王 方，趙傳立

（沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽(yáng) 110034）

帶有可控加工時(shí)間的排序問(wèn)題［1－10］，自1980年以來(lái)備受關(guān)注，并取得了許多研究成果。本文將學(xué)習(xí)效應(yīng)與可控加工時(shí)間相結(jié)合，拓展了文獻(xiàn)［7］的主要結(jié)果。問(wèn)題可描述如下。

設(shè)有n個(gè)相互獨(dú)立的工件的集合，記為｛J1，J2，…，Jn｝，工件在0時(shí)都已到達(dá)，且加工過(guò)程中中斷不被允許。工件J［j］的正常加工時(shí)間為P［j］，需要確定工件的加工順序、劃分、工期和資源分配量，極小化一個(gè)包含加權(quán)總誤工數(shù)、工期分派、最大完工時(shí)間，和總資源消耗的費(fèi)用函數(shù)。即目標(biāo)函數(shù)為以下形式：

其中，Cj是工件Jj的完工時(shí)間是最大完工時(shí)間。Uj是工件Jj的延誤指示變量，即當(dāng)Cj＞dj時(shí)，置Uj＝1；否則，置Uj＝0，dj≥0是工件Jj的工期。αj是工件Jj的延誤費(fèi)用，非負(fù)參數(shù)α和β分別表示工期的單位費(fèi)用和最大完工時(shí)間的費(fèi)用。uj是分配到工件Jj上的資源量，vj是分配到工件Jj上的資源量的單位費(fèi)用。

研究帶有以下兩種工期分派方法的問(wèn)題。

1）CON型：共同工期分派方法。這里所有工件都分派一個(gè)共同工期，即dj＝d，j＝1，2，…，n

2）SLK型：松弛工期分派方法。這里所有工件都有一個(gè)相同的松弛時(shí)間，即dj＝pj＋slk，這里slk≥0是一個(gè)確定的變量。

文獻(xiàn)［11］考慮了一種機(jī)器具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的模型，當(dāng)工件Jj排在序列的第r個(gè)位置時(shí)，其實(shí)際加工時(shí)間為pj＝，aj≤0是一個(gè)與工件相關(guān)的學(xué)習(xí)指標(biāo)。本文中工件Jj的實(shí)際加工時(shí)間為：

I線(xiàn)性資源消耗函數(shù)：

凸資源消耗函數(shù)：

式中，k是一個(gè)正的常數(shù)。

1 預(yù)備結(jié)論

容易驗(yàn)證，帶有CON型和SLK型工期分派方法的加工時(shí)間為常量的排序問(wèn)題中的某些結(jié)論，仍然可以推廣到可控加工時(shí)間的情形。并且?guī)в蠸LK型的問(wèn)題與CON型類(lèi)似，因此以下本文均以CON型為例討論。

在CON型工期分派方法下，工件可以劃分為2個(gè)相鄰的集合：

1）集合E。這里所有工件的加工時(shí)間總和定義為工期d的值，且這里的工件都在它的工期前完工，故稱(chēng)E為提前工件集合。

2）集合T。這里所有工件都在它的工期后完工，故稱(chēng)T為延誤工件集合。

引理1 在CON型工期分派方法下，存在一個(gè)最優(yōu)排序，任意兩個(gè)工件的加工過(guò)程之間都沒(méi)有空閑時(shí)間，且第一個(gè)工件的開(kāi)始時(shí)間為零。

文中帶有［j］的下標(biāo)均表示工件排在第j個(gè)位置。

引理2 存在一個(gè)最優(yōu)排序，在CON型工期分派方法下，集合E排在集合T前。

2 線(xiàn)性資源消耗函數(shù)的解

在CON型工期分派方法下，當(dāng)資源分配與工件所排位置確定后，工件的加工時(shí)間被固定，就簡(jiǎn)化為找最優(yōu)劃分τ＊和工期d，極小化這個(gè)問(wèn)題已被文獻(xiàn)［12］解決，并在O（n）時(shí)間內(nèi)給出以下算法。

