系推廣到多值的情形．近年來(lái)，由于Ω－范疇理論［1－5］、量化Domain理論［6－10］的發(fā)展，一種新的模糊偏序［6，8，11］被提出．分明偏序集理論中的許多重要概念與結(jié)論，相繼被推廣到模糊偏序集的框架之下．

完備格同余關(guān)系是偏序集理論中的一個(gè)重要概念，它與偏序集上的閉包算子、閉包系統(tǒng)等概念有密切的關(guān)系．因此，在模糊偏序集的理論框架下能否引入模糊完備格同余關(guān)系，它與模糊偏序集中已有的閉包算子等概念之間是否存在如分明情形下的關(guān)系是一個(gè)值得研究的問(wèn)題．基于以上情況，本文在模糊完備格中引入模糊完備格同余關(guān)系，并進(jìn)一步討論它與模糊閉包算子之間的關(guān)系．

1 預(yù)備知識(shí)

文中L均表示一個(gè)Frame［12］．用1、0分別表示L的最大元與最小元．為了統(tǒng)一概念，下面回顧有關(guān)模糊偏序集的概念和結(jié)論．相關(guān)內(nèi)容來(lái)自文獻(xiàn)［6－11］．

定義1［6－7，11］設(shè)X是一個(gè)集合，稱(chēng)映射e：X×X→L為X上的模糊偏序，如果e滿(mǎn)足：

（E1）?x∈X，e（x，x）＝1；

（E2）?x、y、z∈X，e（x，y）∧e（y，z）≤e（x，z）；

（E3）?x、y∈X，e（x，y）＝e（y，x）＝1蘊(yùn)含x＝y(tǒng)，此時(shí)，稱(chēng)序?qū)Γ╔，e）為一個(gè)模糊偏序集．

設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，定義X上的二元關(guān)系≤e為x≤ey當(dāng)且僅當(dāng)e（x，y）＝1，則（X，≤e）是一個(gè)偏序集．通常記由模糊偏序集（X，e）誘導(dǎo)的偏序集（X，≤e）為X0．記X0中的并交運(yùn)算為∨，∧．

例1 下面給出本文將要用到的模糊偏序集的例子：

（1）定義eL：L×L→L為?α、β∈L，eL（α，β）＝α→β，則（L，eL）是模糊偏序集；

（2）設(shè)（X，e）是模糊偏序集，Y?X，則（Y，e｜Y×Y）也是模糊偏序集，稱(chēng)為X的子模糊偏序集，簡(jiǎn)記為（Y，e）；

（3）設(shè)X是一個(gè)集合，（Y，eY）是一個(gè)模糊偏序集，記X到Y(jié)的所有映射之集為YX．定義sub：YX×YX→L為：?f、g∈YX，sub（f，g）g（x）），則（YX，sub）是模糊偏序集．

定義2［8］設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，A∈LX，a∈X，

（?。?x∈X，A（x）≤e（x，a）；

（?。?x∈X，A（x）≤e（a，x）；

由（E3）可知，若上確界（或下確界）存在則必唯一．

注1［8］設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，A∈LX，a∈X，則

（3）定義↓A∈LX為：?x∈X，（↓A）（x）＝（A（y）∧e（x，y）），則A存在當(dāng)且僅當(dāng)↓A存在，此時(shí)

定義3［8，10］設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，若?A∈LXA和A存在，則稱(chēng)X是模糊完備格．

注2［7，10］設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，則以下條件等價(jià)：

（1）（X，e）是模糊完備格；

（2）?A∈LXA存在；

（3）?A∈LXA存在．

易證，若（X，e）是模糊完備格，則X0是完備格．?A?X0，∨A＝χA，χA：X→L是A的特征函數(shù)，當(dāng)x∈A時(shí)χA（x）＝1；當(dāng)x?A時(shí)χA（x）＝0．

設(shè)f：X→Y是集合X到Y(jié)的一個(gè)映射，定義fL→：LX→LY為 ?A∈LX，y∈Y，fL→（A）（y）＝∨｛A（x）｜x∈X，f（x）＝y(tǒng)｝．

