張玲紅，尤建新，薛奕曦，邱國華

（同濟大學 經(jīng)濟與管理學院，上海200092）

隨著技術(shù)進步和市場競爭的加劇，產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快，越來越多的產(chǎn)品呈現(xiàn)出易逝品的特征．如各類電子產(chǎn)品和信息產(chǎn)品都具有易逝品的特征，易逝品在商場、超市的貨架上所占的比例也越來越大［1］．易逝品根據(jù)價格隨銷售時間的變化主要分為兩大類［2］：一類是隨銷售時間的推遲，價格越來越高，例如航空機票；另一類是隨著銷售時間的縮短，價格不斷減小，例如電子商品．本文的研究對象為第二類，考慮隨銷售時間的縮短，價格不斷減小的產(chǎn)品，并且明顯具有生產(chǎn)提前期長，銷售時間短，期末殘值低，受價格影響需求波動明顯的產(chǎn)品，例如衣服、電子產(chǎn)品；由于在銷售時間內(nèi)未被銷售出去的剩余產(chǎn)品，零售商將會以低于成本的價格進行清倉處理，因此零售商在銷售時間內(nèi)需要根據(jù)市場需求的波動性來動態(tài)調(diào)整價格，降低剩余庫存．近年來動態(tài)定價已經(jīng)成為學術(shù)界的研究熱點，在易逝品的銷售中得到廣泛應用，如航空公司的機票，時裝以及生鮮食品等．因此研究易逝品的動態(tài)定價策略，有很強的理論與現(xiàn)實意義．

1992年Weatherford 和Bodyily［3］從收益管理的角度系統(tǒng)闡述了易逝品的動態(tài)定價問題．近年來關(guān)于易逝品的動態(tài)定價研究在收益管理中得到廣泛應用，比如航空機票、報紙、蔬菜、衣服的價格設(shè)置等．Gallego和van Ryzin［4］研究了單產(chǎn)品動態(tài)定價問題，假設(shè)顧客到達服從泊松過程，構(gòu)造了連續(xù)時間隨機動態(tài)規(guī)劃模型，證明了最優(yōu)值函數(shù)是庫存水平和時間的嚴格凹函數(shù)，并且得到隨著銷售數(shù)量的增加最多改變一次價格的策略是漸近最優(yōu)的．基于此，F(xiàn)eng和Gallego［5］把價格改變的次數(shù)設(shè)定為1，并預先設(shè)定價格改變前后的價格大小，得到了價格改變的最佳時刻．Chatwin［6］考慮了需求依賴于庫存水平下的動態(tài)定價策略，假定易逝商品的市場需求服從泊松分布且到達強度僅依賴商品的價格，在此基礎(chǔ)上分析了連續(xù)時間函數(shù)下易逝商品的最優(yōu)定價方法．Aviv和Pazgal［7］考慮了消費者在隨機到達的情形下，保留價格隨時間變化，給出固定折扣與臨時打折兩種策略，最后比較分析了這兩種定價策略．我國學者也在動態(tài)定價方面做了大量的工作．楊慧和周晶［8－9］構(gòu)建了兩種競爭性產(chǎn)品降價時點設(shè)定問題的博弈模型，根據(jù)競爭對手決策時間的先后，分別研究了Cournot博弈與Stackelberg 博弈．劉曉峰和黃沛［10］討論了面對策略消費者時，廠商如何在確定性和不確定性需求情形下，決定相應的庫存和價格．李根道等［11］研究了隨機情況下庫存和價格影響需求的價格決策問題，給出了最優(yōu)價格策略唯一的充分條件并分析了解的結(jié)構(gòu)．然而上述文獻的大部分研究在實施最優(yōu)定價策略后直接對剩余的庫存以低于產(chǎn)品成本價的清倉價進行拋售，并沒有考慮其他策略進一步減少剩余庫存．