算法1：

步驟2 集合E排在T之前，并且每個(gè)集合內(nèi)部的次序無(wú)關(guān)。

步驟3 最優(yōu)工期為集合E的完工時(shí)間，即

由算法1可知，最優(yōu)工期和工件的劃分是由加工時(shí)間決定的。然而，當(dāng)加工時(shí)間由式（2）和式（3）確定時(shí)，意味著最優(yōu)工期和工件的劃分還將與工件所排位置和分配的資源有關(guān)。

由于對(duì)任意一種給定的劃分、排序和資源分配，相應(yīng)的最優(yōu)工期就可以確定，因此，以下這個(gè)問(wèn)題旨在確定最優(yōu)的劃分、排序和資源分配。

對(duì)任意一個(gè)給定的劃分和排序，目標(biāo)函數(shù)式（1）可變形為：

假定｜E｜＝l，｜T｜＝n－l.則上式又可變形為：

當(dāng)加工時(shí)間為一個(gè)線(xiàn)性資源消耗函數(shù)式（2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)式（4）變?yōu)椋?/p>

對(duì)于SLK型工期分派方法，帶有固定加工時(shí)間的相關(guān)結(jié)論文獻(xiàn)［8］中已做了詳細(xì)分析。

引理3 在CON型工期分派方法下，對(duì)于任意給定的劃分和工件序列，最優(yōu)資源分配作為劃分和工件序列的一個(gè)函數(shù)，可以這樣得到：

證明 對(duì)式（5）關(guān)于u［j］求導(dǎo)得證。

由以上分析可知，對(duì)于任意給定的劃分和排序，最優(yōu)資源分配都可以由引理3求出，那么，這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化為求一個(gè)最優(yōu)劃分和最優(yōu)序列的排序問(wèn)題。

然而，對(duì)于任意一個(gè)給定的劃分，最優(yōu)排序可以通過(guò)在O（n3）時(shí)間內(nèi)解一個(gè)指派問(wèn)題得到，分析如下：

根據(jù)前面在CON型工期分派方法下假定的劃分，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)（5）式，當(dāng)l給定時(shí)，令

其中，cij（l）依目標(biāo)函數(shù)式（5）中Wj的不同而不同。

定義xij為一個(gè)0－1變量，當(dāng)工件Ji排到第j個(gè)位置時(shí)，xij＝1；否則，xij＝0。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)式（5），指派問(wèn)題可表示如下：

引理4 對(duì)于目標(biāo)函數(shù)式（1），任意給定一種劃分τ，在CON型工期分派方法下，當(dāng)加工時(shí)間由式（2）確定時(shí)，相關(guān)最優(yōu)排序可以通過(guò)解一個(gè)指派問(wèn)題在O（n3）時(shí)間內(nèi)得到。

根據(jù)以上的分析，對(duì)于任意一個(gè)給定的劃分，都可以通過(guò)解指派問(wèn)題找到最優(yōu)排序。因此，這個(gè)問(wèn)題又進(jìn)一步簡(jiǎn)化為找最優(yōu)劃分τ＊的問(wèn)題。

因?yàn)閘的值有n種可能的取法，所以為了找最優(yōu)的劃分，只有取遍所有l(wèi)可能值并解相應(yīng)的l值對(duì)應(yīng)的指派問(wèn)題，才能得到這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解總結(jié)為算法2。

算法2 求解帶有CON型工期分派方法的線(xiàn)性資源消耗函數(shù)最優(yōu)解的算法。

初始 置Z＊＝∞，l＝0。

步驟1 當(dāng)l≤n時(shí)：

步驟1.1 通過(guò)式（7）計(jì)算cij（l）的值；

步驟1.2 解指派問(wèn)題P1（l）：，確定工件的最優(yōu)排序π＊＝［1］，［2］，…，［n］和極小化費(fèi)用Z（l）；

步驟1.3 如果Z（l）＜Z＊，那么，置Z＊＝Z（l），l＊＝l，π＊（l＊）＝π＊（l）；

步驟1.4l＝l＋1。

步驟2 當(dāng)l＝l＊，π＊（l）＝π＊（l＊）時(shí)，通過(guò)引理3計(jì)算最優(yōu)資源分配u＊（l），通過(guò)式（2）計(jì)算最優(yōu)加工時(shí)間

定理1 算法2在O（n4）時(shí)間內(nèi)解決了在CON型工期分派方法下，這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)線(xiàn)性資源消耗函數(shù)時(shí)的最優(yōu)解。

