蘇文濤，廖 偉，張 貞

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶401331)

廣義凸在數(shù)學規(guī)劃和優(yōu)化理論中起著重要的作用.自20世紀60年代以來，凸函數(shù)的概念通過不同的途徑被擴充.Hanson［1］把凸函數(shù)的概念推廣到預不變凸函數(shù)，之后Ben-Israel［2］等和楊新民［3］又推廣和研究了預不變凸、廣義半預不變凸函數(shù)，Youness［4］和Emam［5］將凸函數(shù)推廣得到了E-凸函數(shù)和半E-凸函數(shù)，彭再云［6］進一步研究了E-擬凸函數(shù)的一些性質(zhì)及其判定條件，給出了E-擬凸函數(shù)與擬凸函數(shù)在一定條件下的等價關系，譚仁新在文獻［7］中將E-預不變凸函數(shù)進一步推廣，得到了半E-預不變凸函數(shù)的概念，討論了這類函數(shù)解集的特征，提出了可微最優(yōu)化問題的最優(yōu)解，同時在文獻［8］中提出了E-半預不變擬凸函數(shù)的概念，但并未對其性質(zhì)做過多的討論，此處在文獻［7］和文獻［8］的基礎上，結合半E-預不變凸函數(shù)的性質(zhì)以及E-擬凸函數(shù)的一些性質(zhì)，對E-半預不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)做進一步討論，同時給出其優(yōu)化解集特征.

1 預備知識

下面給出E-不變凸集、半E-凸函數(shù)、E-預不變凸函數(shù)、半E-預不變凸函數(shù)和E-半預不變擬凸函數(shù)的定義.

定義1［9］稱集合 A?Rn是關于 η 的 E-不變凸集，如果對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A.

顯然，由定義可知E(A)?A.

定義2［5］稱函數(shù)f:M?Rn→R是在E凸集M上是半E-凸函數(shù)，如果存在一個映射E:Rn→Rn，對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義3［9］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E-不變凸集A上關于η的E-預不變凸函數(shù)，如果存在一個映射η:Rn×Rn→Rn，對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義4［7］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的半E-預不變凸函數(shù)，如果存在一個映射η:Rn×Rn→Rn，對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義5［8］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，如果存在一個映射 η:Rn× Rn→Rn，對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

2 E-半預不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)

下面給出E-半預不變擬凸函數(shù)的幾個性質(zhì):

定理1 設函數(shù) f:A?Rn→R是在 E不變凸集 A上關于 η的 E-半預不變擬凸函數(shù)，集合 Lα=，f(x)≤α，?α∈R }，則 Lα是 E-不變凸集.

證明 ?x，y∈Lα，有 x，y∈A，且 f(x)≤α，f(y)≤α.

因為f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，所以存在η:Rn×Rn→R，使得?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A，且 f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤max{f(x)，f(y)}≤α，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈Lα.故 Lα是 E 不變凸集.

定理2 設函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，g:R→R是一非減函數(shù)，那么復合函數(shù)g·f:Rn→R是A上的E-半預不變擬凸函數(shù).

證明 因為f:Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，所以存在映射η:Rn×Rn→Rn，對于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

又g:R→R是一非減函數(shù)，所以

g ·f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤g{max［f(x)，f(y)］}≤max{g ·f(x)，g ·f(y)}，故復合函數(shù) g ·f:Rn→R是A上的E-半預不變擬凸函數(shù).

定理3 設函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-預不變擬凸函數(shù)，則f(x)是A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)的充要條件是f［E(x)］≤f(x)或者f［E(x)］≤f(y).

證明 先證必要性.設函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，則

同理可得 f［E(y)］≤f(x)或 f［E(y)］≤f(y).

再證充分性.設函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關于η的E-預不變擬凸函數(shù)，所以有

3 E-半預不變擬凸規(guī)劃解集的特征

考慮下面單目標問題:

其中 E:Rn→Rn，f:M?Rn→R，gk:Rn→R，k=1，2，…，m 都是關于 η 的 E-半預不變擬凸函數(shù)，M={x∈X(x)≤0，k=1，2，…，m}，X 是關于 η 的 E － 不變凸集.

定理4 問題(P)的可行解集M是關于η的E－不變凸集.

證明 設?x，y∈M?X，由X 是關于η 的E-不變凸集知，?λ∈［0，1］，有E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈X.

又知gk(x)在X上是關于η的E-半預不變擬凸函數(shù)，所以有

又 gk(x)≤0，gk(y)≤0，于是 gk{E(x)+λη［E(x)，E(y)］}≤0，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈M，所以 M是關于η的E－不變凸集.

定理5 問題(P)的最優(yōu)解集D?M也是關于η的E－不變凸集.

證明 設 x，y∈D，則

于是E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈D，?λ∈［0，1］，即最優(yōu)解集D也是關于η的E－不變凸集.

［1］HANSON M A.On Sufficiency of the Kuhn-Tucker Conditions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1981(80):545-550

［2］BEN-ISRAEL A，MOND B.What Is Invex［J］.Journal of the Australian Mathematical Societu，1986(28B):1-9

［3］ YANG X M，LIU S Y.Technical Note Three Kind of Generalized Convexity［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1995(86):501-513

［4］ YOUNESS E A.E-convex Sets，E-convex Functions and E-convex Programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999(102):439-450

［5］YOUNESSE A，EMAM T.Semi Strongly E-convex funcitons［J］.Journal of Mathematical and Statistics，2005(1):51-57

［6］彭再云，呂玉剛.E-擬凸函數(shù)的幾點注記［J］.內(nèi)蒙古師范大學學報:自然科學漢文版，2007(36):551-554

［7］譚仁新.半E-預不變凸函數(shù)及最優(yōu)性條件［J］.貴州大學學報:自然科學版，2010(27):10-12

［8］譚仁新.一類廣義E-凸函數(shù)及其應用［D］.重慶:重慶師范大學，2011

［9］ FULGA C，PREDA V.Nonlinear Programming with E-preinvex and Local E-preinvex functions［J］.European Journal of Operational Research，2009(192):737-743

［10］唐艷.一族強單調(diào)映射的公共零點的強收斂定理［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2013(3):13-16