楊閆景，錢瑞明

(1.93511部隊(duì)，山西 代縣 034200)

(2.東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189)

磁吸附爬壁機(jī)器人是一種利用永磁體吸附在導(dǎo)磁壁面上進(jìn)行特定作業(yè)的自動化機(jī)械裝置，它在造船業(yè)、核工業(yè)、石化工業(yè)等鐵磁性結(jié)構(gòu)的環(huán)境中受到愈來愈廣泛的應(yīng)用，可以代替人類完成除銹噴漆、探傷檢測、加工焊接等工作[1]。

由于爬壁機(jī)器人工作于壁面的特殊性，其動力學(xué)問題對機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、運(yùn)動控制和路徑規(guī)劃有著重要意義。衣正堯等提出了履帶式爬壁機(jī)器人鉛垂壁面滑移轉(zhuǎn)向的動力學(xué)模型[2]，錢志源等建立了雙輪差速驅(qū)動爬壁機(jī)器人的動力學(xué)模型[3]，李志海等提出了四輪差速驅(qū)動爬壁機(jī)器人的動力學(xué)模型[4]。田藍(lán)圖分析了履帶式爬壁機(jī)器人運(yùn)動學(xué)仿真問題[5]，張俊強(qiáng)提出了履帶式機(jī)器人平面路徑規(guī)劃方案[6]。輪式爬壁機(jī)器人應(yīng)用廣泛，但其支撐力分布、驅(qū)動輪摩擦狀態(tài)因車輪數(shù)量的不同而模型不同，且針對四輪或多輪爬壁機(jī)器人路徑規(guī)劃問題的研究文獻(xiàn)目前較少。

本文針對一種六輪磁吸附爬壁機(jī)器人，基于車輪觸地點(diǎn)的速度分析和車輛力平衡關(guān)系，對其在鉛垂壁面作業(yè)時(shí)的滑移轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行動力學(xué)建模，研究爬壁機(jī)器人車輛的轉(zhuǎn)向軌跡并提出點(diǎn)到點(diǎn)的路徑規(guī)劃方案，為該類機(jī)器人的運(yùn)動控制和應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 鉛垂壁面滑移轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型的建立

1.1 隨車坐標(biāo)系下滑移轉(zhuǎn)向模型的建立

圖1所示為六輪磁吸附爬壁機(jī)器人車輛(以下簡稱為車輛)在鉛垂壁面上繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)動中心C作滑移右轉(zhuǎn)向的一個(gè)狀態(tài)，車輛的位姿用隨車坐標(biāo)系xaoaya的原點(diǎn)在壁面全局坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)(Xa，Ya)和xa軸至X軸的夾角θ表示，其中坐標(biāo)系xaoaya的原點(diǎn)取為車輛兩后輪中心連線的中點(diǎn)。設(shè)車輪與壁面間為有摩擦點(diǎn)接觸，第i車輪自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為ωi(俯視向前旋轉(zhuǎn)為負(fù))，車輪半徑均為R，第i個(gè)車輪中心Pi在隨車坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xi，yi)，轉(zhuǎn)動瞬心C在隨車坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xC，yC)，車輛瞬時(shí)轉(zhuǎn)向角速度為ω(逆時(shí)針方向?yàn)檎?，CPi與 xa軸的夾角為 αi，CPi的長度為L(Pi，C)。其他參數(shù)如圖1所示。

如圖1，第i車輪上觸壁點(diǎn)相對于車體的速度為vi=Rωi，第i車輪中心Pi相對全局坐標(biāo)系的絕對速度為 vir=L(Pi，C)ω，其方向垂直于 CPi，vir與 xa軸的夾角為αir。車輪觸壁點(diǎn)相對全局坐標(biāo)系的絕對速度vid為vi和vir的合成，vid與xa軸的夾角為αid，輪1的上述參數(shù)描述如圖2所示。

以車輪1為例，對其進(jìn)行速度分析，可得:

由圖2可知，α1d位于第一象限，整理式(1)可得:

圖1 六輪車輛鉛垂壁面滑移轉(zhuǎn)向模型

圖2 輪1速度分析

觸壁點(diǎn)處的滑動摩擦力方向與滑動速度方向相反，即輪1上觸壁點(diǎn)處滑動摩擦力與xa軸夾角為方向角α1f=α1d+π。同理根據(jù)αid所在象限即可求得其余車輪摩擦力方向角αif。

設(shè)車輛總質(zhì)量為m，重力(G=mg)與xa軸的夾角為αG=3π/2－θ;質(zhì)心S在隨車坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xS，yS)，質(zhì)心瞬時(shí)轉(zhuǎn)動半徑 r=L(S，C)，質(zhì)心相對全局坐標(biāo)系的絕對速度(vS=rω)與xa軸的夾角為αvS=arctan((yS－yC)/(xS－xC))，質(zhì)心相對全局坐標(biāo)系的絕對加速度avS與xa軸的夾角為αa;車輛相對全局坐標(biāo)系的絕對轉(zhuǎn)動角加速度為aω，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量為IS。則滑移轉(zhuǎn)向時(shí)的車輛動力學(xué)方程[7－8]為:

式中:摩擦力Ffi=μN(yùn)i，Ni為壁面對第i個(gè)車輪支撐力，μ為車輪與壁面間的滑動摩擦系數(shù)(設(shè)為定值)。

1.2 壁面對車輪支撐力模型

當(dāng)車輛處于靜態(tài)吸附狀態(tài)時(shí)，各車輪所受壁面支撐力滿足下式:

式中h為質(zhì)心高度。

機(jī)器人處于運(yùn)動狀態(tài)時(shí)，各車輪所受支撐力分析如下[4]:當(dāng)各磁輪對壁面的磁吸附力均為Fm，且僅考慮磁吸附力作用時(shí)，各車輪上由磁吸附力產(chǎn)生的支撐力相等，即磁輪i所受支撐力為N(1)i=Fm，i=1，2，…，6。同時(shí)需滿足6μFm＞ G。

假定在沿xa軸方向的重力分量GcosαG和沿該方向的慣性力分量mavScosαa的合力作用下，車輪所受的支撐力沿xa軸方向符合線性分布，則各車輪所受支撐力為:

式中xn為在隨車坐標(biāo)系下支撐力等零的分界線x軸坐標(biāo)。因?yàn)橥瑐?cè)車輪的xa軸坐標(biāo)相同，所以上式可以簡化為:

式中:下標(biāo) l為第1，2，3 車輪，下標(biāo) r為第4，5，6 車輪。

假定在沿ya軸方向的重力分量GsinαG和沿該方向的慣性力分量mavSsinαa的合力作用下，車輪所受的支撐力沿ya軸方向符合線性分布，則各車輪所受支撐力為:

式中yn為在隨車坐標(biāo)系下支撐力等零的分界線。

車輛在磁吸附力、沿xa軸方向的合力和ya軸方向的合力的綜合作用下，各車輪所受壁面支撐力分別為3個(gè)力分別作用下各車輪支撐力的合力，用下式表示:

將其代入式(5)，經(jīng)MATLAB數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證，結(jié)果相符合。運(yùn)動過程中應(yīng)滿足Ni＞0，即保持車輪始終與壁面接觸。

1.3 全局坐標(biāo)系下滑移轉(zhuǎn)向模型的建立

車輛在鉛垂壁面運(yùn)動時(shí)，車輛傾斜角度θ影響轉(zhuǎn)動瞬心位置，車體和轉(zhuǎn)動瞬心時(shí)刻都在變化，需要建立隨車坐標(biāo)系在全局坐標(biāo)系中的變化關(guān)系。為簡化計(jì)算，假定車輛在由初始位置E1轉(zhuǎn)動微角度dθ至終點(diǎn)位置E2過程中，其瞬心不發(fā)生變化。