由于銷售時期內(nèi)沒有售出的產(chǎn)品，廠商將以低于成本的價格拋售產(chǎn)品，因此本文考慮在產(chǎn)品銷售的低谷期引入數(shù)量折扣策略來增加銷售量，降低剩余庫存．數(shù)量折扣在供應商與零售商的訂貨模型中非常常見，為了激勵零售商增加訂貨量，供應商通常會采用數(shù)量折扣策略從而達到供應鏈協(xié)調(diào)．Chiang，James，Huang等［12］利用博弈論分析了賣方的數(shù)量折扣問題，并用數(shù)值算例驗證了數(shù)量折扣策略能有效提高交易雙方利潤；Li等［13］研究了市場需求服從正態(tài)分布時，供應商與零售商組成的兩級供應鏈的協(xié)調(diào)問題，證明了數(shù)量折扣策略可以改進供應鏈整體績效；然而在現(xiàn)實生活中有很多零售商對終端消費者采取數(shù)量折扣，商場中經(jīng)常會看到購買一件產(chǎn)品全價，購買兩件享受九折優(yōu)惠，超市中食品的此類促銷也很常見．Weng［14］假設(shè)市場需求是商品價格的函數(shù)得出數(shù)量折扣可以有效刺激市場需求．

基于上述文獻研究，本文重點在于將數(shù)量折扣應用到動態(tài)定價中，考慮在有限庫存的情況下，易逝品的最優(yōu)動態(tài)定價策略與數(shù)量折扣策略．本文首先從兩階段定價的基本模型出發(fā)，確定廠商的最優(yōu)兩階段價格策略；其次，利用數(shù)量折扣與由此增加的需求量的關(guān)系，得到擴展模型的最優(yōu)數(shù)量折扣策略；最后，利用Matlab進行數(shù)值分析，給出了相應的管理實踐方面的應用．

1 基本模型

壟斷廠商初始庫存為K，產(chǎn)品成本為c．產(chǎn)品銷售期T分為兩個階段：第一階段，銷售高峰期［0，H］；第二階段，銷售低谷期［H，T］．兩階段價格分別為p1，p2，且p1≥p2；模型不考慮由于顧客到達時間的不同引起的異質(zhì)性，假設(shè)顧客在銷售初期就已到達并且數(shù)量為N［15］，每個顧客對產(chǎn)品都存在一個保留價格V，如果產(chǎn)品的價格不大于顧客的保留價格，顧客就會購買產(chǎn)品．顧客對產(chǎn)品的保留價格V是獨立同分布的隨機變量，并且只有消費者自身知道自己的保留價格，廠商和其他的消費者都無法知道．假設(shè)顧客保留價格的分布函數(shù)R（V）服從［VL，VH］上的均勻分布，其中VL為顧客保留價格的最小值且VL≥c，VH為顧客保留價格的最大值．第二階段價格滿足p2≥VL，因為當廠商在第二階段的價格為最小保留價格VL時，降低價格并不會增加銷售量，反而會減少廠商收入；利用x（t）表示t階段結(jié)束時廠商的剩余庫存．在第二階段銷售結(jié)束時，如果廠商剩余庫存不為零，則廠商將采用低于成本的價格δ拋售產(chǎn)品，此時大量顧客進入市場，剩余庫存全部售罄．廠商根據(jù)銷售期內(nèi)顧客的數(shù)量及保留價格，決定兩階段價格p1，p2．

由于在銷售結(jié)束時廠商庫存不會小于零，即x（2）≥0，此時第二階段銷售價格p2需滿足p2≥VH－（VH－VL）K／N．

由上述分析可得廠商的利潤函數(shù)如下：

由于目標函數(shù)是嚴格二次凸函數(shù)，可行域是非空閉凸集，所以解存在且唯一．下述定理給出了上述二次規(guī)劃的解析解．

定理1 如果第二階段結(jié)束時廠商剩余庫存x（2）＝0，則 廠 商 的 最 優(yōu) 定 價

證明 如果x（2）＝0，則

由x（2）＝0可得K≤N，從而p2≥VL，因此最優(yōu)第二階段價格

定理2 如果第二階段結(jié)束時廠商剩余庫存x（2）＞0，則最優(yōu)價格為

證明 若x（2）＞0，即可得則廠商利潤函數(shù)Π（p1，其中

對p1，p2求偏導數(shù)，有

結(jié)論1 如果廠商的初始庫存為K，在確定了顧客的最高保留價格與最低保留價格后，廠商的最優(yōu)價格

廠商在利潤最大化過程中存在著價格與剩余庫存的博弈：高的價格對應著高的剩余庫存，低的價格與低剩余庫存相對應；廠商在何種情況下寧愿選擇高的剩余庫存也要維持高的價格，在何種情況下寧愿降低價格來減少剩余庫存，定理1，2給出了相對應的條件．