定義4 設(shè)f：X→Y是模糊偏序集（X，eX）、（Y，eY）之間的映射：

（1）如果?a、b∈X，eX（a，b）≤eY（f（a），f（b）），則稱(chēng)映射f保模糊序；

（2）如果?a、b∈X，eX（a，b）＝eY（f（a），f（b）），則稱(chēng)映射f是模糊序嵌入；

（3）如果f是滿(mǎn)的模糊序嵌入，則稱(chēng)f是模糊序同構(gòu)，此時(shí)稱(chēng)X和Y是同構(gòu)的，記作X?Y；

（4）如果?A∈LX，f（A）＝fL→（A）則稱(chēng)f保模糊并．

注3 設(shè)f：X→Y是模糊偏序集（X，eX）、（Y，eY）之間的映射：

（1）若f保模糊序，則f：X0→Y0是保序映射；

（2）若f保模糊并，則f保模糊序且f：X0→Y0是保并映射．

定義5［3］設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊偏序集，

（1）稱(chēng)X是tensor完備的，如果?x∈X，α∈L，存在α?x∈X，使得?y∈X，e（α?x，y）＝α→e（x，y）；

（2）稱(chēng)X是cotensor完備的，如果?x∈X，α∈L，存在αx∈X，使得?y∈X，e（y，αx）＝α→e（y，x）．

設(shè)x∈X，α∈L，用xα表示從X到L將x映為α，其余映為0的映射．由定義可知，α?x＝xα，α x＝xα．因此，完備的模糊偏序集是tensor完備和cotensor完備的．若（X，e）是一個(gè)模糊完備格，則?A∈LX，A＝（A（X）?x）；?｛xi｜i∈I｝?X，y∈X，e（xi，y）．有關(guān)tensor完備和cotensor完備的模糊偏序集的進(jìn)一步的性質(zhì)可參考文獻(xiàn)［3，5］．

定義6［13－14］設(shè)f：X→X是模糊偏序集（X，e）上保模糊序的映射，如果?x∈X，e（x，f（x））＝e（f（f（x）），f（x））＝1，則稱(chēng)f是模糊閉包算子．

記模糊偏序集（X，e）上的全體模糊閉包算子之集為COL（X）．

若f是模糊偏序集（X，e）上的模糊閉包算子，則f是X0上的閉包算子，且?x、y∈X，e（x，f（y））＝e（f（x），f（y））．

2 模糊完備格上的模糊同余關(guān)系

下面引入模糊完備格同余關(guān)系的概念，并討論它與模糊閉包算子的關(guān)系．

定義7［11］設(shè)X是一個(gè)非空集合，R：X×X→L是X上的L－關(guān)系，若對(duì)任意的x、y、z∈X，R滿(mǎn)足：

（1）R（x，x）＝1；

（2）R（x，y）＝R（y，x）；

（3）R（x，y）∧R（y，z）≤R（x，z），則稱(chēng)R是X上的一個(gè)L－等價(jià)關(guān)系．

定義8 設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊完備格，R：X×X→L是X上的一個(gè)L－等價(jià)關(guān)系，若對(duì)任意的x、y、z∈X，R滿(mǎn)足：

（2）e（x，y）∧R（x，z）≤R（y，y∨z），則稱(chēng)R是X上的一個(gè)模糊完備格同余關(guān)系．

記模糊完備格（X，e）上的全體模糊完備格同余關(guān)系之集為CRL（X）．

命題1 設(shè)f：X→Y是模糊完備格（X，eX）和（Y，eY）之間保模糊并的映射．定義Rf：X×X→L為：?a、b∈X，Rf（a，b）＝eY（f（a），f（b））∧eY（f（b），f（a）），則Rf是模糊完備格同余．

證明 由定義容易驗(yàn)證Rf是L－等價(jià)關(guān)系．

（1）由于?x∈X、t∈Y，

（2）?a、b、c∈X，eX（a，b）∧Rf（a，c）≤eY（f（a），f（b））∧（eY（f（a），f（c））∧eY（f（c），f（a）））≤eY（f（c），f（b））∧ey（f（b），f（b））＝ey（f（b）∨f（c），f（b））＝eY（f（b∨c），f（b））∧eY（f（b），f（b∨c））＝Rf（b，b∨c）．

因此Rf是模糊完備格同余．

命題2 設(shè)j：X→X是模糊完備格（X，e）上的一個(gè)模糊閉包算子．定義Rj：X×X→L為：?x、y∈X，Rj（x，y）＝e（j（x），j（y））∧e（j（y），j（x）），則Rj是X上的模糊完備格同余關(guān)系．

