張正旺，李愛平，劉雪梅，謝 楠

（1．同濟(jì)大學(xué) 現(xiàn)代制造技術(shù)研究所，上海208104；2．同濟(jì)大學(xué) 中德工程學(xué)院，上海201804）

結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)是影響機(jī)床整機(jī)動(dòng)力學(xué)性能的關(guān)鍵因素，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，機(jī)床中出現(xiàn)的振動(dòng)問(wèn)題有60%以上源自結(jié)合面［1］．在機(jī)床動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中，要建立準(zhǔn)確的機(jī)床動(dòng)力學(xué)模型，就必須考慮結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性．結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性參數(shù)分析一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)．

在機(jī)床、刀具、工件組成的工藝系統(tǒng)中，主軸－刀柄結(jié)合面等彈性連接是高速切削時(shí)產(chǎn)生顫振的一個(gè)主要來(lái)源，其聯(lián)結(jié)性能直接影響到被加工工件的尺寸精度、表面粗糙度和設(shè)備的加工效率．主軸－刀柄結(jié)合面的參數(shù)識(shí)別是主軸－刀柄系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的關(guān)鍵問(wèn)題，為了準(zhǔn)確獲取其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)探索與研究．Yuan等［2］提出了一種基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)與有限元分析技術(shù)的連接副的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法，Kim 等［3］采用該方法識(shí)別了主軸－刀柄的結(jié)合面的接觸剛度和阻尼，結(jié)果表明，隨著軸向預(yù)載荷的增加，結(jié)合面的接觸剛度逐漸增大，而接觸阻尼則相應(yīng)減小．Becker等［4］基于剛體動(dòng)力學(xué)和頻響函數(shù)理論，同時(shí)識(shí)別出刀柄－刀具結(jié)合面6個(gè)自由度方向的剛度．Aoyama等［5］采用實(shí)驗(yàn)和有限元方法分析了轉(zhuǎn)速對(duì)主軸－刀柄的結(jié)合面徑向接觸剛度的影響，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速越高，結(jié)合面的徑向接觸剛度越?。瓾anna等［6］利用有限元方法分析了接合面的幾何形狀、夾緊力、轉(zhuǎn)速、彎曲載荷及扭轉(zhuǎn)載荷對(duì)HSK（hollow short kegel）刀柄－主軸結(jié)合面性能的影響．Agapiou 等［7－8］分別采用實(shí)驗(yàn)加有限元方法、ABAQUS有限元程序及Becker等［4］提出的方法識(shí)別了CAT（caterpillar）刀柄及HSK 刀柄與主軸的結(jié)合面的接觸靜剛度．Erturk 等［9－11］對(duì)耦合系統(tǒng)組件（主軸、刀柄、刀具）的彈性導(dǎo)納耦合方程進(jìn)行重新整理，得到主軸－刀柄及刀柄－刀具結(jié)合面的復(fù)數(shù)剛度矩陣，該矩陣中各元素的實(shí)部為結(jié)合面的接觸剛度，虛部除以激勵(lì)頻率為結(jié)合面的接觸阻尼．Namazi等［12］以均勻分布的平移和扭轉(zhuǎn)彈簧單元對(duì)主軸－刀柄結(jié)合面建模，通過(guò)最小化實(shí)驗(yàn)測(cè)定與估計(jì)的頻響之間的誤差對(duì)結(jié)合面的平移和扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行識(shí)別．

盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者在主軸－刀柄結(jié)合面參數(shù)識(shí)別方面做過(guò)許多努力，但仍然存在兩個(gè)主要問(wèn)題：一是大部分主軸－刀柄結(jié)合面的參數(shù)識(shí)別采用參數(shù)化識(shí)別方法，即先假定主軸－刀柄結(jié)合面的結(jié)構(gòu)模型是已知的，通過(guò)構(gòu)造帶參數(shù)的主軸－刀柄結(jié)合面模型，確定模型中的參數(shù)的值來(lái)實(shí)現(xiàn)參數(shù)識(shí)別，而實(shí)際工況中的主軸－刀柄結(jié)合面的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，構(gòu)造其結(jié)構(gòu)模型通常較為困難；二是目前大部分的研究仍局限于采用線性模型識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面的系統(tǒng)參數(shù)，但實(shí)際的主軸－刀柄結(jié)合面間呈現(xiàn)出復(fù)雜的接觸狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)，屬于高度非線性的接觸問(wèn)題［13－14］．研究表明，機(jī)床結(jié)構(gòu)的非線性是機(jī)床發(fā)生顫振的主要原因，而機(jī)床結(jié)構(gòu)非線性的一個(gè)重要來(lái)源就是結(jié)構(gòu)中各種結(jié)合面的非線性特性．Dhupia等［15－16］基于Masri等［17－18］提出的非參數(shù)化方法識(shí)別機(jī)床導(dǎo)軋－滑塊結(jié)合面的動(dòng)態(tài)參數(shù)，用含未知系數(shù)的正交函數(shù)去擬合系統(tǒng)的響應(yīng)，通過(guò)尋找滿足系統(tǒng)響應(yīng)最佳匹配的函數(shù)系數(shù)，得到了結(jié)合面之間的接觸力的非線性表達(dá)式，并用非線性導(dǎo)納耦合法分析了此非線性接觸力對(duì)機(jī)床動(dòng)態(tài)性能的影響，發(fā)現(xiàn)結(jié)合面處的非線性特性對(duì)機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能會(huì)產(chǎn)生較大的影響．

德國(guó)Aachen工業(yè)大學(xué)研制的HSK 刀柄近年來(lái)在高速切削機(jī)床上得到普遍應(yīng)用，被認(rèn)為是目前最適用于高速切削的刀柄形式之一．HSK 刀柄與主軸的聯(lián)接結(jié)構(gòu)如圖1所示，刀柄與主軸采用短錐面和法蘭端面同時(shí)定位，刀柄為中空結(jié)構(gòu)，短錐面錐度為1∶10，刀柄與主軸之間通過(guò)附帶夾緊錐的拉桿鎖緊．這種錐面、端面雙面定位的接觸機(jī)制，為主軸－刀柄系統(tǒng)在軸向和徑向剛度及定位精度等方面提供了優(yōu)異的性能．然而，由于主軸與刀柄的設(shè)計(jì)采用了非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，比如HSKA 型刀柄錐柄端面設(shè)有兩個(gè)深度不一致的驅(qū)動(dòng)鍵槽、拉桿機(jī)構(gòu)中的螺紋聯(lián)接結(jié)構(gòu)、單刃刀片結(jié)構(gòu)、側(cè)邊緊固螺釘結(jié)構(gòu)等，以及制造、裝配過(guò)程產(chǎn)生的加工誤差，使主軸－刀柄系統(tǒng)中存在不可避免的偏心質(zhì)量．當(dāng)主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏心質(zhì)量成為主要的激振源，使整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，從而導(dǎo)致主軸和刀柄的彈性結(jié)合面處呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的非線性特性．同時(shí)，由于離心力作用，主軸刀柄安裝錐面間隙在高轉(zhuǎn)速下將發(fā)生變化．本文以HSK 刀柄與主軸的結(jié)合面為研究對(duì)象，視主軸－刀柄結(jié)合面的雙面接觸部為一個(gè)可以用系統(tǒng)狀態(tài)變量描述的非線性單元，基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析法識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面的非線性動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，得到高轉(zhuǎn)速下結(jié)合面非線性接觸力的解析模型，為進(jìn)一步研究主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性提供條件．

圖1 主軸－刀柄聯(lián)接結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Spindle－h(huán)older system

