楊玉東，王建新

(1. 淮陰工學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院， 江蘇 淮安 223001；2.南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

脈沖成形網(wǎng)絡(luò)(Pulsed Forming Network, PFN)是脈沖功率電源組成的一部分，其主要功能包括能量傳輸、脈沖整形、功率匹配和調(diào)節(jié)[1-3]。從脈沖成形網(wǎng)絡(luò)角度來(lái)看，軌道和電樞是其負(fù)載，軌道的電感梯度與電阻梯度是負(fù)載的兩個(gè)重要參數(shù)，它們的大小與電磁發(fā)射效率緊密相關(guān)。對(duì)負(fù)載特性的研究國(guó)內(nèi)外有眾多文獻(xiàn)涉及[4-6], 它們針對(duì)不同的研究目的對(duì)負(fù)載做不同的等效，文獻(xiàn)[4]分析了軌道和電樞中的熱能損耗，主要考慮軌道和電樞的電阻分布；文獻(xiàn)[5]研究了分布式饋電裝置對(duì)系統(tǒng)效率的影響，把軌道中的電阻線性化處理；文獻(xiàn)[6]分析了電路參數(shù)與發(fā)射效率之間的關(guān)系，把軌道的電感梯度和電阻梯度當(dāng)作一個(gè)定值。上述文獻(xiàn)都是從“路”的宏觀角度來(lái)對(duì)待負(fù)載特性的，實(shí)際上在電磁發(fā)射過(guò)程中，軌道的電感和電阻隨著頻率變化也會(huì)呈現(xiàn)非線性變化。另外高電壓、大電流通過(guò)軌道和電樞，其內(nèi)部的溫度、電流密度和電磁場(chǎng)的分布都是不均勻的，這些變化僅靠宏觀的電路分析顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠, 對(duì)軌道和電樞中物理變化參數(shù)求解繼續(xù)沿襲傳統(tǒng)的“路”的模型顯得誤差過(guò)大。為了解電流幅度、頻率的變化對(duì)負(fù)載參數(shù)的影響，考慮引入“場(chǎng)”分析方法，以得到較為精確的負(fù)載變化模型。

筆者首先建立軌道的二維模型，采用有限元法對(duì)軌道中電磁場(chǎng)參數(shù)進(jìn)行求解，然后通過(guò)計(jì)算軌道中的磁能和熱損耗分別計(jì)算軌道的電感梯度和電阻梯度隨頻率變化情況，再通過(guò)與經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行比較，尋求獲得較高電感梯度的方法。

1 理論和控制方程

從電源角度來(lái)看脈沖成形網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載是軌道和電樞，電路結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中PFN為脈沖成形網(wǎng)絡(luò)，負(fù)責(zé)給負(fù)載提供電能；軌道和電樞為負(fù)載，均采用電導(dǎo)率較高的金屬(或合金)加工而成，軌道采用高強(qiáng)度絕緣材料進(jìn)行封裝加固做成炮膛，要求軌道和電樞接觸面盡可能光滑，電樞與軌道間有一定的機(jī)械過(guò)盈力以保證彼此之間接觸良好。軌道和電樞在頻率變化的激勵(lì)電流作用下，會(huì)呈現(xiàn)自感效應(yīng)、渦流效應(yīng)、頻率趨膚效應(yīng)、鄰近效應(yīng)等電磁現(xiàn)象。

軌道的電感梯度和電阻梯度反映的是單位長(zhǎng)度軌道所呈現(xiàn)的電感和電阻，如果軌道材料均勻、形狀尺寸規(guī)則，則軌道的電感梯度和電阻梯度與軌道的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，因此軌道的模型可以簡(jiǎn)化為二維模型，如圖2所示，圖中二維區(qū)域即為軌道的軸向橫截面，設(shè)軌道的尺寸和材料如下：軌道寬w=10 mm，高h(yuǎn)=20 mm，軌道間距為s=20 mm，軌道材料為銅。負(fù)載的激勵(lì)電流從軌道的一端加入，流經(jīng)電樞后從軌道的另一端流出，軌道和電樞采用銅、鋁合金等良導(dǎo)體金屬材料，在電流傳導(dǎo)過(guò)程中無(wú)自由電荷積聚，因此可以不計(jì)位移電流。軌道電磁參數(shù)分析基于Maxwell的電磁場(chǎng)理論。脈沖成形網(wǎng)絡(luò)輸出的大多為脈沖電流，由傅里葉分析可知非周期信號(hào)可以分解為不同幅度和頻率正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加，因此激勵(lì)電流在負(fù)載中形成的電磁場(chǎng)可以用正弦渦流場(chǎng)進(jìn)行處理。