2 擴展模型

考慮到廠商在采取最優(yōu)價格策略后，第二階段剩余庫存不為零，則剩余產(chǎn)品將以低于成本的價格δ銷售．為了提高利潤，增加季節(jié)性產(chǎn)品在淡季時的需求，在銷售的第二階段廠商采取全量數(shù)量折扣策略，不計采取折扣策略增加的廠商成本．假設(shè)第二階段顧客的購買數(shù)量為1個或者2個單位，如果顧客購買產(chǎn)品的數(shù)量為2個單位時，顧客可享受折扣價格θp2，θ∈［c／p2，1］，其中，1－θ稱為第二階段廠商采取的價格折扣．假設(shè)α為采取數(shù)量折扣策略吸引的購買2個單位產(chǎn)品的顧客數(shù)量比例，則α為θ的單調(diào)減函數(shù)．由于單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在反函數(shù)，記θ＝f（α），其中α∈［0，f－1（c／p2）］；廠商根據(jù)第一階段的剩余庫存，確定第二階段產(chǎn)品的價格折扣以期利潤最大化．

廠商利潤函數(shù)如公式（2）所示．

α≤因 此α∈［0，

定理3 如果第二階段剩余庫存x（2）＞0，假設(shè)θ＝f（α）為一次函數(shù)，廠商采取最優(yōu)價格1，2，則第二階段廠商采取的最優(yōu)價格折扣為θ（α＊）．

證明 對公式（2）求α的偏導數(shù)得

因為θ＝f（α）為一次函數(shù)，易知Π1（p1，p2，α）為α的二次函數(shù)，因此，如果g（b）≥0，則在區(qū)間［0，b］上必存在唯一的最優(yōu)折扣θ（b）；如果g（b）＜0，則在區(qū)間［0，b］上必存在唯一的最優(yōu)折扣θ（α＊），其中α＊滿足g（α＊）＝0．

結(jié)論2 采取數(shù)量折扣策略后廠商的利潤增加值如公式3所示．

3 數(shù)值分析

3．1 數(shù)值實例

假設(shè)α＝1－θ，δ＝0．2VL，c＝1，K＝50，VL＝1，VH＝3，ΔΠ／Π表示廠商利潤的增加率，用來反映數(shù)量折扣策略的有效性．

由表1可知，廠商采取兩階段動態(tài)定價策略，當54≤N≤60時，廠商選擇適當?shù)膬呻A段價格，清除庫存使得利潤最大化．當50≤N≤53時，廠商有機會出售掉所有產(chǎn)品，但是廠商選擇了制定較高的價格來彌補剩余庫存所帶來的損失，最大化利潤．N≤53時，產(chǎn)品價格的確定與顧客數(shù)量無關(guān)，因此兩階段價格并沒有任何變化．此時廠商采取數(shù)量折扣策略，有效降低了第二階段庫存并且使得廠商利潤增加；隨著N的減小，第二階段價格折扣不斷降低；由于折扣價格不小于成本，最終折扣趨于0．88．采取數(shù)量折扣策略后，廠商的利潤明顯增大，但利潤增加率隨著N的減小先增加后減?。?/p>

3．2 靈敏度分析

由于信息的不對稱性，廠商對消費者的最低保留價格與最高保留價格的估計可能會產(chǎn)生波動，在此假設(shè)最低保留價格在0．8～1．2之間波動，最高保留價格在2．6～3．5之間波動，應用給出的算法可以得到圖1，圖2．

表1 顧客數(shù)量N 的變化對價格及利潤的影響Tab．1 Optimal price，discount factor and profit as a function of N

當c＝1，K＝N＝50，VL＝1，δ＝0．2，α＝1－θ時，由圖1可以得出，隨著VH的增大，最優(yōu)的兩階段價格及廠商利潤不斷增加，第二階段購買產(chǎn)品的價格折扣力度1－θ不斷增加；采取數(shù)量折扣后廠商利潤的增加率隨著VH的增大先增加后減?。?/p>

當c＝1，K＝N＝50，VH＝3，δ＝0．2，α＝1－θ時，從圖2可得到，隨著VL的增大，1，2和廠商利潤不斷增大；第二階段購買產(chǎn)品的價格折扣力度1－θ不斷減?。徊扇?shù)量折扣后的廠商利潤增加率隨VL的增大不斷減?。?/p>

