唐 娟，楊 林，2

(1.中煤科工集團(tuán)重慶研究院， 重慶 400039;2.瓦斯災(zāi)害應(yīng)急信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400039)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，煤礦安全高效生產(chǎn)越發(fā)重要。煤礦巷道用全液壓鉆裝機(jī)可以代替耙斗裝巖機(jī)和液壓臺(tái)車(chē)實(shí)現(xiàn)巖石巷道掘進(jìn)除渣和鑿巖鉆孔作業(yè)，在提高生產(chǎn)效率的同時(shí)減少了安全隱患。鉆裝機(jī)主要是由扒渣工作裝置(挖臂)、鑿巖推進(jìn)工作裝置(鉆臂)、刮板運(yùn)輸機(jī)組成，其中挖臂是由水平擺動(dòng)座、動(dòng)臂、斗桿、四桿機(jī)構(gòu)以及扒斗5個(gè)部分串聯(lián)而成(如圖1所示)，是鉆裝機(jī)中關(guān)鍵的工作部件，其作業(yè)效率決定了鉆裝機(jī)的裝載性能。

鉆裝機(jī)除渣作業(yè)依賴(lài)于挖臂各個(gè)部件之間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)挖臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和建模是完成挖臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)挖臂運(yùn)動(dòng)控制所必需的。挖臂是由多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，是由多個(gè)剛體組成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有非線性以及多輸入、多輸出的特點(diǎn)，各個(gè)部件之間存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系。為了使挖臂完成預(yù)期的作業(yè)路徑，每個(gè)關(guān)節(jié)必須提供一定規(guī)律的驅(qū)動(dòng)力矩。

圖1 挖臂結(jié)構(gòu)

通過(guò)建立挖臂機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)，可為得出合理的結(jié)構(gòu)尺寸以及恰當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)油缸參數(shù)提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1 挖臂作業(yè)軌跡空間

挖臂的作業(yè)空間范圍與挖臂上各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部件的結(jié)構(gòu)尺寸以及驅(qū)動(dòng)油缸的參數(shù)有關(guān)，通過(guò)調(diào)整動(dòng)臂、斗桿、扒斗以及四桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸以及相對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)油缸參數(shù)(缸筒尺寸、缸桿尺寸、流量等)，可以得到不同的作業(yè)空間范圍。為了計(jì)算扒斗斗齒在基礎(chǔ)坐標(biāo)空間內(nèi)的活動(dòng)范圍，在每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部件上固結(jié)一個(gè)坐標(biāo)系，然后描述這些坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，通過(guò)這些變換關(guān)系，最終計(jì)算出斗齒的活動(dòng)空間。為此，引入D－H(Denavit－Hartenberg)變換，利用一個(gè)4×4的齊次變換矩陣，表示兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系的變換關(guān)系，齊次變換矩陣可描述為下面的形式:

s——正弦函數(shù) sin();

c——余弦函數(shù) cos();

θi——兩個(gè)部件之間的關(guān)節(jié)角;

ai－1——兩部件關(guān)節(jié)間的長(zhǎng)度，即相鄰坐標(biāo)系原點(diǎn)間的距離。

齊次變換矩陣可以寫(xiě)成如下形式:

挖臂各個(gè)部件的參數(shù)如表1所示。

表1 構(gòu)件參數(shù)表

利用上述公式，將斗齒尖所能達(dá)到的空間位置在Matlab軟件中描述出來(lái)，得到扒斗斗齒的作業(yè)空間包絡(luò)圖如圖2所示。

圖2 斗齒活動(dòng)空間包絡(luò)圖

2 動(dòng)力學(xué)分析

規(guī)定坐標(biāo)系{c}的坐標(biāo)原點(diǎn)為剛體的質(zhì)心，相對(duì)于坐標(biāo)系{c}，慣性張量cI定義為3×3的對(duì)稱(chēng)矩陣:

式中，對(duì)角線元素是剛體繞三坐標(biāo)軸x，y，z的質(zhì)量慣性矩:

其余元素的慣性積:

式中，ρ——結(jié)構(gòu)件的密度;

挖臂斗齒的運(yùn)動(dòng)速度可以由兩部分組成:扒斗坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)的速度和加速度，以及扒斗相對(duì)于扒斗坐標(biāo)系的角速度和角加速度。vi和ωi分別表示挖臂的各個(gè)部件坐標(biāo)系{i}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的速度，ivi和iωi則說(shuō)明vi和ωi在本部件坐標(biāo)系{i}中表示的線速度和角速度，同理i+1vi+1和i+1ωi+1表示在部件坐標(biāo)系{i+1}中的線速度和角速度。

部件i+1相對(duì)于部件i的角速度是繞轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i+1運(yùn)動(dòng)引起的。

在相同坐標(biāo)系中，兩個(gè)向量可以相互疊加，因此部件i+1的角速度等于部件i的角速度加上部件i+1繞關(guān)節(jié)i+1轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，在{i}中的表示為:

坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的線速度加上部件i因轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的速度分量，ipi+1表示{i+1}坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}中的位置矢量，因此得到速度公式:

19世紀(jì)中葉，統(tǒng)計(jì)學(xué)形成了兩個(gè)主要的學(xué)派，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派與社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)派．隨著概率論的成熟，為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．19世紀(jì)中葉，比利時(shí)的阿道夫·凱特勒（1796—1874）主張用自然科學(xué)的方法研究社會(huì)現(xiàn)象，把古典概率論引入了統(tǒng)計(jì)學(xué)，使得統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段．不過(guò)凱特勒將自然科學(xué)的觀點(diǎn)與方法機(jī)械套用到犯罪、道德等社會(huì)問(wèn)題，混淆了自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別．盡管如此，凱特勒把概率論引入統(tǒng)計(jì)學(xué)至少使得統(tǒng)計(jì)學(xué)在“政治算術(shù)”的“算術(shù)”方法基礎(chǔ)上往準(zhǔn)確化道路邁進(jìn)了一大步，他為后期數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的形成與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．

分別對(duì)上述公式求微分，即可得出各個(gè)部件的角加速度和線加速度的傳遞公式:

同理，求出部件質(zhì)心的加速度為:

根據(jù)牛頓－歐拉方程得出挖臂各個(gè)部件之間的力、速度關(guān)系通式:

對(duì)挖臂進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí)，首先對(duì)其中一個(gè)部件進(jìn)行受力分析，從而建立部件的靜力學(xué)平衡方程。當(dāng)部件處于力學(xué)平衡狀態(tài)時(shí)，所受到的合力以及合力矩為零。推導(dǎo)出力和力矩的平衡方程為:

式中，ifi，ini——部件 i受到部件 i－1 的作用力、力矩;

由于{0}固結(jié)在水平擺動(dòng)座上，在x，y平面內(nèi)，是固定不動(dòng)的，因而0ω0=0，0v0=0，{4}固結(jié)在扒斗的末端，即斗齒尖的位置，得出θ4=0=0。

挖臂運(yùn)動(dòng)具有多輸入、多輸出的特點(diǎn)。由于輸入?yún)?shù)的不同，在相同的位置點(diǎn)也會(huì)產(chǎn)生不同的速度以及挖掘力。為了更清楚的描述挖臂的速度、力參數(shù)與斗齒所在的位置之間的關(guān)系，選取一個(gè)工作路徑，并分析這個(gè)工作路徑上所有連續(xù)點(diǎn)的速度以及挖掘力曲線并利用Matlab分析其數(shù)據(jù)曲線(如圖3～圖4所示)。