麥克斯韋方程組渦流場(chǎng)的微分形式為：

(1)

×H=J

(2)

電磁場(chǎng)的本構(gòu)關(guān)系為：

B=μH

(3)

J=σE

(4)

上述各式中，H、B、E、J、σ、μ分別為磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、電流密度、電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。在渦流場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)量應(yīng)滿足電磁場(chǎng)的基本方程組。本節(jié)考察二維電磁場(chǎng)，即考察軌道橫截面中場(chǎng)參數(shù)分布情況，設(shè)軌道所在的橫截面為xy, 激勵(lì)電流流向?yàn)閦方向，即垂直于紙面方向，選取矢量磁位A作為未知函數(shù)進(jìn)行求解。引入矢量磁位A的旋度，即：

B=×A

(5)

根據(jù)矢量運(yùn)算法則和庫(kù)倫規(guī)范，經(jīng)整理得：

(6)

寫(xiě)為時(shí)諧場(chǎng)的形式為：

(7)

式中:Js為源電流密度，Js=-σφ；Je為渦流密度，Je=-σ?A/?t。上式即為求解渦流場(chǎng)參數(shù)的控制方程，加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件即構(gòu)成二維平面定解問(wèn)題。當(dāng)求得矢量磁位后即可計(jì)算出B和J的分布。求解區(qū)域二維網(wǎng)格如圖3所示。

2 算法分析

2.1 二維有限元算法分析

設(shè)矢量磁位A只有z軸方向分量，即：

A=ezAz

(8)

此時(shí)電流密度也只有z軸方向分量，可寫(xiě)為：

J=ezAz

(9)

因此式(7)寫(xiě)成二維偏微分方程形式為：

(10)

式中:Jsz為源電流密度的z向分量，S為求解區(qū)域。

求解區(qū)域可分為渦流區(qū)S1和空氣區(qū)S2兩部分。用有限元法分析的方法之一是根據(jù)具體的物理問(wèn)題構(gòu)造一個(gè)泛函，在定義域內(nèi)進(jìn)行剖分插值, 把泛函的變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值的問(wèn)題, 從而得到電磁場(chǎng)定解問(wèn)題的數(shù)值解。式(10)所對(duì)應(yīng)的泛函為：

(11)

式中，F(xiàn)(az)對(duì)Az的變分δF(Az)取極小值的解就是所要求的物理解。

2.2 邊界條件

上述求解區(qū)域S包含渦流區(qū)S1和空氣區(qū)S2。如圖3所示，在區(qū)域S1內(nèi)磁導(dǎo)率為4π×107H/m，電導(dǎo)率為1.7×10-8Ω·m；在區(qū)域S2內(nèi)磁導(dǎo)率為1 H/m，電導(dǎo)率為0。渦流區(qū)的邊界條件為連續(xù)條件。對(duì)于空氣區(qū)的邊界條件設(shè)置，常規(guī)分析需要設(shè)置Mur或PML吸收邊界條件，使場(chǎng)在截?cái)噙吔鐭o(wú)反射，但該問(wèn)題中軌道間距遠(yuǎn)小于求解區(qū)域尺寸，軌道中電流方向相反，在邊界處產(chǎn)生的場(chǎng)相互抵消，可以認(rèn)為邊界上場(chǎng)值為0，即：

ΓS2∶Az=0

(12)