通過圖1，2可以得出，VH－VL值越大，采取數(shù)量折扣策略廠商利潤增加越明顯．

圖1 最高保留價格VH 的變化對價格及利潤的影響Fig．1 The optimal pricing policy，price discount factor and profit as a function of VH

圖2 最低保留價格VL 的變化對價格及利潤的影響Fig．2 The optimal pricing policy，price discount factor and profit as a function of VL

4 結(jié)論

討論了庫存有限情況下，廠商采取兩階段定價策略，并且當?shù)诙A段剩余庫存大于零時，在第二階段引入全量數(shù)量折扣策略的易逝品的動態(tài)定價問題．假設(shè)顧客享有的價格折扣與購買2個單位的顧客數(shù)量比例為一次函數(shù)關(guān)系的情況下給出了算例，得出的結(jié)論為：①采取數(shù)量折扣策略后，廠商利潤增加；隨著潛在顧客數(shù)量的減少，第二階段采取的價格折扣力度不斷變大，最終趨于常數(shù)．②第二階段采取的價格折扣，隨著顧客最低保留價格增大而增大；隨著最高保留價格的增大而減?。垭S著顧客最低保留價格的增大，廠商利潤增加率不斷越??；隨著最高保留價格的增大，廠商利潤的增長率先減少后增加．④當顧客之間的保留價格有較大差異時，廠商采取數(shù)量折扣策略后利潤增加明顯．

［1］ Hennessy T．Where category management really counts［J］．Progressive Grocer，1998，77（2）：63．

［2］ Talluri K T，van Ryzin G J．The theory and practice of revenue management［M］．New York：Springer，2005．

［3］ Weatherford R，Bodily S．Ataxonomy and research overview of perishable asset revenue management： yield management，overbooking and pricing［J］．Operations Research，1992，40：831．

［4］ Gallego G，van Ryzin G J． Optimal dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons ［J］．Management Science，1994，40：999．

［5］ Feng Y，Gallego G．Optimal starting times for end of season sales and optimal stopping times for promotional fares ［J］．Management Science，1995，41：1371．

［6］ Chatwin R E．Optimal dynamic pricing of perishable products with stochastic demand and a finite set of prices［J］．European Journal of Operational Research，2000，125：149．

［7］ Aviv Y，Pazgal A．Optimal pricing of seasonal products in the presence of forward－looking consumers［J］．Manufacturing ＆Service Operations Management，2008，10（3）：339．

［8］ 楊慧，周晶．易逝品降價時點設(shè)定問題的Cournot博弈模型［J］．中國管理科學，2006，14（4）：45．YANG Hui，ZHOU Jing．A Cournot game of setting optimal markdown timing for perishable products［J］．Chinese Journal of Management Science，2006，14（4）：45．

［9］ 楊慧，周晶．易逝性產(chǎn)品降價時點的Stackelberg博弈［J］．管理工程學報，2007，21（3）：155．YANG Hui，ZHOU Jing．A Stackelberg game of optimal markdown timing for perishable products［J］．Journal of Industrial Engineering／Engineering Management，2007，21（3）：155．

［10］ 劉曉峰，黃沛．基于策略型消費者的最優(yōu)動態(tài)定價與庫存決策［J］．管理科學學報，2009，12（5）：18．LIU Xiaofeng，HUANG Pei．Optimal dynamic pricing and inventory policy under strategic customers［J］．Journal of Management Sciences in China，2009，12（5）：18．

［11］ 李根道，熊中楷，聶佳佳．庫存和價格影響需求的易逝品動態(tài)定價［J］．系統(tǒng)管理學報，2009，18，（4），402．LI Gendao，XIONG Zhongkai，Nie Jiajia．Dynamic pricing for perishable products with inventory and pricing sensitive demand［J］．Journal of Systems ＆Management，2009，18（4）：402．

［12］ Chiang W C，James F，Huang Z M．et al．A game theoretic approach to quantity discount problems［J］．Decision Sciences，1994，25：153．

［13］ Li J L，Liu L W．Supply chain coordination with quantity discount policy ［J］．International Journal of Production Economics，2006，101：89．

［14］ Weng Z K．Modeling quantity discounts under general price sensitive demand functions：optimal policies and relationships［J］．European Journal of Operational Research，1995，86：300．

［15］ Besanko D， Winston W． Optimal price skimming by a monopolist facing rational consumers［J］．Management Science，1990，36（5）：555．