1 主軸－刀柄結(jié)合面非線性參數(shù)識(shí)別

結(jié)合面問(wèn)題從本質(zhì)上講是粗糙表面間的接觸問(wèn)題，接觸問(wèn)題是一種高度非線性行為，是狀態(tài)變化非線性類型中一個(gè)特殊而重要的子集．HSK 刀柄利用端面和錐面同時(shí)與主軸接觸定位，其結(jié)合面表現(xiàn)為彈性接觸，主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于接觸剛度、接觸阻尼及外部激勵(lì)力的存在，結(jié)合面產(chǎn)生徑向非線性接觸力f（x，）和切向非線性接觸力f（y，）．將刀柄與主軸分別看成質(zhì)量塊M1，M2，主軸－刀柄端面和錐面雙面接觸部看作可以用系統(tǒng)狀態(tài)變量（相對(duì)位移、相對(duì)速度）描述的非線性單元，得到如圖2所示的簡(jiǎn)化非線性振動(dòng)系統(tǒng)．

圖2 主軸－刀柄非線性振動(dòng)系統(tǒng)Fig．2 Spindle－h(huán)older nonlinear vibration system

徑向非線性接觸力f（x，）和切向非線性接觸力f（y，）的大小可表示為結(jié)合面相對(duì)位移和相對(duì)速度的組合［16］，即

式中：x，分別為結(jié)合面的徑向相對(duì)位移和徑向相對(duì)速度；y，分別為結(jié)合面的切向相對(duì)位移和切向相對(duì)速度；k1i，c1i，l1i，k2i，c2i，l2i為未知系數(shù)．目 前 大部分的相關(guān)研究都只考慮了主軸－刀柄結(jié)合面的線性剛度和線性阻尼，而忽略了它的非線性項(xiàng)．

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得圖2所示振動(dòng)系統(tǒng)中刀柄的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：Fr，F(xiàn)t分別為刀柄鎖緊機(jī)構(gòu)通過(guò)夾緊錐向刀柄施加的徑向和切向夾緊力；Fr（t），F(xiàn)t（t）分別為偏心質(zhì)量引起的徑向和切向外部激勵(lì)力，當(dāng)主軸－刀柄系統(tǒng)工作頻率為ω，偏心量為e時(shí)，F(xiàn)r（t），F(xiàn)t（t）大小分別為

式（2）中的（t），（t）分別為徑向和切向相對(duì)瞬態(tài)加速度，且

式中：x1，x2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的徑向位移；分別為刀柄和主軸結(jié)合面的徑向速度；y1，y2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的切向位移；1，2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的切向速度．

由式（2）可得主軸－刀柄結(jié)合面的徑向和切向接觸力分別為

實(shí)驗(yàn)方法無(wú)法直接測(cè)量出主軸－刀柄結(jié)合面的瞬態(tài)響應(yīng)，因此，需要采用商業(yè)有限元分析軟件對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析．在有限元分析軟件中建立主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型，為保證該有限元模型的正確性，對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行自由模態(tài)分析，并將得到的固有頻率與自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行對(duì)比，如存在差異則修正有限元模型．對(duì)修正后的主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析，得到結(jié)合面瞬態(tài)位移、瞬態(tài)速度及瞬態(tài)加速度的時(shí)間歷程表達(dá)式，結(jié)合式（5）可求得結(jié)合面非線性接觸力f（x，），f（y，）的時(shí)間歷程數(shù)據(jù)f（x（t），（t）），f（y（t），（t））．

為了確定式（1）中的未知系數(shù)，得到結(jié)合面非線性接觸力f（x，）及f（y，）的解析表達(dá)式，從x（t），（t），f（x（t），（t））的時(shí)間歷程中取出m個(gè)樣本點(diǎn)x（tm），（tm），f（x（tm），（tm）），從y（t），（t），f（y（t），（t））的時(shí)間歷程中取出m個(gè)樣本點(diǎn)y（tm），（tm），f（y（tm），（tm）），并分別對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行回歸分析．

式中：cij，dij為切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)；Tn（ζ）為切比雪夫多項(xiàng)式，即