后續(xù)仿真結(jié)果與文獻(xiàn)資料比較證明了該近似方法的可行性。編程即可解得計(jì)算區(qū)域內(nèi)Az的分布情況。

2.3 軌道電感梯度求解

設(shè)激勵(lì)電流的方向?yàn)閦方向，由于求解軌道的電感梯度與激勵(lì)電流幅度無(wú)關(guān)，因此為了求解方便，設(shè)置流入流出兩軌道的電流最大值分別為-1 A和1 A，相位為0，激勵(lì)頻率范圍設(shè)定為20 Hz～20 kHz。編程求解得到軌道內(nèi)各點(diǎn)的磁矢位Az，就可以求出各節(jié)點(diǎn)的H、B的值，再相應(yīng)地求解其他需要的參數(shù)。

上述二維有限元方法求解得到軌道橫截面及周圍空間中的場(chǎng)參數(shù)分布，沿軌道方向單位長(zhǎng)度內(nèi)軌道及周圍空間儲(chǔ)存的平均電磁能量WAV可表示為[7]：

(13)

式中:V為二維計(jì)算區(qū)域在軌道方向單位長(zhǎng)度的體積，平均電磁能量WAV與軌道電流的最大值Im、電感量L的關(guān)系為：

(14)

則電感梯度為：

(15)

式中:l為單位軌道長(zhǎng)度。

3 求解結(jié)果與分析

3.1 電磁效應(yīng)分析

圖4和圖5分別是激勵(lì)電流頻率為200 Hz和20 kHz時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度分布圖。圖中軌道內(nèi)部電流密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度從內(nèi)至外逐漸增強(qiáng)，且分布不均勻，兩軌道的相鄰一側(cè)密度較大。當(dāng)電流頻率為200 Hz時(shí)，軌道橫截面中心電流密度為9.7×103A/m2，磁感應(yīng)強(qiáng)度為4×10-8T，最外層邊界處的電流密度為1.0×104A/m2，磁感應(yīng)強(qiáng)度為4×10-5T；當(dāng)頻率達(dá)到20 kHz時(shí)電流密度分布在軌道的最外層邊緣附近，其內(nèi)部的電流密度幾乎為零，在軌道內(nèi)側(cè)邊緣和拐角處磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到了6.8×10-5T，電流密度達(dá)到了1.36×105A/m2，這是受趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)共同作用的結(jié)果。此時(shí)激勵(lì)電流的幅度僅為1 A，而實(shí)際電磁發(fā)射器的激勵(lì)電流最大值可以達(dá)到105～106A數(shù)量級(jí)，在軌道的內(nèi)側(cè)和拐角處的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度將是一個(gè)非常大的值，高的電流密度將使軌道內(nèi)側(cè)的熱損耗急劇增加，甚至能達(dá)到其材料的熔點(diǎn)引起軌道內(nèi)側(cè)表面熔解和汽化，進(jìn)而破壞軌道的平滑度使得軌道變得凹凸不平導(dǎo)致無(wú)法再使用。

圖6是在軌道尺寸一定情況下(參數(shù)如圖2所示)，根據(jù)式(15)求得的電感梯度隨頻率變化分布情況，結(jié)果與文獻(xiàn)[8,9]中電感梯度變化的趨勢(shì)是一致的。

由圖6可以看出，頻率對(duì)電感梯度影響較大。低頻(0～1 kHz)電流激勵(lì)下電感梯度在0.69～0.65 μH/m范圍內(nèi)變化，且隨著激勵(lì)電流頻率的升高電感梯度持續(xù)下降，當(dāng)頻率為8 kHz時(shí)電感梯度下降為0.6 μH/m。上述電感梯度的變化原因也可用電流的趨膚效應(yīng)來(lái)解釋，當(dāng)頻率增加時(shí)電流趨向于導(dǎo)體的表面流動(dòng)，內(nèi)部的磁場(chǎng)減弱，磁場(chǎng)僅圍繞在導(dǎo)體的表面使得電感量減小。由前述可知電感梯度下降會(huì)造成電磁發(fā)射系統(tǒng)效率的降低，因此可以得出如下結(jié)論：要提高電感梯度，激勵(lì)電流應(yīng)該是平穩(wěn)無(wú)變化的，即恒流激勵(lì)可使得電感梯度為最大，此時(shí)電樞受力均勻、速度增加平穩(wěn)。但是恒流激勵(lì)會(huì)造成軌道電感儲(chǔ)能過(guò)大，同樣會(huì)降低電磁發(fā)射系統(tǒng)的效率。因此在脈沖成形網(wǎng)絡(luò)電路設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮激勵(lì)電流波形的變化，既要得到能夠保持較高電感梯度所需要的恒定電流，又要設(shè)法使末電流盡可能地降低以便減少電感儲(chǔ)能。