已知車輛初始位置E1處隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)(XE1，YE1)和傾斜角度θE1，同側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速取為相等，車輛逆時(shí)針轉(zhuǎn)向dθ角度后，求解終點(diǎn)位置E2處隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)的步驟為:

a.根據(jù)式(3)～(8)求得E1處隨車坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動瞬心坐標(biāo)(xC，yC)。

b.根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求出瞬心全局坐標(biāo) (XC，YC)。

c.建立原點(diǎn)為轉(zhuǎn)動瞬心的瞬心坐標(biāo)系xbobyb，求出車輛隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)在瞬心坐標(biāo)系里的坐標(biāo)(xE1b，yE1b)。

d.根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在瞬心坐標(biāo)系下求得隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動瞬心旋轉(zhuǎn)微角度dθ后的 E2處的坐標(biāo)(xE2b，yE2b)。

e.根據(jù)瞬心坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換規(guī)則，求得E2處隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)(XE2，YE2)，車輛傾斜角度為(θE1+dθ)。

圖3 隨車坐標(biāo)系在全局坐標(biāo)系中的變化關(guān)系

圖3中，θ為車輛傾斜角度，E1為車輛初始位置，E2為車輛繞瞬心C轉(zhuǎn)動微角度dθ后的終點(diǎn)位置。坐標(biāo)系xbobyb為瞬心坐標(biāo)系，其原點(diǎn)為瞬心C，其x軸方向?yàn)槿肿鴺?biāo)系原點(diǎn)O與瞬心C連線的延長線，βb為xb軸與X軸夾角。βab為射線CE1與xb軸夾角。根據(jù)隨車坐標(biāo)系相對全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，可知瞬心C的全局坐標(biāo)為:

式中 tanβb=YC/XC，可得 βab和，可得，根據(jù)坐標(biāo)系xbobyb對坐標(biāo)系XOY的轉(zhuǎn)換，可知E2處的隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)為:

在瞬心坐標(biāo)系xbobyb中:

質(zhì)心加速度avS及其與X軸角度αa為:

式中vSE1，vSE2和αvSE2，αvSE2為質(zhì)心速度及其與 X軸夾角。

2 車輛軌跡分析

六輪車輛原始參數(shù)見表1，IS為車輛質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量。假定當(dāng)θ=0時(shí)，初始位置位于全局坐標(biāo)系原點(diǎn)處，即隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)為(Xa，Ya)=[0，0]。當(dāng)車輛左右兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速[ωl，ωr]分別等于[－16.7，16.7]和[16.7，－16.7]時(shí)，將上述參數(shù)代入式(3)～(11)，經(jīng)MATLAB數(shù)值求解可求得隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)順時(shí)針和逆時(shí)針分別轉(zhuǎn)向一周后的全局坐標(biāo)軌跡。如圖4(a)，曲線1為車輛順時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡(終點(diǎn)處θ=－2π)，曲線2為車輛逆時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡(終點(diǎn)處θ=2π)，圓心為隨車坐標(biāo)系原點(diǎn)，直線為車身，“+”為車輛質(zhì)心。圖4(b)為ADAMS模擬中車輛順時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡，與圖4(a)中理論軌跡曲線1相同?？梢钥闯觯囕v因?yàn)橹亓Φ脑?，軌跡呈不規(guī)則曲線。順時(shí)針轉(zhuǎn)向和逆時(shí)針轉(zhuǎn)向呈現(xiàn)對稱關(guān)系，順時(shí)針轉(zhuǎn)向呈左下降趨勢，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向呈右下降趨勢。

表1 六輪車輛原始參數(shù)