切比雪夫多項(xiàng)式具有正交性，即

綜上，基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析技術(shù)識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)的流程圖如圖3所示．

2 算例

HSK63A 刀柄是在高速切削加工中得到廣泛應(yīng)用的一款刀柄，其形狀尺寸及相應(yīng)的主軸內(nèi)孔錐面的尺寸可根據(jù)德國(guó)標(biāo)準(zhǔn)DIN 69893－1：1996－01確定，HSK63A 刀柄的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)尺寸如圖4所示．

本算例擬采用的某公司生產(chǎn)的主軸與HSK63A刀柄的三維模型如圖5所示．設(shè)主軸－刀柄系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速為n＝24 000r·min－1，系統(tǒng)不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的偏心量為e＝0．02mm，通過(guò)拉桿的夾緊錐作用在刀柄內(nèi)孔30°斜面上的夾緊力沿主軸軸向方向的大小為F＝18kN．

圖3 主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)識(shí)別流程圖Fig．3 Flow chart of nonlinear dynamic parameter identification of spindle－h(huán)older interface

圖4 HSK63A 刀柄結(jié)構(gòu)圖（單位：mm）Fig．4 HSKA63Aholder（unit：mm）

圖5 主軸－HSK63A 刀柄三維模型Fig．5 3D model of spindle－HSK63Aholder

將主軸－HSK63A 刀柄系統(tǒng)的三維模型導(dǎo)入商業(yè)有限元分析軟件HyperWorks 的前處理模塊HyperMesh中，建立如圖6 所示的有限元分析模型．模型由刀柄、主軸以及它們之間的結(jié)合面組成，主軸與刀柄的端面接觸與錐面接觸部分均采用CONTACT 卡片設(shè)置，靜摩擦系數(shù)μs＝0．2，徑向和切向外部激勵(lì)力Fr（t），F(xiàn)r（t）采用TLOAD2卡片施加，并用DLOAD 卡片對(duì)徑向和切向外部激勵(lì)力Fr（t），F(xiàn)r（t）進(jìn)行組合．主軸及刀柄的材料采用45號(hào)鋼，因此，取密度ρ＝7．86×10－6kg·mm－3，彈性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0．3．

圖6 主軸－HSK63A 刀柄系統(tǒng)有限元模型Fig．6 FEM model of spindle－HSK63Aholder

施加好所需的約束及載荷條件后，利用HyperWorks提供的Radioss求解器對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率，同時(shí)，對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)進(jìn)行自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)，測(cè)得主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率．根據(jù)兩種方法得到的固有頻率的對(duì)比結(jié)果，通過(guò)細(xì)化有限元網(wǎng)格及調(diào)整接觸對(duì)的參數(shù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，最終確定有限元單元網(wǎng)格長(zhǎng)度為2．5mm，接觸對(duì)設(shè)置參數(shù)中的靜摩擦系數(shù)調(diào)整為0．215．最終得到的有限元模型模態(tài)分析同模態(tài)實(shí)驗(yàn)的前6階固有頻率對(duì)比如表1所示，從表中可以看出，修正后的有限元模型得到的結(jié)果同模態(tài)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果比較接近，因此，可以認(rèn)為此有限元模型較真實(shí)地模擬了主軸－刀柄的實(shí)際系統(tǒng)，能夠反映真實(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性．

表1 主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模態(tài)及實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的固有頻率Tab．1 Natural frequencies of FEA and mode test