3 凸資源消耗函數(shù)的解

當(dāng)加工時(shí)間為一個(gè)凸資源消耗函數(shù)式（3）時(shí)，代入式（4），則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

由目標(biāo)函數(shù)式（8）可以看出，在CON型工期分派方法下，任意給定一種劃分和排序，當(dāng)加工時(shí)間為一個(gè)凸資源消耗函數(shù)時(shí)，這個(gè)問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于資源分配的凸函數(shù)。因此，最優(yōu)資源分配可描述如下：

引理5 最優(yōu)資源分配u＊（π，l），作為劃分和工件序列的一個(gè)函數(shù)，是：

CON型：

把引理5中的最優(yōu)資源分配分別代入目標(biāo)函數(shù)式（8），得到

由于對(duì)于任意給定的劃分和排序，最優(yōu)資源分配都可以通過(guò)引理5得到。因此，這個(gè)問(wèn)題又簡(jiǎn)化為找最優(yōu)劃分和排序的問(wèn)題。

此時(shí)，任意給定的一種劃分，最優(yōu)排序仍然可以通過(guò)解指派問(wèn)題，在O（n3）時(shí)間內(nèi)得到。分析如下：

根據(jù)前面在CON型工期分派方法下假定的劃分，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)式（7），當(dāng)l給定時(shí)，令

其中，cij（l）依目標(biāo)函數(shù)（9）式中Wj的不同而不同。

定義xij為一個(gè)0－1變量，當(dāng)工件Ji排到第j個(gè)位置時(shí)，xij＝1；否則，xij＝0。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)（9）式，指派問(wèn)題的表示同前面P1（t）的形式，不妨記為P2（t）。

引理6 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，任意給定一種劃分τ，在CON型工期分派方法下，當(dāng)加工時(shí)間由式（3）確定時(shí)，相關(guān)最優(yōu)排序可以通過(guò)解一個(gè)指派問(wèn)題在O（n3）時(shí)間內(nèi)得到。

由以上的分析，有下面的結(jié)論

對(duì)于任意一個(gè)給定的劃分，都可以通過(guò)解指派問(wèn)題找到最優(yōu)排序。因此，這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解又進(jìn)一步簡(jiǎn)化為找最優(yōu)劃分τ＊的問(wèn)題。

同樣，因?yàn)閘的值有n種可能的取法，只有取遍的所有l(wèi)的可能值并解相應(yīng)的l值對(duì)應(yīng)的指派問(wèn)題，才能得到這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。因此，當(dāng)加工時(shí)間為一個(gè)凸資源消耗函數(shù)時(shí)，在CON型工期分派方法下，這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解總結(jié)為算法3。

算法3 求解帶有CON型工期分派方法的凸資源消耗函數(shù)最優(yōu)解的算法。

初始 置Z＊＝∞，l＝0。

步驟1 當(dāng)l≤n時(shí)：

步驟1.1 通過(guò)式（10）計(jì)算cij（l）的值；

步驟1.2 解指派問(wèn)題P2（l），確定工件的最優(yōu)排序π＊＝［1］，［2］，…，［n］和極小化費(fèi)用Z（l）；

步驟1.3 如果Z（l）＜Z＊，那么，置Z＊＝Z（l），l＊＝l，π＊（l＊）＝π＊（l）；

步驟1.4l＝l＋1。

步驟2 當(dāng)l＝l＊，π＊（l）＝π＊（l＊）時(shí)，通過(guò)引理5計(jì)算最優(yōu)資源分配u＊（l），通過(guò)式（3）計(jì)算最優(yōu)加工時(shí)間

定理2 算法3在O（n4）時(shí)間內(nèi)解決了在CON型工期分派方法下，這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)凸資源消耗函數(shù)時(shí)的最優(yōu)解。

4 結(jié) 語(yǔ)

現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)習(xí)效應(yīng)是普遍存在的，本文將學(xué)習(xí)效應(yīng)與可控加工時(shí)間相結(jié)合，使得問(wèn)題更具有廣泛應(yīng)用性和實(shí)際意義。這個(gè)問(wèn)題在多機(jī)環(huán)境下或者加工時(shí)間為其他資源消耗函數(shù)的情形有待進(jìn)一步研究。

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