董春會(huì)

一、沿著一條直線對(duì)折，如果兩個(gè)點(diǎn)能夠互相重合，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做以這條直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).

如果兩個(gè)點(diǎn)是以某一條直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，那么這條直線就是連接這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線.

反過來，如果直線MN是線段AA'的垂直平分線，則OA=OA'，∠AOM=∠A'OM=90°，沿著直線MN對(duì)折，∠AOM和∠A' OM重合，線段OA和OA'重合，從而點(diǎn)A和A'重合，則點(diǎn)A和A'是以直線MN為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，于是得到：一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)是以這條線段的垂直平分線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).

由此可以得出對(duì)稱點(diǎn)的作法，要作出點(diǎn) A以直線MN為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，可以過點(diǎn)A作AO⊥MN，并延長(zhǎng)AO到A'，使OA'=OA，則點(diǎn)A'就是所求的對(duì)稱點(diǎn).

二、兩個(gè)圖形如果沿著一條直線對(duì)折，能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.

如圖2，△ABC和△A'B'C'沿著直線MN對(duì)折能完全重合，則稱△ABC和△A'B'C'關(guān)于MN成軸對(duì)稱.

顯然，在以某一條直線為對(duì)稱軸的兩個(gè)對(duì)稱圖形中，其中一個(gè)圖形上的點(diǎn)關(guān)于這條對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，都在另一個(gè)圖形上.

根據(jù)全等形的定義可知，以某一條直線為對(duì)稱軸的兩個(gè)對(duì)稱圖形必定全等.

三、如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

要注意軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別，這是兩個(gè)不同的概念，表示兩種不同的圖形，不能互相混淆.前者是兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱，后者是一個(gè)圖形的兩個(gè)部分關(guān)于某一條直直線對(duì)稱.

明白軸對(duì)稱圖形的有關(guān)知識(shí)后，下面舉例說明它在解題中的應(yīng)用.

例1 某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇.現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案有圓和正方形（圓和正方形的個(gè)數(shù)不限），并且使整個(gè)矩形場(chǎng)地成軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)趫D3的矩形中畫出你設(shè)計(jì)的兩個(gè)方案.

解析：如圖4，給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案（注意方案不是惟一的，只要設(shè)計(jì)出兩個(gè)合理的方案即可）.

例2 已知∠MON=40°，P是∠MON內(nèi)一點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，則當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)等于_______.

解析：如圖5，過P作PC⊥OM于C，并延長(zhǎng)PC到D，使CD=PC；

再過P作PE⊥ON于E，并延長(zhǎng)PE到F，使EF=PE.

連接DF，分別交OM于A，交ON于B.連接AP、BP.

則此時(shí)所得的△PAB的周長(zhǎng)取最小值.

易知∠CPE=140°，

于是∠APB=140°-∠APC-∠BPE=140°-（90°-∠PAC）-（90°-∠PBE）=∠PAC+∠PBE -40°=∠DAC+∠FBE-40°=∠OAB+∠OBA-40°=180°-∠O-40°=100°.

或∠APB=140°-∠APC-∠BPE=140°-（∠ADC+∠BFE）=140°-（180°-140°）=100°.