證明 （1）容易驗(yàn)證Rj是L－等價(jià)關(guān)系．

（2）因?yàn)?y∈X，Rj（x，y）＝e（j（x），j（y））∧e（j（y），j（x））≤e（y，j（x）），并且

（3）?x、y、z∈X，e（x，y）∧Rj（x，z）＝e（x，y）∧e（j（x），j（z））∧e（j（z），j（x））≤e（j（x），j（y））∧e（j（z），j（x））≤e（j（z），j（y））＝e（y，j（y））∧e（z，j（y））≤e（y∨z，j（y））＝e（j（y∨z），j（y））＝Rj（y，y∨z）．

由（1）—（3）可見(jiàn)Rj是模糊完備格同余．

命題3 設(shè)（X，e）是一個(gè)模糊完備格，R∈CRL（X），定義映射jR：X→X為：?x∈X，jR（x）＝R（x，＿），則jR是模糊閉包算子．

證明 對(duì)任意的x、y、z∈X，有

由上知jR是模糊閉包算子．

引理1 設(shè)（X，e）是模糊完備格，則

（1）映射φ：CRL（X）→COL（X）（R jR）保模糊序；

（2）映射ψ：COL（X）→CRL（X）（j Rj）保模糊序．

證明 （1）設(shè)R1、R2∈CRL（X），則

（2）設(shè)j1、j2∈COL（X），則

定理1 設(shè)（X，e）是模糊完備格，j∈COL（X），R∈CRL（X），則

（1）jRj＝j(luò)；（2）RjR＝R．證明 （1）由命題2的證明可知?x∈X，

（2）?x∈X，一方面：

另一方面：

所以，RjR＝R．

定理2 設(shè)（X，e）是模糊完備格，則COL（X）?CRL（X）．

證明 由引理1和定理1可以證明．

3 模糊完備格同余的商

下面引入模糊完備格同余的商概念，并討論它的有關(guān)性質(zhì)．

命題4 設(shè)R是模糊完備格（X，e）上的模糊同余關(guān)系．記X／R＝｛R（x，＿）｜x∈X｝．定義映射

（1）（X／R，eR）是模糊完備格，對(duì)于A∈LX／R，其中

（2）投射p：X→X／R（x R（x，＿））保模糊并．

證明 （1）易知eR滿(mǎn)足（E1）和（E2），下面證明eR滿(mǎn)足（E3）：設(shè)eR（R（x，＿），R（y，＿））＝eR（R（y，＿），R（x，＿））＝1，則jR（x）＝j(luò)R（y）．從而對(duì)任意的z∈X，

所以eR是模糊序．

設(shè)A∈LX／R，記

R（x，＿）），則對(duì)任意的z∈X，

（2）設(shè)A∈LX．由于p（A）＝R（A，＿），pL→（A）＝R（a，＿），其中

另一方面，由于?t∈X，

稱(chēng)（X／R，eR）是模糊完備格X模同余關(guān)系R的商，簡(jiǎn)稱(chēng)為同余關(guān)系R的商．

定理3 設(shè)f：X→Y是模糊完備格（X，eX）和（Y，eY）之間保模糊并的滿(mǎn)射，則

（X／Rf，eRf）?（Y，eY）．

證明 定義映射φ：X／Rf→Y（Rf（x，＿）f（x）），則

（1）φ是良定的：若Rf（a，＿）＝Rf（b，＿），則1＝Rf（a，b）＝eY（f（a），f（b））∧eY（f（b），f（a）），因此f（a）＝f（b）．

（2）φ是滿(mǎn)射：由f是滿(mǎn)射可知φ是滿(mǎn)射．

（3）φ是模糊序嵌入：?a、b∈X，一方面：

另一方面：

定理4 設(shè)j：X→X是模糊完備格（X，e）上的模糊閉包算子，則（j（X），e）?（X／Rj，eRj）．

證明 定義映射φ：X／Rj→j（X）（Rj（x，＿）j（x）），則可驗(yàn)證φ是模糊序同構(gòu)．

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了模糊完備格同余的概念，并討論了它與模糊閉包算子的關(guān)系．研究了模糊完備格同余的商的性質(zhì)．這為進(jìn)一步討論模糊完備格的其他性質(zhì)提供了工具．有時(shí)人們將模糊偏序集定義在更一般的完備剩余格上，因而當(dāng)L是完備剩余格時(shí)如何恰當(dāng)?shù)囟x模糊完備格同余，以及它的相關(guān)應(yīng)用有待進(jìn)一步研究．

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