圖4 車輛順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)的原點(diǎn)和質(zhì)心軌跡

進(jìn)一步計(jì)算表明，此軌跡x軸方向與左右側(cè)車輪轉(zhuǎn)速比有關(guān)，y軸方向與重力和總磁吸附力之比有關(guān);當(dāng)爬壁機(jī)器人車輛同側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速取為相等時(shí)，則難以使其在鉛垂壁面實(shí)現(xiàn)原地旋轉(zhuǎn)或繞某點(diǎn)做圓周運(yùn)動。

3 路徑規(guī)劃

3.1 路徑規(guī)劃方案

因車輛兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速選擇的不同，由初始位置到目標(biāo)位置可以有多種路徑規(guī)劃方案。為簡化路徑分析，假定路徑規(guī)劃中，車輛同側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速取為相等，左右兩側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速大小相等，方向相同或相反，即車輛只能直線前進(jìn)或后退、順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。

設(shè)車輛初始位置為B(XB，YB)、θ=φ，目標(biāo)位置為M(XM，YM)、θ= γ?[φ－2π，φ)，通用路徑規(guī)劃如圖5所示，圖中實(shí)線為規(guī)劃路徑，虛線為圖4中的車輛順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡，圓弧實(shí)線箭頭為E1運(yùn)動方向。

圖5 鉛垂壁面通用路徑規(guī)劃

當(dāng)γ?[φ－2π，φ－π)時(shí)，路徑方案為圖5(a)，步驟如下:

a.根據(jù)圖4(a)曲線1獲得車輛在初始位置θ=φ時(shí)的局部坐標(biāo)(xB，yB)，并以此建立局部坐標(biāo)系xoy。將全局坐標(biāo)M(XM，YM)轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo)系xoy中的(xM，yM)=(XM+xB－XB，YM+yB－YB)。

b.根據(jù)圖4(a)獲得車輛原點(diǎn)在曲線1中θ=γ時(shí)的局部坐標(biāo)M'(a，b)，可求得線段M'M與x 軸夾角 γ'。

c.順時(shí)針轉(zhuǎn)向至車輛車身平行于M'M的F點(diǎn)。

d.改為直線運(yùn)動，方向?yàn)榫€段M'M方向，運(yùn)動距離為 L(M'，M)，至點(diǎn) F'。

e.繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)向至θ=γ，終點(diǎn)即為目標(biāo)位置M。

當(dāng)γ?[φ－π，φ)時(shí)，使γ =γ+2π，路徑方案為圖5(b)。方案為將上述步驟中的曲線1改為曲線2、順時(shí)針轉(zhuǎn)向改為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向即可。

圖5中，每次車輛轉(zhuǎn)向角度均大于π，耗時(shí)較長，研究發(fā)現(xiàn)特定條件下其路徑可簡化。以目標(biāo)位置M(XM，YM)、θ= γ，γ?[φ－π，φ)為例，車輛路徑規(guī)劃為:

a.根據(jù)圖4(a)曲線1獲得車輛在初始位置θ=φ時(shí)的局部坐標(biāo)(xB，yB)，并以此建立局部坐標(biāo)系xoy。將全局坐標(biāo)M(XM，YM)轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo)系xoy中的(xM，yM)=(XM+xB－XB，YM+yB－YB)。

b.根據(jù)圖4(a)確定曲線1中θ=γ時(shí)的局部坐標(biāo)M2(a2，b2)，可知線段M2M與x軸夾角 γ'。如果γ'＞γ+π/2，γ+π/2為車身方向角度，則符合簡化路徑規(guī)劃條件，進(jìn)入步驟c，否則不符合。

c.順時(shí)針轉(zhuǎn)向，至車身方向平行于M2M。

d.改為直線運(yùn)動，方向?yàn)榫€段M2M方向，距離為 L(M2，M)，至點(diǎn) F'。

e.繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)向至θ=γ，終點(diǎn)即為目標(biāo)點(diǎn)M。

其簡化路徑如圖6(a)所示?？梢钥闯鲕囕v在第一段轉(zhuǎn)向中，未經(jīng)過M2點(diǎn);如果步驟a中經(jīng)過M2點(diǎn)，即γ'＜γ+π/2，則此簡化路徑方案不能適用。