在HyperMesh中設(shè)置主軸前軸承支撐處的徑向和軸向位移為0，后軸承支撐處的徑向位移為0，即使主軸－刀柄系統(tǒng)僅保留繞軸向轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)自由度，然后設(shè)置主軸－刀柄系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速為24 000r·min－1．利用Radioss求解器對(duì)修正后的主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析，可得到主軸－刀柄雙面接觸部位于刀柄上的11個(gè)節(jié)點(diǎn)在轉(zhuǎn)速為24 000r·min－1時(shí)的相對(duì)瞬態(tài)位移、相對(duì)瞬態(tài)速度及相對(duì)瞬態(tài)加速度，取其平均值表示主軸－刀柄結(jié)合面的相對(duì)瞬態(tài)位移、相對(duì)瞬態(tài)速度及相對(duì)瞬態(tài)加速度．因?yàn)橹鬏S－刀柄結(jié)合面徑向非線性接觸力與切向非線性接觸力的求解過(guò)程基本相同，故本算例僅介紹切向非線性接觸力的求解過(guò)程．主軸－刀柄結(jié)合面處的切向相對(duì)瞬態(tài)位移、切向相對(duì)瞬態(tài)速度及切向相對(duì)瞬態(tài)加速度時(shí)間歷程分別如圖7、圖8、圖9所示．

圖7 切向相對(duì)瞬態(tài)位移y（t）Fig．7 Tangential relative transient displacement y（t）

圖8 切向相對(duì)瞬態(tài)速度（t）Fig．8 Tangential relative transient velocity （t）

圖9 切向相對(duì)瞬態(tài)加速度（t）Fig．9 Tangential relative transient acceleration （t）

由圖7、圖8、圖9所示的切向相對(duì)瞬態(tài)位移、切向相對(duì)瞬態(tài)速度、切向相對(duì)瞬態(tài)加速度的時(shí)間歷程及圖10 所示的切向外部激勵(lì)力時(shí)間歷程，根據(jù)式（5）可得到結(jié)合面徑向接觸力的時(shí)間歷程數(shù)據(jù)．

圖10 切向外部激勵(lì)力Ft（t）＋FtFig．10 Tangential excitation force Ft（t）＋Ft

以相同的時(shí)間間距Δt＝0．4s，從各個(gè)瞬態(tài)響應(yīng)值中取出50對(duì)相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)作為樣本點(diǎn)，即樣本點(diǎn)為

應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合，最終得到主軸－刀柄結(jié)合面切向非線性接觸力的表達(dá)式為

同理可得主軸－刀柄結(jié)合面徑向非線性接觸力的表達(dá)式為

3 驗(yàn)證

Hyperworks軟件中提供了允許用戶定義載荷位移非線性關(guān)系的非線性彈簧單元．為了驗(yàn)證前面得到的主軸－刀柄結(jié)合面非線性接觸力計(jì)算模型的正確性，在Radioss中采用非線性彈簧單元模擬刀柄承受的如式（10）及式（11）所示的非線性接觸力，對(duì)刀柄有限元模型進(jìn)行直接頻響分析，然后對(duì)整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型進(jìn)行直接頻響分析，分別得到刀柄前端中心部位的頻響函數(shù)如圖11所示．從圖中可以看出，兩種頻響曲線較為一致，說(shuō)明采用本文得到的非線性接觸力計(jì)算模型進(jìn)行主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析能夠得到理想的分析結(jié)果．

圖11 施加非線性接觸力的刀柄及主軸－刀柄頻響函數(shù)Fig．11 Frequency response functions of holder with the nonlinear contact force and spindle－h(huán)older system

4 結(jié) 語(yǔ)

基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析技術(shù)提出了一種主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)的識(shí)別方法．將主軸－刀柄結(jié)合面視為一個(gè)聯(lián)結(jié)主軸和刀柄的非線性單元，并對(duì)主軸－刀柄結(jié)合面有限元模型的非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析結(jié)果應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行最小二乘法擬合，最終得到了主軸－刀柄結(jié)合面之間徑向和切向非線性接觸力的解析模型，并通過(guò)算例與有限元頻響分析驗(yàn)證了該方法的有效性．此非線性接觸力模型可直接應(yīng)用于后續(xù)的主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模中，為進(jìn)一步研究整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)的整體動(dòng)態(tài)特性提供了必要條件．

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