圖3 挖臂速度曲線

圖4 挖臂挖掘力曲線

3 動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化

在奇異點(diǎn)挖臂會(huì)喪失一個(gè)或者幾個(gè)自由度。在奇異點(diǎn)附近，其動(dòng)力學(xué)性能也會(huì)變差;離奇異點(diǎn)越遠(yuǎn)，挖臂在各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)性能和施力效果的一致性愈好。挖臂的動(dòng)力學(xué)性能，對(duì)于挖臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、工作空間選擇、控制方案擬定、液壓系統(tǒng)選型以及軌跡規(guī)劃都具有十分重要的作用。挖臂動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性不僅在于結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，還在于煤礦井下除渣作業(yè)情況的多樣性和影響因素的可變性。在設(shè)計(jì)挖臂工作范圍或?qū)崿F(xiàn)挖臂軌跡控制時(shí)，最值得注意的是一些最嚴(yán)峻最危險(xiǎn)的情況，如最高速度作業(yè)時(shí)，最大關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力時(shí)，挖臂懸伸最長(zhǎng)時(shí)等，應(yīng)該考慮這些最壞情況下的作業(yè)情況和對(duì)動(dòng)力學(xué)的要求。因此，提出了衡量挖臂動(dòng)力學(xué)性能的綜合性能指標(biāo)以及相應(yīng)的優(yōu)化方法。為了說(shuō)明各種動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)之間的聯(lián)系，根據(jù)H.Asada的廣義慣性橢球GIE(generalized inetia tensor ellipsoid)理論來(lái)評(píng)定挖臂的動(dòng)力學(xué)特征。廣義慣性橢球理論GIE實(shí)質(zhì)上是以笛卡爾慣性矩陣的特征值來(lái)描述挖臂在各個(gè)方向上的加速特征:

式中，D(q)——操作臂的慣性矩陣，可以通過(guò)推導(dǎo)公式求出;

J(q)——雅克比矩陣。

對(duì)于n×n的慣性矩陣V(q)，二次型方程:

可以表示n維空間中的一個(gè)橢球，稱(chēng)之為廣義慣性橢球GIE。慣性矩陣V(q)特征矢量的方向即為橢球的主軸方向，矩陣V(q)特征值的平方根為橢球主軸的長(zhǎng)度。利用廣義慣性橢球GIE來(lái)衡量挖臂的加速性能具有明顯的幾何直觀性。在挖臂斗齒的活動(dòng)空間內(nèi)的任何一點(diǎn)，根據(jù)上述二次型方程可以畫(huà)出一個(gè)橢球，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)橢球的形狀可以衡量其動(dòng)力學(xué)性能的好壞，橢球愈接近球，即主軸長(zhǎng)度一致時(shí)，動(dòng)力學(xué)性能愈好。廣義慣性橢球的形狀完全是個(gè)圓球的點(diǎn)稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)各向同性點(diǎn)，在動(dòng)力學(xué)各向同性點(diǎn)上，慣性矩陣V(q)的列向量互相線性獨(dú)立，并且模相等。橢球接近于圓球形時(shí)，加速性能變好，近似于各向同性;在工作空間邊緣部分，橢圓變扁，動(dòng)力學(xué)性能變差，圖5為鉆裝機(jī)挖臂部分空間位置的廣義慣性橢球圖。

4 結(jié)論

圖5 挖臂空間慣性橢球圖

基于D－H法，建立兩個(gè)相鄰部件之間的空間變換關(guān)系，并以此推導(dǎo)出斗齒在基礎(chǔ)坐標(biāo)系內(nèi)的活動(dòng)范圍，做出斗齒的工作空間包絡(luò)圖。利用牛頓－歐拉方程建立挖臂的動(dòng)力學(xué)方程，并借助MATLAB軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，得出動(dòng)臂、斗桿、扒斗的驅(qū)動(dòng)力矩變化規(guī)律，分析出斗齒末端的速度、力曲線。最后利用廣義慣性橢球理論，評(píng)價(jià)挖臂在整個(gè)工作空間的動(dòng)力學(xué)性能，為挖臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、工作空間的選擇、作業(yè)軌跡規(guī)劃和控制方案的擬定提供數(shù)據(jù)參考。

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