圖6 鉛垂壁面簡化路徑規(guī)劃

同理可得當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)γ?[φ－2π，φ－π)時(shí)的簡化方案:使γ=γ+2π，將上述簡化方案中的曲線1改為曲線2，順時(shí)針改為逆時(shí)針，小于號與大于號互換即可，如圖6(b)所示。

3.2 路徑規(guī)劃實(shí)例

設(shè)車輛初始位置為B(0，0)點(diǎn)，θ=φ =0;目標(biāo)位置M(XM，YM)=(0.4，0.2)，θ= γ =－π。其路徑規(guī)劃中，首先判斷其是否適用簡化路徑方案，可以則采用，否則采用通用路徑規(guī)劃方案。

目標(biāo)位置θ=－π?[－π，0)，在順時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡中，路徑規(guī)劃步驟為:

a.根據(jù)圖4(a)曲線1獲得車輛在初始位置θ =0時(shí)的局部坐標(biāo)(xB，yB)=(0，0)，并以此建立局部坐標(biāo)系xoy。將全局坐標(biāo)M(XM，YM)轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo)系xoy中的(xM，yM)=(XM+xB－XB，YM+yB－YB)=(0.4，0.2)。

b.根據(jù)圖4(a)確定曲線1中θ=－π時(shí)的局部坐標(biāo) M2(a2，b2)=(－0.007，0.029)，可知線段M2M與x軸夾角γ'=arctan((yM－b2)/(xM－a2))=0.4＞γ+π/2=－π/2。符合簡化路徑規(guī)劃條件，進(jìn)入步驟c。

c.順時(shí)針轉(zhuǎn)向，至車身方向平行于M2M。

d.改為直線運(yùn)動，方向?yàn)榫€段M2M方向，距離為 L(M2，M)，至點(diǎn) F'。

e.繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)向至θ=γ，終點(diǎn)即為目標(biāo)點(diǎn)M。其路徑軌跡如圖7所示。

圖7 車輛路徑規(guī)劃實(shí)例

根據(jù)dt=dθ/ω可得車輛兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化如圖8所示?！皁”型曲線為左側(cè)車輪，“+”型曲線為右側(cè)車輪。

圖8 左右側(cè)車輪角速度變化規(guī)律

在ADAMS中模擬爬壁機(jī)器人路徑規(guī)劃如圖9所示，可以看出其軌跡與圖7理論軌跡相同，ADAMS模擬達(dá)到預(yù)期目的。

圖9 車輛在ADAMS中路徑規(guī)劃模擬

4 結(jié)束語

本文基于車輪觸地點(diǎn)的速度分析和車輛力平衡關(guān)系建立了六輪爬壁機(jī)器人車輛鉛垂壁面作業(yè)時(shí)的滑移轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型。根據(jù)此模型獲得了爬壁機(jī)器人滑移轉(zhuǎn)向的軌跡，發(fā)現(xiàn)機(jī)器人鉛垂壁面上滑移轉(zhuǎn)向，當(dāng)車輛左右兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速大小相等、轉(zhuǎn)向相反時(shí)，其逆時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡和順時(shí)針轉(zhuǎn)向軌跡因重力而呈不規(guī)則曲線，但關(guān)于y軸對稱，且旋轉(zhuǎn)一周后，分別位于出發(fā)點(diǎn)的右下方和左下方。最后提出了爬壁車輛鉛垂壁面點(diǎn)到點(diǎn)的通用和簡化路徑規(guī)劃方案。研究結(jié)果可為六輪磁吸附爬壁機(jī)器人車輛點(diǎn)到點(diǎn)的路徑規(guī)劃和輪速控制提供理論依據(jù)。

此模型可推廣應(yīng)用于四輪爬壁機(jī)器人或履帶式爬壁機(jī)器人，即無限多輪式爬壁機(jī)器人。

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