3.2 軌道電感梯度與幾何尺寸的關(guān)系

Asghar Keshtkar 等人提出了一種電感梯度的智能估算公式 (IEM)[6-10]，該方法適用于頻率較低的情況，而電磁發(fā)射系統(tǒng)中的激勵(lì)電流頻率是變化的，因此IEM近似估計(jì)式在頻率變化時(shí)會(huì)存在誤差。本文采取有限元計(jì)算方法(FEM)，為了與IEM進(jìn)行比較，激勵(lì)電流取較低的頻率200 Hz。以下是分別采用FEM和IEM方法得到的電感梯度和軌道尺寸的關(guān)系。電感梯度與軌道的幾何關(guān)系如圖7所示。

圖7中計(jì)算的軌道參數(shù)與圖2參數(shù)相同，變化的分別是寬度、高度和間距。由圖7可看出，軌道的電感梯度與軌道的尺寸有關(guān)系。在軌道高度和間距不變情況下，軌道的電感梯度隨著寬度增加而減??；在軌道寬度和間距不變情況下，軌道的電感梯度隨著高度增加而減小；在軌道寬度和高度不變情況下，軌道的電感梯度隨著軌道間距增加而增加。因此為了獲得較高的電感梯度，可以通過(guò)減小軌道的寬度和高度、增大軌道間距來(lái)獲得。當(dāng)然軌道的高度和寬度不能無(wú)限制地減小，考慮到軌道在通過(guò)極大激勵(lì)電流時(shí)會(huì)受到極大的電磁力，為了有足夠的強(qiáng)度，軌道的高度和寬度有一定的限制。另外考慮軌道是電樞滑動(dòng)的載體，軌道的尺寸還要取決于電樞的尺寸。雖然增加軌道間距也可以增加軌道的電感梯度，考慮到電樞與發(fā)射體的尺寸，軌道的間距也不可能做得過(guò)大。本文采用FEM方法對(duì)軌道電感梯度計(jì)算，與此同時(shí)計(jì)算過(guò)程也與IEM方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明兩種方法在結(jié)果上十分接近，因此在低頻電流作用下，可以采用IEM方法進(jìn)行電感梯度的估算，同時(shí)通過(guò)此例也證明了有限元法計(jì)算電感梯度等負(fù)載參數(shù)的有效性。

4 結(jié) 論

本文主要分析了脈沖成形網(wǎng)絡(luò)負(fù)載靜態(tài)參數(shù)的分布情況。首先推導(dǎo)了軌道的二維渦流場(chǎng)參數(shù)求解方程, 建立了軌道的二維有限元模型，求解渦流場(chǎng)中的矢量磁位，再通過(guò)計(jì)算渦流場(chǎng)的能量求解出軌道的電感梯度隨頻率變化的分布，同時(shí)計(jì)算出軌道中磁感應(yīng)強(qiáng)度、電流密度隨頻率變化的分布。接著分析了電感梯度與軌道幾何尺寸的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果與工程經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了比較，分析得到如下結(jié)論：軌道的電感梯度隨著頻率增加而減小，在較低頻率范圍內(nèi)，計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式相吻合。 為提高電感梯度，驅(qū)動(dòng)電流的波形需要盡可能保持平穩(wěn)。 適當(dāng)減小軌道的寬度、高度，增加軌道間距，可增加軌道的電感梯度，便于提高電磁發(fā)射效率。

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