周志穎

(荊州理工職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖北 荊州 434000)

0 引言

二階變系數(shù)線性微分方程在微分方程中占有重要地位，關(guān)于它的通解結(jié)構(gòu)，在理論上有十分完美的結(jié)論，但是求解二階變系數(shù)微分方程除特殊的歐拉方程外沒(méi)有一般的初等解法［1－4］.因此，對(duì)于一般的二階變系數(shù)線性微分方程:

其中p(t) 、q(t) 為t的在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，研究它的初等解法非常重要.對(duì)滿足一定條件下的二階變系數(shù)線性微分方程可采用化為恰當(dāng)方程通過(guò)降階得到微分方程的通解［5，6］.

1 定理證明及推論

0 定理1 二階變系數(shù)線性微分方程(1)，對(duì)于系數(shù)p(t) 、q(t) 若滿足

其中F(t) 、F′(t) 、W(t) 都是連續(xù)函數(shù)，則方程(1)有通解為

證明 若系數(shù)p(t) 、q(t) 滿足(2)，將其代入方程(1)便得到

將上式整理可得

接上面的方程(4)便得到

把(5)式代入到(3)式求解得

其中C1、C2為任意常數(shù).

推論1 定理1 中若W(t)= F(t) 且滿足定理中的條件，則方程(1)有通解

推論2 定理1 中若W(t)=0 且滿足定理中的條件，則方程(1)有通解

由定理1 的通解公式可得

由推論1 的通解公式可得

定理2 二階變系數(shù)線性微分方程(1)，對(duì)于系數(shù)p(t) 、q(t) 若滿足

其中F(t) 、W(t) 為一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，則方程的通解為

證明 若系數(shù)p(t) 、q(t) 滿足條件(6)，將其代入方程(1)便得

將上式整理得

于是有

對(duì)上式求解得

其中C1、C2為任意常數(shù).

推論3 若方程滿足定理2 中的條件，且F(t)= W(t) ，則方程(1)有通解

由定理2 的通解公式，可得

［1］王高雄.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，1983.

［2］趙臨龍.變系數(shù)二階線性常微分方程的不變量解法［J］.長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，12(2):5 －8.

［3］同濟(jì)大學(xué)編.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］余生寅，蘇連生.二階齊次變系數(shù)常微分方程的通解形式［J］.青海大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，10(9):38 －45.

［5］張學(xué)元.變系數(shù)二階線性常微分方程的一個(gè)新的可積類型［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，19(1):96 －98.

［6］胡勁松，鄭克龍.一類二階變系數(shù)線性微分方程的求解［J］. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，21(5):429 －430.